【正文】 ???????? , , ,?r???x? x?? ? x?????量 和垂直于相對速度 的矢量 ： 其中： 利用相對速度 平行于 x軸情況下的 Lorentz變換式，得到 ?//r? ?r???? rrr???//// //2() rr r r r??? ??? ? ?////22 1rtr r rc??????????v?將些結(jié)果合成，即為： ////2222221()()1r r rrtrcrtrrc????????????? ? ??????????? ? ?? 時(shí)間變換為： 222221( 1 )11rtrcc??????????? ? ? ???????222()1t r ctc????? ??將上述結(jié)果寫成關(guān)于 xu 的分量形式，并進(jìn)一步用矩陣表示，即相對速度 沿任意方向時(shí)的 Lorentz變換式為： 其中： ?ux a x? ? ? ?? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????321322322321322222222121221221221)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1iiiiiiau22221 , 1 c??????? , ( 1 , 2 , 3 )ii ic?? ??洛侖茲變換式的另外一種推導(dǎo) 設(shè)有一慣性參考系 S和相對于 S作勻速運(yùn)動(dòng)的另一慣性系 ，它們的三條坐標(biāo)軸彼此平行，并 且 系沿公共軸 相對于 S系速率 運(yùn)動(dòng)，在t=t’=0時(shí)，它們的坐標(biāo)原點(diǎn) 0、 0’相重合，如圖所示。 b) 如果對 Lorentz變換式中把 c 看成無窮大，即 c→∞ ，則變換式立即成為： vuvu xax ?? ~?????????????????????????????? ??????????????43214321 000100001000xxxxiixxxx?????? 所以說伽利略變換是洛侖茲變換在低速運(yùn)動(dòng)下的一個(gè)近似。因?yàn)橐笤谧鴺?biāo)變換下不改變閔可夫斯基空間的矢量長度，根據(jù)間隔不變性和變換式，我們看到： vuvu xax ??? ?? 及 可見變換系數(shù) 服從下列 正交條件： 下面具體地確定變換系數(shù)，為了方便計(jì)，我們把 寫成如下形式： i n v . xx?? ?x a x? ?? ?? ?vvaa? ? ? ???uvavvx a x??? ? 由于沿 x x3方向的兩個(gè)坐標(biāo)標(biāo)之間沒有相對運(yùn)動(dòng)，因而 又由于當(dāng) 時(shí)， 和 完全重合，所以當(dāng)x x4為零時(shí)， x1’、 x4’也應(yīng)為零，從而得到： ???????????????????????????4443432421414434333232131342432322212124143132121111xaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxax0 , 10 , 13432313324232122????????aaaaaaaa???0tt??? 于是我們有 把這個(gè)新的變換關(guān)系代入間隔不變的關(guān)系中得到 0 , 0 43421312 ???? aaaa444141432224141111xaxaxxxxxxaxax??????????242124441412414111 )()(xxxaxaxaxa?????展開得到： 比較等式兩邊系數(shù)，即有 242124244414441212412421441141121211 22xxxaxxaaxaxaxxaaxa????????????????????01144411411244214241211aaaaaaaa因?yàn)樵? 的點(diǎn)應(yīng)該是 的點(diǎn)，所以根據(jù) 則有 故 從而得到： 1xt??01 ??x4141111 xaxax ???1 1 1 40 i cta t a???1 4 1 1iaac??1 1 1 1 1 4 4 1 1 1 422334 4 1 1 4 4 4()x a x a x a x i xcxxxxx a x a x??? ? ? ? ????? ??? ? ??? ????由這套變換式，我們從第一、第四兩個(gè)關(guān)系式出 發(fā)， a44乘以第一式， 乘以第二式，即有 兩式相減，得到 11iac?4 4 1 1 1 4 4 1 1 1 4 4 41 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 4a x a a x i a a xci a x a a i x i a a xc c c?? ? ?? ??? ??4 4 1 1 1 4 1 1 1 4 4 1 1 4 1()a x i a x x a a i a acc????? ? ?