【正文】 模型。Copulas模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量不獨(dú)立的模型。Common Shock 模型假定個(gè)體之間的剩余壽命隨機(jī)變量相互獨(dú)立的模型。 多生命狀況剩余壽命的關(guān)系（1） （2） （3） （4） 兩個(gè)體最后生存狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)等價(jià)公式（2）生存函數(shù)等價(jià)公式（3）密度函數(shù)等價(jià)公式（4）死亡效力函數(shù)（5）最后生存狀況整值剩余壽命為 的概率等價(jià)公式（6）剩余壽命期望聯(lián)合生命狀態(tài)剩余壽命協(xié)方差分析第三節(jié)當(dāng)所有的成員都死亡時(shí)，最后生存狀況就結(jié)束了。 兩個(gè)體連生狀況的生命函數(shù)（1）分布函數(shù)（2）生存函數(shù)特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合（3）密度函數(shù)特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合（4）死亡效力函數(shù)特別：兩個(gè)體剩余壽命獨(dú)立場(chǎng)合（5）兩個(gè)體至少有一個(gè)在第 年內(nèi)死亡的概率（6）連生狀況整值剩余壽命為 的概率（7）剩余壽命的期望二、最后生存狀況當(dāng)有一個(gè)成員死亡時(shí)，連生狀況就結(jié)束了。 一、連生狀況 邊際生存函數(shù)第二節(jié) 聯(lián)合分布函數(shù) 合伙人聯(lián)保場(chǎng)合n遺產(chǎn)稅的計(jì)算場(chǎng)合三、多元剩余壽命的聯(lián)合分布 多元生命函數(shù)簡(jiǎn)介一、多元生命函數(shù)的定義：涉及多個(gè)生命剩余壽命的函數(shù)。條件： ，其中 為第一年費(fèi)用按均衡保費(fèi)衡量的額外補(bǔ)貼，有其中：a＝150％凈均衡保費(fèi)，b＝新契約費(fèi)，c＝仍然提供的管理費(fèi)用及保單持有人分紅時(shí)在第二年及以后年中可收回費(fèi)用的精算現(xiàn)值。有常用修正責(zé)任準(zhǔn)備金方法（1）完全初年修正方法條件：第一年的修正凈保費(fèi)等于第一年的死亡受益現(xiàn)值： 則有：（2）美國(guó)保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生背景：FPT適用于低費(fèi)率保單，如果是高費(fèi)率保單，第一年沖銷(xiāo)的費(fèi)用就過(guò)多了。修正后成為階梯保費(fèi)： 。 為了保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)溢出比較平滑，也同時(shí)兼顧被保險(xiǎn)人的利益，有了修正責(zé)任準(zhǔn)備金的概念。換言之，在保險(xiǎn)費(fèi)用這一方面是保險(xiǎn)人先墊付了被保險(xiǎn)人的費(fèi)用，被保險(xiǎn)人用將來(lái)的分期付款逐期償還首年欠付費(fèi)用。八、分?jǐn)?shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的確定UDD假定下，近似方法：第二節(jié) 元（終身壽險(xiǎn)為 ）純保費(fèi)的純壽險(xiǎn)完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金 （終身壽險(xiǎn)為 ）的一部分，比例為 。七、一年繳費(fèi)若干次責(zé)任準(zhǔn)備金的確定一年繳費(fèi)若干次的責(zé)任準(zhǔn)備金可以表示為一年繳費(fèi)一次的完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金加上一個(gè)損失保費(fèi)的額外附加責(zé)任準(zhǔn)備金。 六、半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金的確定根據(jù)死亡年末給付與死亡即刻給付之間的關(guān)系，根據(jù)半連續(xù)保費(fèi)與完全離散保費(fèi)之間的關(guān)系，半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金都可以轉(zhuǎn)換為完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金的函數(shù)。 解釋?zhuān)?稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)凈值，是指一旦這一年中有死亡發(fā)生，死亡受益超過(guò)責(zé)任準(zhǔn)備金部分的數(shù)額。 解釋?zhuān)?第年死亡受益， 為第年初繳付保費(fèi)。（2）推導(dǎo)：（以完全連續(xù) 年定期兩全保險(xiǎn)為例）后顧方法（1）理解：責(zé)任準(zhǔn)備金是已付保費(fèi)積累值與保險(xiǎn)成本積累值（accumulated cost of insurance）之差。前瞻虧損的方差三、用前瞻法確定常見(jiàn)險(xiǎn)種的責(zé)任準(zhǔn)備金終身壽險(xiǎn)，終身繳費(fèi) 年定期壽險(xiǎn)， 年繳費(fèi) 年兩全險(xiǎn)， 年繳費(fèi) 次繳費(fèi)終身壽險(xiǎn) 次繳費(fèi) 年定期壽險(xiǎn) 年延期， 年繳費(fèi)的終身生存年金四、凈責(zé)任準(zhǔn)備金的其它確定公式保費(fèi)差公式（1）理解：責(zé)任準(zhǔn)備金等于剩余繳費(fèi)期內(nèi)保費(fèi)差的精算現(xiàn)值。