【正文】 圖 2 利用本文方法得出的最優(yōu)控制率，由于最優(yōu)控制率是分段長值函數(shù)因而為梯形圖。此為可得 ? ?? ，oo ?? ，從而有最優(yōu)初始點坐標(biāo) kmx L ? ， kmy L 30 ? ，kmz L ? 。 初始速度 smVxL /11150 ? ，smV yL / ?? ， smVzL /8160 ? ；月球自轉(zhuǎn)角速度 sr a d /106 6 1 6??? ；月球引力常數(shù) 23 / 02 skmG M ? ；近月點距月心距離 ,17530 kmr ? 月球半徑kmrf 1738? 。 此外，假如令系統(tǒng) (1)中的推力 F為已知的恒 定推力，令控制變量 ? ?T u ??? ，則本文問題變?yōu)楹愣ㄍ屏ο萝浿懽顑?yōu)控制問題，依然可以利用本文方法解決，而依據(jù)極大值原理結(jié)合傳統(tǒng)的打靶 法則只能解決恒定推力的情況，因 I 而相比之下本文方法適用性更廣。 再由 ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ????????????????????????? ?????pnipipipipppppppssvstFsF sts sts su??? ?????,1 可知，問題 3 將最初的探月飛行器軟著陸最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成了優(yōu)化靜態(tài)控制參數(shù) ? ?pnipi 1, ???， ? ?pnip i 1, ???， ? ?pnip iF 1, ??和 ? ?pnipi 1?? 以及系統(tǒng)參數(shù) 0? ， 0? ， tf 的問題，利用經(jīng)典的參數(shù)優(yōu)化算法即可求出登月飛行器的軟著陸最優(yōu)控制的一組逼近解和軟著陸最優(yōu)初12 值點位置以及終端時刻。))(() ) ,(() ) ,(() ) ,(() ) ,(() ) ,(() ) ,(( stmmstVVstVVstVstzstystx zlzLylyLxllll xlll Vzyx ?????? ???????? ? 指標(biāo)函數(shù)變?yōu)閠pzlylxl dvCk FVVVJ ??????? ???? 101222 )1()1()1( 約束條件變?yōu)? ????????????????????????????? ????????????0)1(051043210)1(0)1(0)1(fslllttgdGzyxGplflflfvgxgygxg?? 11 其中， )))((( 4 stgGG ??? 由于僅僅已知探測器在軟著陸起始點到月心的距離 0r 和探測器的起始速度，原來質(zhì)量 0m ，而軟著陸起始點與另兩個空間位置信息 ??， 角的初始值 00 ??， 未知，因而令 0 ??0 為系統(tǒng)待定 參數(shù)。 從 ? ?1,0?s 到 ? ?tft ,0? 構(gòu)造如下變換 ? ? ? ? ? ?????? pipipjpjijpj sst1111 ???? ???? ? 上式中 0??pi , ? ??? pipis ,1??，pni ,1,0 ??，序列 ? ?pnipi 0??為 ? ?1,0 區(qū)間上預(yù)先給定的分段點，并且滿足 1010 ??????? ? ???? pnpiPip p??。文獻(xiàn) [11]中第六章已經(jīng)證明了當(dāng) ???p 時，問題 2的最優(yōu)解收斂于問題 1 的最優(yōu)解。其中 9 ? ?? ? ? ???? ? ?? o t h e r w i s e t t tttt pipipipi 0,1, 11? 用控制器 ? ?Tpppp F u ??? 替換系統(tǒng) ??1 中的 ? ?TF u ??? ，則問題一轉(zhuǎn)變?yōu)椋? 問題 2 尋找三組參數(shù) ? ?pnipi 1, ???， ? ?pnip i 1, ???， ? ?pnip iF 1, ??來最小化指標(biāo)函數(shù) ??2 ，并且滿足約束函數(shù) G 。 2 參數(shù)化控制求解耗燃最優(yōu)問題 假 定 初 始 時 刻 為 0 ， 終 端 時 刻ft為 待 定 參 數(shù) 。