【正文】 ? 由于有 1950年魯契爾的研究和 1953年派普斯的研究，跟馳理論的解析方法才告定型。 服務(wù) 收費(fèi)站 1 μ 輸出 輸入 λ M/M/1系統(tǒng) 服務(wù) 收費(fèi)站 N μ 輸出 輸入 λ M/M/1系統(tǒng) N 3/5/2023 43 44 四、 M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)簡介 （多通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 單路排隊(duì)多通道服務(wù)的 M/M/N排隊(duì)系統(tǒng)如下：從服務(wù)效率分析這種排隊(duì)系統(tǒng)的效率較高，但用于收費(fèi)站顯然是不合適的（這一系統(tǒng)同樣有一整套計(jì)算公式） 。由： 驗(yàn)證結(jié)果表明：系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過 5輛車的概率 P(＞ 5)不足 5%，概率很小，進(jìn)入停車場的引道長度是合適的。 ? 進(jìn)入停車場的引道長度能夠容納 5輛車 ,如果系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)小于 5輛車則是合適的，否則，準(zhǔn)備停放的車輛必然影響交通。 ? 收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)： )(.. 輛88901 8901 ????? ??n3/5/2023 39 40 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 平均排隊(duì)長度： ? 排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間： ? 排隊(duì)中的平均等待時(shí)間： （輛） ?????? ?nq)( 輛s/ 7236004008111???????d)( 輛s/ 648721 ????? ?dw3/5/2023 40 41 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） 例 2：修建一個(gè)服務(wù)能力為 120輛 /h的停車場，布置一條進(jìn)入停車場的引道，經(jīng)調(diào)查車輛到達(dá)率為 72輛 /h，進(jìn)入停車場的引道長度能夠容納 5輛車，是否合適 。 )()( 輛輛或 s/ h/1 ??? ?? ???? dw3/5/2023 38 39 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） 例 1：高速公路入口收費(fèi)站，車輛到達(dá)是隨機(jī)的，流入量為 400輛 /h，如果收費(fèi)工作人員平均能在 8s內(nèi)發(fā)放通行卡，符合負(fù)指數(shù)分布，求：收費(fèi)站排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)，平均排隊(duì)長度，排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間和排隊(duì)中的平均等待時(shí)間。 )( 輛輛或 s/ h/1 ??? nd ??? （輛）)( qqq ww ??? ?113/5/2023 37 38 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 排隊(duì)中的平均等待時(shí)間： 這里在排隊(duì)時(shí)平均需要等待的時(shí)間，不包括接受服務(wù)的時(shí)間，等于排隊(duì)系統(tǒng)平均消耗時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間之差。如果把有顧客時(shí)計(jì)算在內(nèi)，就是前述的平均排隊(duì)長度。 ? 平均排隊(duì)長度： 這里是指排隊(duì)顧客（車輛）的平均排隊(duì)長度，不包括接受服務(wù)的顧客（車輛）。 ? 例如：某高速公路進(jìn)口收費(fèi)站平均每 10s有一輛車到達(dá)，收費(fèi)站發(fā)放通行卡的時(shí)間平均需要 8s，即 : 1/λ=10s； 1/μ =10s 如果時(shí)間充分，這個(gè)收費(fèi)站不會出現(xiàn)大量阻塞。 ??? ?3/5/2023 33 34 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? 當(dāng)比率 ρ1（即 λμ），且時(shí)間充分，每個(gè)狀態(tài)都會以非 0的概率反復(fù)出現(xiàn)；當(dāng)比率 ρ≥ 1（即 λ≥ μ），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的，且排隊(duì)會越來越長。 