（2）按被保險(xiǎn)人繳費(fèi)、保險(xiǎn)人賠付的方式分完全連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡即刻賠付，連續(xù)繳費(fèi)）完全離散責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡年末賠付，生存期初繳費(fèi)）半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金（死亡即刻賠付，生存期初繳費(fèi)）二、凈責(zé)任準(zhǔn)備金確定原理以完全連續(xù)終身壽險(xiǎn)為例前瞻虧損（prospective loss）其中：凈責(zé)任準(zhǔn)備金的確定前瞻虧損的期望即該時(shí)刻的凈責(zé)任準(zhǔn)備金，記作 。它的實(shí)質(zhì)是現(xiàn)存被保險(xiǎn)人未來(lái)收益與未來(lái)繳費(fèi)現(xiàn)時(shí)值之差。凈責(zé)任準(zhǔn)備金定義：保險(xiǎn)公司在任一時(shí)刻對(duì)每個(gè)現(xiàn)存被保險(xiǎn)人的未盡責(zé)任現(xiàn)時(shí)值，就稱(chēng)為凈責(zé)任準(zhǔn)備金。第六章 責(zé)任準(zhǔn)備金 第一節(jié)如果 ，近似總保費(fèi)高于真實(shí)總保費(fèi)。如果 ，近似總保費(fèi)低于真實(shí)總保費(fèi)。費(fèi)率函數(shù) （1）定義（2）近似費(fèi)率公式如果 ，近似總保費(fèi)等于真實(shí)總保費(fèi)。 （2）毛保費(fèi)構(gòu)成分析 如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知單等。 毛保費(fèi)的分析（1）毛保費(fèi)可分為三部分：第一部分：跟保險(xiǎn)金額有關(guān)的費(fèi)用，如承保費(fèi)用等第二部分：跟保費(fèi)數(shù)額有關(guān)的費(fèi)用。=各種給付精算現(xiàn)值+各種費(fèi)用支出精算現(xiàn)值三、 單位保單費(fèi)用 保單費(fèi)用：在保險(xiǎn)費(fèi)用中，有一部分附加費(fèi)用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險(xiǎn)金額或保險(xiǎn)費(fèi)無(wú)關(guān)，這部分費(fèi)用稱(chēng)為保單費(fèi)用，如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知的費(fèi)用等。 保險(xiǎn)費(fèi)用范圍：稅金、許可證、保險(xiǎn)產(chǎn)品生產(chǎn)費(fèi)用、保單銷(xiāo)售服務(wù)費(fèi)用、合同成立后的維持費(fèi)、投資費(fèi)用等。 毛保費(fèi)一、 保險(xiǎn)費(fèi)用簡(jiǎn)介定義：保險(xiǎn)公司支出的除了保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的保險(xiǎn)金給付外，其它的維持保險(xiǎn)公司正常運(yùn)作的所有費(fèi)用支出統(tǒng)稱(chēng)為經(jīng)營(yíng)費(fèi)用。 終身壽險(xiǎn)年繳 次保險(xiǎn)假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起每年繳費(fèi) 次，每期期初繳費(fèi)（給付連續(xù)，繳費(fèi)離散）216。 假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起每年年初交付保費(fèi)（給付連續(xù)，繳費(fèi)離散，這是實(shí)際中最常見(jiàn)的給付、繳費(fèi)方式）216。 常見(jiàn)險(xiǎn)種完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定險(xiǎn)種完全連續(xù)凈均衡年保費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)年定期壽險(xiǎn)年兩全保險(xiǎn)年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)年繳費(fèi) 年兩全保險(xiǎn)年生存保險(xiǎn)年遞延終身生存保險(xiǎn)（2） 厘定過(guò)程：216。 終身壽險(xiǎn)完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定216。 完全離散凈均衡年保費(fèi)的厘定（1） 假定條件： 死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)）216。L=給付金現(xiàn)值純保費(fèi)現(xiàn)值E（L）=0E（給付金現(xiàn)值）=E（純保費(fèi)現(xiàn)值）凈均衡保費(fèi)與躉繳純保費(fèi)的關(guān)系E（躉繳純保費(fèi)現(xiàn)值）=E（凈均衡保費(fèi)現(xiàn)值）二、 各險(xiǎn)種凈均衡保費(fèi)的厘定 按保險(xiǎn)的種類(lèi)分：只覆蓋死亡的保險(xiǎn)：純壽險(xiǎn)保費(fèi)只覆蓋生存的保險(xiǎn)：生存險(xiǎn)保費(fèi)既覆蓋死亡又覆蓋生存的保險(xiǎn)：兩全險(xiǎn)保費(fèi)在前兩章中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)各險(xiǎn)種場(chǎng)合躉繳純保費(fèi)的確定：（1）純壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（死亡受益死亡即刻支付）終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 年延期終身壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 年延期 年定期壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： （2）生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的確定（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）年定期生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 