【正文】 部的正弦和余弦函數(shù)平方約束關(guān)系可以看出，此極點(diǎn)分布滿足橢圓方程，其短軸和長(zhǎng)軸分別為 ?????????????????????????1a r c s in1c o s h1a r c s in1s in hhNbhNacc （ ） 圖 畫(huà)出了 N=3 時(shí)切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布。 現(xiàn)根據(jù)式（ ）求切比雪夫?yàn)V波器的系統(tǒng)函數(shù) ??sHa 。 （ 4） 由于濾波器通帶內(nèi)有起伏，因而使通帶內(nèi)的相頻特性也有相應(yīng)的起伏波動(dòng)。 （ 3） N 為奇數(shù)， ? ?0jHa =1； N 為偶數(shù)， ? ?0jHa =211?? 。 13 切比雪夫?yàn)V波器的濾波特性具有下列特點(diǎn)： （ 1） 所有曲線在Ω = c? 時(shí)通過(guò)211?? 點(diǎn)，因而把 c? 定義為切比雪夫?yàn)V波器的截止角頻率。 1 之間波動(dòng)；N 不論為何值都有 ??1NT =1；當(dāng) x1， ??xTN 單調(diào)上升。 這種濾波器的幅頻特性模平方為： ? ????????????????????????????cNaTjH22211? （ ） 式中 ε是決定通帶內(nèi)起伏的等波紋參數(shù)， ??xTN 是第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式，定義為： ??xTN = ? ?? ?????? ?? 1,c o s hc o s h 1,c o sc o s xxNa r xxn a r （ ） 表 列出了對(duì)應(yīng)不同階數(shù) N 時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式 ??xTN 。它有兩種型式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的切比雪夫 I 型濾波器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫 II 型濾波器。這可通過(guò)選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來(lái)達(dá)到。當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有余量。 由此可見(jiàn) ??)(l o g2)110)(110(1010/10/spRR PPN????? N 應(yīng)向上取整N RpcP2 10/ )110( ?? ?? ， 12 N RScS2 10/ )110( ???? 再用 MATLAB 編程計(jì)算濾波器最小階數(shù) N 和截止頻率 c? 。 當(dāng) ? = P? 時(shí) ， 2020)( PRjH ??? 即 2)H(j lg10 ???RP，以截至頻率 c? （幅值下降 3dB）為 1，化 ? 為相對(duì) ? 為相對(duì)c?的相對(duì)頻率 ??c由上式可寫(xiě)為???????????????????NcPpR210)(11lg10??。 若給出模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)要求：通帶邊界頻率 p? ，阻帶邊界頻率s? ，通帶波紋 )(dBRp ，阻帶衰減 )(dBRS ，要確定 butterworth ,，低通濾波器最小階數(shù) N 及截止頻率 )3( dBC ?? 。對(duì)式（ ）所示的低通巴特沃斯特性用 Ω ? 表示 得到： ? ? ? ? Na jH 22 1 1? ???? ? （ ） 稱(chēng) ? ???jHa 為巴特沃斯低通原型濾波器幅頻特性。 圖 N=3 時(shí) Ha（ s） Ha（ s）極點(diǎn)分布 為得到穩(wěn)定的 ??sHa ，取全部左半平面的極點(diǎn)。圖 畫(huà)出了 N=3 時(shí)的 ? ? ? ?sHsH aa ?極點(diǎn)分布。 10 (3)當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)，有兩個(gè)極點(diǎn)分布在 cs ??? 的實(shí)軸上； N 為偶函數(shù)時(shí)，實(shí)軸上沒(méi)有極點(diǎn)。令Ω =s/j，帶入式（ ） NcNNcNcaajsa jsjjssHsHjH 22222)()()(11)()()(?????????? ?? 對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)： ? ? 