【正文】 ?//r? ?r???? rrr???//// //2() rr r r r??? ??? ? ?////22 1rtr r rc??????????v?將些結(jié)果合成，即為： ////2222221()()1r r rrtrcrtrrc????????????? ? ??????????? ? ?? 時(shí)間變換為： 222221( 1 )11rtrcc??????????? ? ? ???????222()1t r ctc????? ??將上述結(jié)果寫(xiě)成關(guān)于 xu 的分量形式，并進(jìn)一步用矩陣表示，即相對(duì)速度 沿任意方向時(shí)的 Lorentz變換式為： 其中： ?ux a x? ? ? ?? ? ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????321322322321322222222121221221221)1(1)1()1()1()1(1)1()1()1()1(1iiiiiiau22221 , 1 c??????? , ( 1 , 2 , 3 )ii ic?? ??洛侖茲變換式的另外一種推導(dǎo) 設(shè)有一慣性參考系 S和相對(duì)于 S作勻速運(yùn)動(dòng)的另一慣性系 ，它們的三條坐標(biāo)軸彼此平行，并 且 系沿公共軸 相對(duì)于 S系速率 運(yùn)動(dòng)，在t=t’=0時(shí)，它們的坐標(biāo)原點(diǎn) 0、 0’相重合，如圖所示。 由 (2)， (3)式得 對(duì)于 y’與 y， z’與 z之間的關(guān)系，由于 S’系的原點(diǎn) 0’在 y方向和 z方向沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因而無(wú)論 x,z,t如何，在兩個(gè)慣性系中 0’點(diǎn)的坐標(biāo)永遠(yuǎn)是 y’=y=0和z’=z=0，于是我們可假設(shè) y’與 y， z’與 z之間的關(guān)系分別為： ( ) ( 3 )x k x t?????1 ( 4 )kkt k t xk ???????( 6 ) ( 5 ) zbzyay??????,xt?? 又假設(shè)當(dāng) S系和 S’系的坐標(biāo)原點(diǎn) 0， 0重合時(shí)，由重合點(diǎn)發(fā)出一個(gè)沿各方向傳播的光信號(hào)（點(diǎn)光源），根據(jù)光速 不變?cè)?，在每一慣性系中光信號(hào)在所有方向上均以速率 c傳播。 11????ba 167。 對(duì)于任意兩個(gè)事件，間隔并不一定為零 。 0 , 2 ?? Sctr 故 P點(diǎn)在 x y 面上的投影表示事件發(fā)生的地點(diǎn)， P點(diǎn)的垂直坐標(biāo)表示事件發(fā)生的時(shí)刻 t 乘以 c 。由于四維時(shí)空的結(jié)構(gòu)由三個(gè)區(qū)域組成，對(duì)于上述三種情況，具體分析它們各自的特點(diǎn)： (1)若事件 P與事件 的間隔是 ，則 ， 因此 P點(diǎn)在一個(gè)以 點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面上，這個(gè)錐面稱(chēng)為 光錐 。 (3)若事件 P與事件 的間隔是 ，則 ，因而 P點(diǎn)在光錐之外。 概括起來(lái)，事件 P相對(duì)于事件 的時(shí)空關(guān)系可作如下的絕對(duì)分類(lèi)： (1) 類(lèi)時(shí)間隔 a) 絕對(duì)將來(lái)，即 P在 的上半光錐內(nèi)。 同時(shí)的相對(duì)性 定性描述： 一個(gè)作勻速運(yùn)動(dòng)的車(chē)子，其前后兩門(mén)皆用光信號(hào)控制其開(kāi)和關(guān)。這就是 ?o? o??????同時(shí)的相對(duì)性。 運(yùn)動(dòng)尺度的縮短 —空間距離的相對(duì)性 測(cè)量物體的長(zhǎng)度往往就是用一根尺子去和物體比較，看物體的兩端與尺子上哪兩點(diǎn)重合，關(guān)鍵在于必須對(duì)其物體的兩個(gè)端點(diǎn)進(jìn)行 同時(shí) 測(cè)量。測(cè)桿的長(zhǎng)為 根據(jù) Lorentz變換式： 12 xxABl ???111 1 122()1xtx x tc?????? ? ? ???? 兩式相減，即得 由于 t2t1= 0，故有 即 222 2 222()1xtx x tc?????? ? ? ??? ?2 1 2 1 2 1( ) ( )x x x x t t????? ? ? ? ?)( 1212 xxxx ????? ?0221lllc????? 或者 由于 ，所以 ll0，這表明固定在 系 中的桿最長(zhǎng)，在相對(duì)于它的速度 運(yùn)動(dòng)的參考系 ∑中，它的長(zhǎng)度就減少到 ，相對(duì)論的這個(gè)結(jié)果稱(chēng)為 Lorentz收縮， l0稱(chēng)為固有長(zhǎng)度 ?？梢钥吹?，在某一慣性系中 為同地的兩事件在該系中的時(shí)間間隔最短。 由此得到 結(jié)論 ： 運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘所指示的時(shí)間間隔比靜止的時(shí)鐘所指示的時(shí)間間隔要小 。