高中數(shù)學3-1-4空間向量的正交分解及其坐標表示課件新人教a版選修2-1-文庫吧資料
2024-12-08 12:27本頁面
【正文】 ：一是所選的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夾角已知或易求． 選定基底后，各基向量的系數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)組就是向量在該基底下的坐標．同一基底下的向量運算可以簡化為坐標進行．一般情況下，選的基底是單位正交基底． 空間向量的正交分解及其坐標表示的理解 (1)建立空間直角坐標系 O－ x軸、 y軸、 z軸的正方向引單位向量 i， j， k，則 {i， j， k}叫做單位正交基底．單位向量 i， j， k都叫做坐標向量． 名師點睛 1． 2． (2)在空間直角坐標系中，已知任一向量 a，根據(jù)空間向量分解定理，存在唯一實數(shù)組 (a1， a2， a3)使 a＝ a1i＋ a2j＋a3k， a1i， a2j， a3k分別為向量 a在 i， j， k方向上的分向量，有序?qū)崝?shù)組 (a1， a2， a3)叫做向量 a在此直角坐標系中的坐標，可記作 a＝ (a1， a2， a3)． (3)空間任一點 P的坐標的確定，如圖所示，過點 P作面 xOy的垂線，垂足為 P′，在面 xOy中，過 P′分別作 x軸、 y軸的垂線，垂足分別為A， C，則 |x|＝ P′C， |y|＝ AP′， |z|＝PP′. 空間中一點 P(a， b， c)關(guān)于 xOy面、 xOz面、 yOz面、 x軸、 y軸、 z軸及坐標原點對稱的點的坐標分別為 P1(a， b，－ c)，P2(a，－ b， c)， P3(－ a， b， c)， P4(a，－ b，－ c)， P5(－ a，b，－ c)， P6(－ a，－ b， c)， P7(－ a，－ b，－ c)． 題型一 基底的判斷 若 {a， b， c}是空間的一個基底，判斷 {a＋ b， b＋ c， c＋ a}能否作為該空間的一個基底． [思路探索 ] 可先用反證法判斷 a＋ b， b＋ c， c＋ a是否共面，若不共面，則可作為一個基底，否則不能作為一個基底． 【 例 1】 解 假設(shè) a＋ b， b＋ c， c＋ a共面，則存在實數(shù) λ， μ使得 a＋ b＝ λ(b＋ c)＋ μ(c＋ a)， ∴ a＋ b＝ λb＋ μa＋ (λ＋ μ)c. ∵ {a， b， c}為基底， ∴ a， b， c不共面， ∴????? 1 ＝ μ ，1 ＝ λ ，0 ＝ λ ＋ μ ，此方程組無解 ． ∴ a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a 不共面 ． ∴ { a ＋ b ， b ＋ c ， c ＋ a } 可以作為空間一個基底 ． 規(guī)律方法 判斷三個向量 a， b， c能否作為基底，關(guān)鍵是理解基底的概念，只有空間中三個不共面的向量才能構(gòu)成空間向量的一個基底．判斷 a， b， c三個向量是否共面，常用反證法，即判斷三個向量是否滿足 a＝ λb＋ μb，若滿足則共
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