【正文】 the intermediate value theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem. KEY WORDS：Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root Application 目 錄摘　 要 ..............................................................I外文頁(yè) .............................................................II前　 言 ..............................................................11 介值定理及其證明方法 ..............................................2 介值定理的內(nèi)容 ..............................................2 介值定理的四種證明方法 ......................................2 應(yīng)用確界原理 ...........................................2 應(yīng)用區(qū)間套定理 .........................................3 應(yīng)用致密性定理證明 .....................................4 應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)則證明 ...................................52 介值定理的應(yīng)用 ....................................................7 利用介值定理判斷方程根的存在性 ..............................7 介值定理在解不等式中的應(yīng)用 ..................................8 介值定理在證明等式中的應(yīng)用 .................................10 介值定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 .................................123 介值定理的推廣 ...................................................14 一元函數(shù)介值定理的推廣 .....................................14 推廣介值定理的內(nèi)容 ....................................14 推廣的介值定理的一個(gè)應(yīng)用 ..............................15 二元函數(shù)的介值定理 ........................................18 二元函數(shù)介值性定理的內(nèi)容 ..............................18 二元函數(shù)介值定理的應(yīng)用 ................................19參考文獻(xiàn) ...........................................................21致　 謝 .............................................................22前　言介值定理是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)．這一定理雖然簡(jiǎn)單，但應(yīng)用卻異常廣泛，微積分理論中有不少定理的證明要用到該定理．介值定理（Intermediate value theorem）首先由 伯納德波爾查諾提出和證明．對(duì) 波 爾 查 諾 來(lái) 說(shuō) 有 點(diǎn) 不 幸 的 是 ： 他 的數(shù) 學(xué) 著 作 多 半 被 他 的 同 時(shí) 代 的 人 所 忽 視 ， 他 的 許 多 成 果 等 到 后 來(lái) 才 被 重 新 發(fā) 現(xiàn) ， 但 此時(shí) 功 勞 已 被 別 人 搶 占 或 只 能 與 別 人 分 享 了 .華東師范大學(xué)版的《數(shù)學(xué)分析》對(duì)介值定理的描述是：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連f??ba,續(xù)，且 .設(shè) 為介于 與 之間的任何實(shí)數(shù)（ 或)(bfaf??)(afbf )()(a??）,則至少存在一點(diǎn) ,使得 ．介值定理是閉區(qū)間上連續(xù))(f??0x)??)(0xf函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在《數(shù)學(xué)分析》教材中一般應(yīng)用有關(guān)實(shí)數(shù)完備性的 6 個(gè)基本定理中的確界原理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理來(lái)證明．在這里我們通過(guò)巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，應(yīng)用區(qū)間套定理，致密性定理，柯西收斂準(zhǔn)則以及確界原理來(lái)證明．介值定理在連續(xù)函數(shù)中具有廣泛的應(yīng)用性．比如判斷方程根的存在性、求解不等式、證明一些等式、解決實(shí)際問(wèn)題等．當(dāng)然還有其它許多關(guān)于介值定理的研究，他們多數(shù)都是針對(duì)介值定理的某一方面而進(jìn)行的，例如葉國(guó)柄發(fā)表在陜西工學(xué)院學(xué)報(bào)的一篇文章《介值定理的推廣及其應(yīng)用》 ，一方面他把閉區(qū)間推廣為任意區(qū)間，另一方面從常數(shù) 和 入手， 和 也可以)(afbf)(afbf為 或 ．利用推廣的介值定理，得到了求一類方程絕對(duì)誤差為 的近似??? ?解的一種好方法．此外二元函數(shù)介值定理的介紹，拓寬了研究范圍，加深了學(xué)習(xí)難度．使我們能夠更加努力地學(xué)習(xí)．1 介值定理及其證明方法 介值定理的內(nèi)容定理 [1] 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 .設(shè) 為介于 與 之f],[ba)(bfaf??)(afbf間的任何實(shí)數(shù)（ 或 ）,則至少存在一點(diǎn) ,使得)()(a??)(f??0x?．?0x這個(gè)定理表明，若 在 上連續(xù)，又不妨設(shè) ，則 在 上必能取得f],[b)(bfaf?f],[ba區(qū)間 上的一切值，即有)](,[bfa．]),([)],([ffa?推論（根的存在定理） 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 與 異號(hào)（即,b)(afbf） ，則至少存在一點(diǎn) ，使得0)(?bfa ),(0x?．0?f即方程 在 內(nèi)至少有一個(gè)根．根的存在定理也就是零點(diǎn)定理．在下面一)(?xf),(ba些問(wèn)題的證明中，我們會(huì)多次應(yīng)用根的存在定理也即零點(diǎn)定理來(lái)解決一些問(wèn)題，并且借用根的存在定理證明介值定理． 介值定理的四種證明方法 應(yīng)用確界原理 [1]不妨設(shè) ．令 ，則 也是 上的連續(xù)函數(shù)，且)()(bfuaf?uxfg??)(g],[ba．于是定理的結(jié)論轉(zhuǎn)化為：存在 使得 ．這個(gè)簡(jiǎn)單的0,)(??bg )(0?0)(?xg情形即為根的存在性定理．記 顯然 為非空有界集 故由確界原理，??.],[,)(baxE??E),],[(Eba?且有下確界，記 .因由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，存在 使得在EExinf0? ,0??內(nèi)),[??a在 由此易見(jiàn) 即 ．,)(?xg,)(g],(??b內(nèi)?,0ax?,b)(0ax?下證 ．倘若 不妨設(shè) 則又由局部保號(hào)性，存在)0,0x,)(?g )。(0?xU)(?當(dāng) 充分大時(shí)有 因而有 ．但這與 選取時(shí)應(yīng)滿足的n,。若 則記右半][(2ab?],[21().??個(gè)區(qū)間為 ．總之有 如此繼續(xù)下去,得到數(shù)列 滿足:21a,)1Xg?)(2Y??nba,．.。0)lim????nnabYgXn?)()(3取數(shù)列 則數(shù)列 滿足柯西條件，即 存在正整數(shù)??,.,.,:2ac ??c,0???當(dāng) 時(shí)， ．事實(shí)上，當(dāng) 為數(shù)列 中的項(xiàng)時(shí)，由于該數(shù)列有上,Nm???mncmn,na界，從而有上確界為 存在正整數(shù) 有 ．當(dāng) 時(shí)，根據(jù)數(shù),0??N20???NNm,列的遞增性，有．???????? Nmnmnmn aaa同理可得， 為數(shù)列 中的項(xiàng)的情況．當(dāng) 一個(gè)為數(shù)列 中的項(xiàng)時(shí)，一個(gè)c,??bnc,??n為數(shù)列 中的項(xiàng)時(shí)，由(2) 得 存在正整數(shù) 當(dāng) 時(shí) ．當(dāng)??nb,0:???()N???,2???b時(shí)