不妨記 G 為用??5 式替換 04?g 得到的新的約束函數(shù)。 顯然 04?g 等價于 8 ? ? ? ? ? ?4 dtgtgL f 00,m i n0 44 ?? ? 但上式顯然在 0g4? 時不可微，因此用如下不等式去近似上式 ? ? ? ?5 dtgGttf 004 ??? ? 其中 ? ? ? ????????????????????444tg if 0, gif gg if g gG 4244 ,4/, 00 ?? ?? ， 是調(diào)節(jié)參數(shù)。這類關(guān)于狀態(tài)變量在連續(xù)時 間上都要滿足的不等式約束最優(yōu)化問題，至今還是 最優(yōu)化領(lǐng)域的一個難點。 ? ? ? ? ? ? F d ttC tVtVtVkJ ffzLfyLfxL ????? 01222 此外，顯然有約束條件 ? ?? ?? ???????????????????????0,0,0,02224321fLLLtffLtffLtffLrzyxgztzgytygxtxgG 其中，tftftf zyx ,為預(yù)定著陸點在月固坐標(biāo)系中的坐標(biāo)； 222tftftff zyxr ???為著陸點到月心距離，即月球半徑。 取 ? ?TzLyLxLLLL m V V V z y xx ?為 系統(tǒng)狀態(tài)變量， ? ?TF u ??? 為控制變量，則式 ??1 可以簡記為 ? ?tuxfx ,? 二、燃料節(jié)省最優(yōu)模型建立 按照耗燃最優(yōu)的要求，取性能指標(biāo)為 ? ? ? ? F d ttCm d tttmmJ fff ???????? 000 10 在實際情況下，通常沒必要令嫦娥三號著 陸速度嚴(yán)格等于零，只要能保證嫦娥三號以很小的相對速度 降落到月面就足可以接受的。 5 圖一：坐標(biāo)示意圖 顯然有軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣 ??????????????????????????c o s 0 s i nT s i ns i nc o ss i nc o sc o ss i ns i nc o sc o s1 慣性坐標(biāo)系到月固坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為 ?????????? ?????c o s 0 s i n0 1 s i n 0 T 0cos2根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合科氏定律整理可以得到嫦娥三號在月固坐標(biāo)系中的運動方程 為 ?????????????????????????????????????????????????????????xLLyLLzLyLxLzLyLxLV20 V2 gggmFmF mFTTVVV??s i ns i nc o sc o ss i n12 6 其中 xLV ，yLV, zLV 為嫦娥三號速度矢量與月固坐標(biāo)系各軸上的投影， F 為發(fā)動機的推力， M 為嫦娥三號的質(zhì)量， xLg ，yLg,和 zLg 為該高度月球重力加速度在月固定系各軸上的投影， L? 為月球自轉(zhuǎn)角速度。 ? 為 1Ay 與 oy所成夾角， ? 為 1Ax 在 xoz 平面上的投影 與 ox軸正向所成夾角。 111 zyAx 為原點在 嫦娥三號 質(zhì)心的軌道坐標(biāo)系， 1Ay 指向從月心到 著陸器的延伸線方向， 1Ax 垂直 1Ay 指向運動方向 ，1Az 按右手坐標(biāo)系確定。 如圖 1 所示，定義慣性坐標(biāo)系 oxyz，原點在月心，參考平面是月球赤道面， ox軸指向月球赤道相 對于白道的升交點， oy 軸指向月球自轉(zhuǎn)角速度方 向， oz 軸按右手坐標(biāo)系確定。 模型假設(shè) 假設(shè)衛(wèi)星或飛船相對于地球極小可以看做質(zhì)點 假設(shè)地球是個規(guī)則球體，質(zhì)量集中于地心 假設(shè)外界引力對該系統(tǒng)可忽略不計 忽略影響測控站布置的地理因素 不