3/5/2023 31 32 三、 M/M/1排隊(duì)系統(tǒng) （單通道服務(wù)系統(tǒng)） ? M/M/1系統(tǒng)（單通道服務(wù)系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊(duì)等待接受服務(wù)的通道只有單獨(dú)的一條，因此也叫做“單通道服務(wù)”系統(tǒng)。 ? 隊(duì)長（ ch225。服務(wù)時(shí)間分布包括： 定長分布、負(fù)指數(shù)分布、愛爾朗分布 3/5/2023 30 31 二、排隊(duì)論的基本概念 ? 排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)： ? 等待時(shí)間 ：即從顧客到達(dá)時(shí)起到他開始接受服務(wù)時(shí)止這段時(shí)間。輸入方式包括： 泊松輸入、定長輸入、愛爾朗輸入 ? 排隊(duì)規(guī)則：是指到達(dá)的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。 ? “排隊(duì)系統(tǒng)中的車輛”或“排隊(duì)系統(tǒng)消耗時(shí)間”則是在指排隊(duì)系統(tǒng)中正在接受服務(wù)（收費(fèi)）和排隊(duì)的統(tǒng)稱。 ? 等候的車輛自行排列成一個(gè)等待服務(wù)的隊(duì)列，這個(gè)隊(duì)列則稱為“排隊(duì)”。 ? 在交通工程中，排隊(duì)論被用來研究車輛延遲、信號配時(shí)、收費(fèi)站、加油站等設(shè)施的設(shè)計(jì)與管理。 Q=360輛 /h 3/5/2023 24 25 二、連續(xù)性分布 解：行人橫過單向行車道所需要的時(shí)間： t = 因此，只有當(dāng) h≥ ，行人才能安全穿越，由于雙車道道路可以充分超車，車頭時(shí)距符合負(fù)指數(shù)分布，對于任意前后兩輛車而言，車頭時(shí)距大于 ： 對于 Q=360輛 /h的車流， 1h車頭時(shí)距次數(shù)為 360，其中 h≥ ： 47240360057360360057 ..).( ??????? eePQth （次）17047240360 ?? .3/5/2023 25 26 二、連續(xù)性分布 當(dāng) Q = 900輛 /h時(shí)，車頭時(shí)距大于 ： 1h內(nèi)車頭時(shí)距次數(shù)為 900，其中 h≥ 距為可以安全橫穿的次數(shù)： 15340360057900360057 ..).( ??????? eePQth （次）13815340900 ?? .3/5/2023 26 27 第三節(jié) 排隊(duì)論的應(yīng)用 3/5/2023 27 28 一、引言 ? 排隊(duì)論是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列（即排隊(duì)）的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)”關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論，是運(yùn)籌學(xué)中以概率論為基礎(chǔ)的一門重要分支，亦稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。 車頭時(shí)距分布的概率密度曲線一般總是先升后降。 ? 移位負(fù)指數(shù)分布公式 : ? 分布的均值 M和方差 D分別為： 211??? ??? DM3/5/2023 22 23 二、連續(xù)性分布 ? 移位負(fù)指數(shù)分布的局限性： 服從移位負(fù)指數(shù)分布的車頭時(shí)距愈接近 τ出現(xiàn)的可能性愈大。這種情形在不 能超車的單列車流中 是不可能出現(xiàn)的，因 為車輛的車頭與車頭 之間至少存在一個(gè)車 長，所以車頭時(shí)距必 有一個(gè)大于零的最小 值 τ。 解：車頭時(shí)距大于或等于 10s的概率也就是 10s以內(nèi)無車的概率。 teP ???)( 03/5/2023 17 18 二、連續(xù)性分布 或者說： P(0)也就是車頭時(shí)距 h大于或等于 t 的概率。 由公式： 可知，當(dāng)車輛平均到達(dá)率為 λ時(shí)， P(0)為計(jì)數(shù)間隔 t 內(nèi)無車到達(dá)的概率。 解： 1）由： p =30%， n=5， k=2 3090301301252252 .).(.)()()(???????CPppCP knkknk由：3/5/2023 15 16 一、離散型分布 2）由： p =30%， n=5， k=2