022 ??? NcN js ? ? ? ? ?????? ??????? 2122 12 21 ??kNjcNck ejs () ks 即為 ? ? ? ?sHsH aa ? 的極點(diǎn)，此極點(diǎn)分布有下列特點(diǎn)： (1) ? ? ? ?sHsH aa ? 的 2N 個(gè)極點(diǎn)以 π/N 為間隔均勻分布在半徑為 c? 的圓周上，這個(gè)圓稱(chēng)為巴特沃斯圓。當(dāng)Ω≥ c? 時(shí)，特性以 20NdB/dec 速度下降。這種濾波器具有良好的相頻特性?！白钇巾憫?yīng)”即由此而來(lái)。當(dāng)Ω =0 時(shí)， ? ? 1??jHa ；當(dāng)Ω = c? 時(shí)， ? ?21??jHa，1 ? ??jHa 0 c? s? p? ? 9 c? 是 3dB 截止頻率。 模擬原型濾波器及最小階數(shù)的選擇 巴特沃斯濾波器及最小階數(shù)的選擇 巴特沃斯濾波器是最基本的逼近方法形式之一。這里要說(shuō)明的是 ??sHa 必須是穩(wěn)定的。 p? 是通帶Ω （ =0— p? ）中的最大衰減系數(shù)， s? 是阻帶Ω≥ s?的最小衰減系數(shù)， p? 和 s? 一般用 dB 表示。 （ 4）按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。它們的理想幅度特性如圖 所示，但我們?cè)O(shè)計(jì)濾波器時(shí)，總是先設(shè)計(jì)低通濾波器，再通過(guò)頻率變換將低通濾波器轉(zhuǎn)換成希望類(lèi)型的濾波器 α dB 0dB β dB p? s? ω ? ?Tja eH ? 圖 濾波器 的主要技術(shù)指標(biāo) 帶通 帶阻 圖 模擬濾波器理想幅度特性 低通 高通 7 模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法 利用頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾波器的步驟為： （ 1）給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率 0? 或上、下邊界頻率 21,?? 等。這樣根據(jù)具體要求可以選擇不同類(lèi)型的濾波 器。直到 50 年代，由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的逐步成熟，求出大量設(shè)計(jì)參數(shù)和圖表，這種方法才得到廣泛應(yīng)用。如圖 所示 ω 1 |H(ejω )| ω 2 ω 2 π π 2π 2π ω1 6 2 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模 擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（ Butterworth 濾波器 .切比雪夫（ Chebyshev）濾波器等。 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo) 濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)取決于具體的應(yīng)用或相互間的相互關(guān)系。這兩種濾波器都可以現(xiàn)實(shí)各種頻率特性要求，但它們?cè)谟?jì)算流程、具體特性逼近等方面是有差別的。 （ 1） 低通數(shù)字濾波器：圖 所示 ??????? ?? ccjj eHeH ??? ????0 )()( 圖 低通數(shù)字濾波器的頻譜 （ 2） 高通數(shù)字濾波器：圖 所示 ????? ???? ccjj eHeH?? ????? 0 )()( 圖 高通數(shù)字濾波器的頻譜 （ 3） 帶通數(shù)字濾波器：圖 所示 ????????? ??? 0||,0 )()( 21 2????? ????? eHeH 1jj 圖 帶通數(shù)字濾波器的頻譜 （ 4）帶阻數(shù)字濾波器：圖 所示 ??????? ????? 2210 0||,)()( ??? ???????1jj eHeH |H(ejω )| ω 2 ω 2 π π 2π 2π ω 1 ω 1 |H(ejω )| ω c ω c π π 2π 2π |H(ejω )| ω c ω c π π 2π 2π fs/2 fs fs/2 fs fc fc f π 5 圖 帶阻數(shù)字濾波器的頻譜 其他較復(fù)雜的特性可以由基本濾波器組合。 