故得 若考慮空間各向同性，因而 x1的逆變換為 比較兩式，得到 44 1 11 4111 44 11 41a x i a xcxa a i a ac???????()????1 1 1 1 4()x a x i xc?????1 1 4 41 1 4 4 1 1 4 4 1aaa a i a ac?????????由此可見：將 組合，即有 221 4 4 4 1 1 4 4 1 4 1 11 , a a a a a i ac?? ? ? ?及2211 1122211 1122211 2211 22( ) 11( 1 ) 11( 1 )i a acaacacac??????? ? ?????故得： 再由 得到 （注：也可以由 得到 1 1 4 42211aac?? ? ??044411411 ?? aaaa1 4 4 1 1 1a a i ac?? ? ?1 1 4 4 1 1 4 1 1a a i a ac??? 即 ） 111 1 1 1 4 11 1 4 1112221124 1 1 11 1 1 1 1 1( ) 1111a a i aca i acaiaaci a ac a a a??????????? ? ? ? ?24 1 1 1a i ac???從而得到： 由于 x 軸和 x’ 軸正向相同，變換系數(shù) a11應(yīng)取大于零；又由于時(shí)間 t 和 t’ 的正向相同， a44亦取大于零。 222222 dzdydxdtcdS ????22 dSSd ??閔可夫斯基空間 (Minkowski Space) 由 間隔不變性可知： 令 根據(jù) Albert Einstein求和法則，且有 或者 i n v a r i a u t2222222222???????????? tczyxtczyx),(),( 3214 zyxxxxi ctx ??)4,3,2,1( i n v . ?? uxx uu in v .??? uu xx 如果把 x1, x2, x3, x4看作一個(gè)四維空間坐標(biāo)矢量的四個(gè)分量，那么間隔不變性意味著 系與 系之間的變換是一個(gè)由線性變換式 所表征的四維空間旋轉(zhuǎn)操作，通常把由這個(gè) x1, x2, x3, x4 所組成的空間叫做 閔可夫斯基空間 。 如果兩事件彼此無限地接近，那么間隔為： 也可得到 因此，我們得到 一個(gè)很重要的結(jié)論： 兩個(gè)事件的間隔在所有慣性系里都是一樣的，即當(dāng)由一個(gè)慣性系變換到任何另一慣性系時(shí)，它是不變的。 假如 x1， y1， z1， t1及 x2， y2， z2， t2是 系任何兩個(gè)事件的坐標(biāo)，則 稱為這 兩個(gè)事件的間隔 。由此可見 由于 系相對 系的運(yùn)動(dòng)速度顯然與 系相對 系的運(yùn)動(dòng)速度相同，因此 )( 2222222222 tczyxAtczyx ???????????)(vAA ?)( 2222222222 tczyxAtczyx ??????????????? ??從以上兩個(gè)式子可看出： 為了從兩個(gè)值 177。另外，系數(shù) A也不可能與慣性系的相對速度的方向有關(guān)。 02222222222???????????????tczyxtczyx2222222222 tczyxtczyx ???????????? ??即 其中系數(shù) A僅與兩個(gè)慣性系的相對速度的絕對值有關(guān)，系數(shù) A不可能與坐標(biāo)或時(shí)間有關(guān)。即 對于不以光信號聯(lián)系的其他事件 ，從兩慣性系觀察，它們雖然不等于零，但由于時(shí)空坐標(biāo)變換是線性的。 x, x’ 0’ 0 z z’ y ∑ y’ ∑’ v???? ?? ?? 當(dāng) 和 的坐標(biāo)原點(diǎn) ， 重合時(shí) ( )發(fā)出一光脈沖，根據(jù)光速不變原理，在 ∑系觀察者看來，任何時(shí)間 t 光的波前皆為一球面，即 也就是： 而在 系觀察者看來，因?yàn)楣饷}沖也是在 系的原點(diǎn) 發(fā)出，根據(jù)光速不變原理，任何時(shí)刻 光的波前同樣是球面，即 222 tcr ?02222222222???????tczyxtczyx222 tcr ?????? ? O? O 0tt???????t?O?或者 因?yàn)闀r(shí)間和空間是均勻的，而且空間是各向同性的，這就意味著 系和 系之間的時(shí)空變換必須是線性的。 閔可斯基空間和洛侖茲變換 Minkowski Space and Lorentz Transformation 本節(jié)將從 Albert E