【正文】 基礎上的： (1）股票價格遵循幾何布朗運動； (2)允許賣空衍生證券； (3)沒有交易典用或稅收，且所有證券都是高度可分的； (4)在衍生證券有效期內，標的資產(股票)沒有紅利支付； (5)不存在無風險套利機會； (6)證券交易是連續(xù)的； (7)無風險利率r是常數(shù)且對所有到期日都相同． 根據(jù)假設(1)，有結果： （）式中是一個維納過程,為股票價格的預期收益率,為股票價格的波動率。因此，在與時刻之間的變化服從正態(tài)分布，其期望值為，方差為，這意味著或者 （）式中表示期望值為m，方差為的正態(tài)分布． 式(5．2．14)顯示，服從正態(tài)分布．如果一個變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，則該變量稱為服從對數(shù)正態(tài)分布。)，得 令得 （）再將代入式（）得證畢” 由伊藤定理可知，如果服從伊藤過程，則的函數(shù)也遵從伊藤過程，不過飄逸率和波動率分別為5．2．4 不支付紅利股票價格的行為過程如果假設股票價格服從一般維納過程，則有不變的期望漂移率和波動率，這不符合實際。)證明: 由二元函數(shù)的泰勒展開公式有 （39。將和一并來考慮，則有經過時間增量之后，的增量值為將式(5．2．1)代入上式，有 （）如前所述，是取自標準正態(tài)分布中的隨機抽樣值，因此服從正態(tài)分布，其均值是，方差為，標準差為。在本節(jié)，我們將介紹與B1ackScho1es期權定價理論有關的一些預備知識．這些知識主要是圍繞著股票價格的變化過程而展開的，內容大致包括：維納過程、伊藤過程、伊藤定理、幾何布朗運動、對數(shù)正態(tài)分布等．這些內容是理解期權定價和更加復雜的衍生證券定價的基礎．在介紹維納過程之前，先簡單介紹一下馬爾可夫過程．馬爾可夫過程是一種特殊的隨機過程，在該過程中，變量的變化僅依賴于該變量前一瞬間的狀態(tài)．當變量遵從馬爾可夫過程時，變量在相鄰時間內變化的方差具有可加性，但標準差不具有可加性．馬爾可夫過程的重要特征是，變量的隨機變化是獨立同分布的。結論5．1．2 當預期有紅利派發(fā)時，在除息日前立即執(zhí)行美式看漲期權是明智的選擇．結論5．1．3 在期權到期日之前，不支付紅利股票的美式看跌期權提前行權可能是明智的選擇．167。 這兩個組合在到期時價值均為。所以，在T時刻組合A的價值是假設現(xiàn)金以無風險利率投資，則在T時刻組合B的價值為。在T時刻，如果，投資者就會行使期權，組合A的價值為；如果，期權到期值為0，組合A的價值是．所以，在時刻組合A的價值為 在T時刻組合B的價值是，所以在T時刻組合A的價值通常不會低于組合B的價值。(3)利率．利率，尤其是短期利率的變動會影響期權的價格．利率變動對期權價格的影響是復雜的：一方面，利率變化會引起期權標的資產價格變化，從而引起期權內在價值的變化；另一方面，利率變化會使期權價格的機會成本變化；同時，利率變化還會引起對期權交易的供求關系變化，因而從不同角度對期權價格產生影響．例如，利率提高，期權標的資產如股票、債券的市場價格將下降，從而使看漲期權的內在價值下降，看躍期權的內在價值提高；利率提高，又會使期權價格的機會成本提高，有可能使資金從期權市場流向價格已下降的股票、債券等現(xiàn)貨市場，減少對期權交易的需求，進而又會使期權價格下降．總之，利率對期權價格的影響是復雜的，應根據(jù)具體情況作具體分析．(4)標的資產價格的波動性．標的資產價格的波動性越大，期權價格越高；波動性越小，期權價格越低．這是因為，標的資產價格波動性越大，在期權到期時，標的資產市場價格漲至行權價格之上或躍至行權價格之下的可能性越大．因此，期權的時間價值，乃至期權價格，都將隨標的資產價格波動的增大而提高，隨標的資產價格波動的縮小而降低．(5)標的資產的收益．標的資產的收益將影響標的資產的價格．在行權價格一定時，標的資產價格又必然影響期權的內在價值，從而影響期權的價格．由于標的資產分紅派息等將使標的資產價格下降，而行權價格并不進行相應調整，因此，在期權有效期內，標的資產產生收益將使看漲期權價格下降，使看跌期權價格上升．為了便于今后各章節(jié)的討論，我們做出如下假設(1)市場是無套利的市場；(2)市場中沒有交易費用；(3)所有交易利潤具有相同的稅率．同時我們定義以下各字母的含義：：股票現(xiàn)價；X：期權的行權價格；：期權的到期日；t：現(xiàn)在時刻；：在T時刻股票的價格；r：在T時刻到期的投資的無風險利率；c：購買一股股票的歐式看漲期權的價格；p: 出售一股股票的歐式看跌期權的價格；C：購買一股股票的美式看漲期權的價格；P：出售一股股票的美式看跌期權的價格‘：股票價格的波動率． 1．期權價格的上限 歐式看漲期權或者美式看漲期權持有者有權按照某一確定的價格購買一股股票．在任何情況下，期權的價值都不會超過股票的價格．所以，股票的價格應該是期權價格的上限： （)如果這一關系不成立，將存在著套利機會，套利者將通過購買股票并賣出看漲期權獲得無風險收益．歐式看跌期權或者美式看跌期權的持有者有權以行權價格X出售一股股票．無論股票價格多低，期權的價格都不會超過，所以有 （）由于歐式看跌期權在T時刻期權的價值不會超過X，所以現(xiàn)在期權的價格不會超過X的現(xiàn)值 （）如果上式不成立，將出現(xiàn)套利機會，套利者可出售期權并將收入所得以無風險利率再投資，獲得無風險收益。第5章 期權定價理論期權定價理論是繼資產組合理論、資本資產定價模型之后金融領域又一個獲得諾貝爾經濟學獎的重要理論．1973年，Black和Scholes發(fā)表了《期權和公司債務的定價》(The pricing of options and corporate liabilities)一文，提出了著名的期權定價理論．同年，Merton給出了以支付連續(xù)紅利率股票為標的資產的期權定價公式，并把BlackScholes期權定價公式推廣到無風險利率和標的資產價格的變異性不是常數(shù)的重要情況．在本章，我們將以B1ackScholes期權定價公式為主線介紹與期權相關的一些知識、股票價格的行為模型、BlackScholes偏微分方程、BlackScholes期權定價公式、B1ackSchotes期權定價公式的拓展模型(支付已知紅利的股票歐式期權定價和美式看漲期權定價)等．167。 期權概述 期權的概念期權是賦予了其擁有者在未來的某時間以事先預定好的價格買賣某種金融資產的權利的合約．從廣義上講，期權也可以指金融資產中含有的任何選擇權．一般稱期權中規(guī)定的金融資產為期權的標的資產，并稱對標的資產的商定價格為行權價格．根據(jù)交易的買賣類型，可以將期權分為看漲期權和看躍期權．看漲期