數(shù)字濾波器的 差分方程表示為： ? ?? ? ???? Ni Mk kk knxainybny 1 0 )()()( 系統(tǒng)函數(shù)表示 : ????????? NiiiMkkkzbzazXzYzH101)()()( 數(shù)字濾波器的特性通常用其頻率響應(yīng)函數(shù) )( ?jeH 來(lái)描述， 包括幅度特性 )( ?jeH 和相位特性 ))(arg( ?jeH 。 濾波器的基本特性 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的基本特性 如利用模擬電路直接對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行處理則構(gòu) 成模擬濾波器，它是一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。 圖 數(shù)字濾波器原理 數(shù)字濾波器的序列 ??ny 將是這兩個(gè)序列的離散卷積，即 數(shù)字濾波器??nh ,H(z) ??zx ??nx ??ny ??zy ??tya 模擬濾波器)(tha ,H(s) ??sya ??sxa ??txa 3 ? ? ? ? ? ????? ?? k knxkhny （ ） 同樣，兩個(gè)序列卷積的 z變換等于個(gè)自 z變換的乘積，即 ? ? ? ? ? ?zXzHzY ? （ ） 用 Tjez ?? 代入上式，其中 T 為抽樣周期，則得到 ? ? ? ? ? ?TjTjTj eXeHeY ??? ? （ ） 式中 ? ?TjeX ? 和 ? ?TjeY ? 分別為數(shù)字濾波器輸入序列和輸出序列的頻譜，而 ? ?TjeH ? 為單位抽樣序列響應(yīng) ??nh 的頻譜。設(shè)輸入序列為 ??nx ，離散或數(shù)字濾波器對(duì)單位抽樣序列 ??n? 的響應(yīng)為 ??nh 。 數(shù)字濾波器的工作原理 在數(shù)字濾波中，我們主要討論離散時(shí)間序列。因此，根據(jù)不同的濾波要求來(lái)選定 ? ??jHa ，就可以得到不同類(lèi)型的模擬濾波器。當(dāng)濾波器輸入信號(hào) ??txa 與輸出信號(hào) ??tya 的拉普拉斯變換，得 ? ? ? ? ? ?sXsHsY aaa ?? （ ） 這表明兩信號(hào)卷積的變換等于各自變換的乘積。對(duì)于任意輸入信號(hào)??txa ，系統(tǒng)的輸出 ??tya 可以卷積表示： ? ? ? ? ? ? ??? dtxhty aaa ??? ???? = ? ? ? ????? ?? ??? dthx aa () 上式表明在對(duì)線性濾波器系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，采用了疊加原理，先將任意輸入信號(hào)波形分成不同時(shí)間的窄脈沖之和，再分別求出各個(gè)脈沖通過(guò)濾波器之后的響應(yīng)，并進(jìn)行線性疊加從而得到總的輸出信號(hào)。在時(shí)域內(nèi)，它的動(dòng)態(tài)特性可以用系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應(yīng) )(tha 來(lái)描述，也就是該濾波系統(tǒng)在任何時(shí)刻對(duì)輸入單位沖激信號(hào) ??txa =δ（ t）的輸出響應(yīng)? ? ??thty aa ? 。因此，數(shù)字濾波器的濾波過(guò)程是一個(gè)計(jì)算過(guò)程，它將輸入信號(hào)的序列數(shù)字按照預(yù)定的要求轉(zhuǎn)換成輸出數(shù)列。我們知道，無(wú)源或有源模擬濾波器是分立元件 構(gòu)成的線性網(wǎng)絡(luò)，他們的性能可以用線性微分方程來(lái)描述，而數(shù)字濾波器是個(gè)離散線性系統(tǒng)，要用差分方程來(lái)描述，并以離散變換方法來(lái)分析。實(shí)現(xiàn)濾波處理的運(yùn)算電路或設(shè)備稱(chēng)為濾波器。 1 濾波器簡(jiǎn)介 ................................................................................................................... 1 濾波器的工作原理 .......................................................................................... 1 模擬濾波器的工作原理 ....................................................................... 1 數(shù)字 濾波器的工作原理 ..............................