如播種必在收獲之先，人的死亡必在出生之后，因果關(guān)系的絕對(duì)性反映了事物發(fā)展變化的客觀事實(shí)，與參考系的選擇無(wú)關(guān)。因?yàn)閷?duì)這兩事件 來(lái)說(shuō)， 不代表什么速度，所以它不大于 c當(dāng) 然是可能的。 b) 在非相對(duì)論極限下 c→∞ ，速度變換式將過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)中速度變換式，即 ) , ,( zyx uuu ???),( zyx uuu ??? , , x x y y z zu u u u u u?? ? ?? ? ? ?) , ,( zyx uuu) , ,( zyx uuu?? ???????????????? ?? c) 當(dāng) ， vc時(shí)，則 ，這說(shuō)明不可能把兩個(gè)相 對(duì)速度加起來(lái)，使它們的合成速度由某一慣性系測(cè)量大于 c。 求站在一根尺上測(cè)量另一根尺的長(zhǎng)度 。 b) 若令 并考慮到 drdtdrdt????????為 粒 子 相 對(duì) 于 系 的 速 度為 粒 子 相 對(duì) 于 系 的 速 度221rtct????? ???則 c) 因此找到了三個(gè)客體：兩個(gè)觀察者 和 以及一個(gè)粒子，從而可推導(dǎo)出粒子相對(duì)于 系的速度矢量式，因?yàn)? 用 去除，即有 221drdtcdt????? ??2 2( 1 )1r d td r d r???? ??? ?? ? ? ? ??????? ????dt? 22222222( 1 )1( ) /11( 1 )11 ( ) /1dr dtdrdrdt dr cdtdrdrdtdt vdrcdt????????????????? ? ????? ? ????? ????????? ? ???????????? 即 2222()1 ( 1 1 )1drdr dtdtdrdtc??? ? ????????? ? ? ? ????????2222()1 ( 1 1 )1uuuuc??? ? ????? ? ? ? ?? ???討論： a) 如果 系相對(duì)于 系沿 x軸正方向以速度 運(yùn)動(dòng)，即 從而可得 x x y y z z x x xu u u u u u? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2222221 ( 1 1 )11xxxxxxuuuucuuc?? ? ??????? ? ? ? ?? ?????????? ? b) 當(dāng) 時(shí)，得到 這個(gè)式子在本章習(xí)題五第三問(wèn)要用到，習(xí)題五中 222222221 0 1111 0 111yyyxxzzzxxuuuuuccuuuuucc????????? ? ?? ??????? ? ?? ??????u? ?21uu??? ? ? ? 的 ，上式兩邊平方得： 這樣即可求出 u，從而其它結(jié)果都可求出。 速度和加速度變換式 (1)這里，我們要找出某個(gè)粒子在一個(gè)參考系內(nèi)的速度與在另一個(gè)參考系內(nèi)的速度之間的變換關(guān)系。 設(shè)兩事件的時(shí)空坐標(biāo)在 ∑系中為 (x1,t1) 和 (x2,t2)，在 系中為 ，則由 Lorentz 變換式， ),(),( 2211 txtx ???? 和??有 如果兩事件有因果關(guān)系，而且 t2t1，由于它們的秩序不可顛倒，必須在 系中觀察時(shí)，也有 ，這就說(shuō)明 必須同號(hào)，從形式上看，這就要求： 即 2 1 2 1221 2( ) ( )1t t x xctt??? ? ??????)()( 1212 tttt ???? 與12 tt ???2 1 2 12 ()t t x xc?? ? ?22121()()xx ctt? ? ????令信號(hào)速度為：（當(dāng)然這也是物體的運(yùn)動(dòng)速度） 則有 式中： 是兩慣性系之間的相對(duì)速度，它不可能超過(guò)光速 c，而且物質(zhì)的速度 uc，由此可見(jiàn)，相對(duì)論與因果律并不矛盾。 ??)( t?????21 ?????? t11 2 ?? ? ????t???? ? 因果律對(duì)信號(hào)速度的限制 從以上討論知道，同時(shí)是相對(duì)的，時(shí)間間隔也是相對(duì)的。這樣，上式可寫(xiě)為 由于 ，故 。如果物體 20 21ll c???2211c???20 1 ??l?21 ???是任意形狀的，那么就是沿運(yùn)動(dòng)方向的長(zhǎng)度有上述的縮短。 b?a? b? 設(shè)在 系內(nèi)有一根平行 軸的靜止的桿，在 系的觀察者觀測(cè)，桿的后端坐標(biāo)為 ，前端坐標(biāo)為 ，桿相對(duì)于 系的觀察者沒(méi)有運(yùn)動(dòng)。 由此得到 結(jié)論 ： 若兩個(gè)事件在某一參考系中為同時(shí)異地事件，那么根據(jù) Lorentz變換式，在其他參考系中這兩個(gè)事件就不是同時(shí)的。 但 ∑系觀察者看來(lái)，因光往前、往后的傳播速度都是 c (光速不變?cè)恚?，而前、后門(mén)