終身生存年金躉繳純保費(fèi)： 年延期終身生存年金躉繳純保費(fèi)： 年定期生存年金躉繳純保費(fèi)： 年延期 年定期生存年金躉繳純保費(fèi)： （3）兩全險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的確定（死亡受益死亡即刻支付，生存受益保險(xiǎn)期沒(méi)支付）年定期兩全險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)： 第二節(jié) 保費(fèi)簡(jiǎn)介一、 保費(fèi)的構(gòu)成二、 保費(fèi)的分類(lèi) 等額年金計(jì)算基數(shù)公式險(xiǎn)種初付延付終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金第五章 險(xiǎn)種延付年金精算現(xiàn)時(shí)值終身生存年金年定期生存年金延期 年終身生存年金延期 年 年定期生存年金第五節(jié) 終身離散生存年金、定期離散生存年金延期離散生存年金、非延期離散生存年金二、初付生存年金精算現(xiàn)值的估計(jì)由于大多數(shù)壽險(xiǎn)公司都采用的是初付年金的方式收取保費(fèi)，所以我們首先討論初付年金的精算現(xiàn)值的估計(jì)。 離散生存年金一、離散生存年金簡(jiǎn)介定義：在保障時(shí)期內(nèi)，以被保險(xiǎn)人生存為條件，每隔一段時(shí)間支付一次年金的保險(xiǎn)。 綜合支付技巧：考慮年金在因死亡或到期而結(jié)束時(shí)的總值。 當(dāng)期支付技巧：考慮未來(lái)連續(xù)支付的現(xiàn)時(shí)值之和u 終身（永久）連續(xù)生存年金、定期連續(xù)生存年金延期連續(xù)生存年金、非延期連續(xù)生存年金連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計(jì)方法u 連續(xù)生存年金一、 連續(xù)生存年金簡(jiǎn)介定義：在保障時(shí)期內(nèi)，以被保險(xiǎn)人生存為條件，連續(xù)支付年金的保險(xiǎn)。 S1單位元數(shù)的 年期生存保險(xiǎn)的躉繳純保費(fèi)為 。 與生存相關(guān)聯(lián)的一次性支付一、 年期生存保險(xiǎn)定義現(xiàn)齡 歲的人在投保 年后仍然存活，可以在第 年末獲得生存賠付的保險(xiǎn)稱(chēng)為 年期生存保險(xiǎn)。 某些場(chǎng)合保險(xiǎn)人理賠時(shí)支付的保險(xiǎn)金采用生存年金的方式，特別在：養(yǎng)老保險(xiǎn)、殘疾保險(xiǎn)、撫恤保險(xiǎn)、失業(yè)保險(xiǎn)等場(chǎng)合。 生存年金與確定性年金的區(qū)別：確定性年金的支付期數(shù)是確定的，而生存年金的支付期數(shù)是不確定的（以被保險(xiǎn)人生存為條件）二、 生存年金的用途 生存年金與確定性年金的聯(lián)系：都是每隔一段時(shí)間的系列付款（3）（2） 生存年金簡(jiǎn)介一、 生存年金的定義和分類(lèi)生存年金的定義：以被保險(xiǎn)人存活為條件，間隔相等的時(shí)期（年、半年、季、月）支付一次保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)類(lèi)型。 計(jì)算基數(shù)一、 什么是計(jì)算基數(shù)定義：在保險(xiǎn)精算學(xué)中，有些保費(fèi)的計(jì)算過(guò)程往往很繁瑣，為簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，引入一些換算函數(shù)，這些換算函數(shù)是一些根據(jù)假定條件事先算好的中間量，也稱(chēng)為計(jì)算基數(shù)，一般的保費(fèi)計(jì)算都可以表示成這些計(jì)算基數(shù)的函數(shù)形式。公式四：理解： 的躉繳純保費(fèi)等于其未來(lái)所有年份的保險(xiǎn)成本的現(xiàn)時(shí)值之和。公式二：理解： 個(gè) 歲的被保險(xiǎn)人所繳的躉繳保費(fèi)之和經(jīng)過(guò)一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險(xiǎn)人提供次年的凈躉繳保費(fèi) ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險(xiǎn)人提供額外的 。第四節(jié)其它險(xiǎn)種場(chǎng)合顯然，其它險(xiǎn)種場(chǎng)合的情況和定期壽險(xiǎn)場(chǎng)合一樣。二、主要險(xiǎn)種死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)的厘定 年定期壽險(xiǎn)（1）基本函數(shù)關(guān)系記 為被保險(xiǎn)人整值剩余壽命，則（2） 年定期壽險(xiǎn)死亡年末陪付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定等式兩邊同乘以 ，得這一等式顯示了保單發(fā)行時(shí) 個(gè) 歲的被保險(xiǎn)人的凈躉繳保費(fèi)總和與按死亡預(yù)期流出的資金量現(xiàn)時(shí)值之間的平衡關(guān)系。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。 死亡年末賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定一、死亡年末賠付的含義 死亡年末陪付是指如果被保險(xiǎn)人在保障期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險(xiǎn)公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險(xiǎn)賠付。假定受益金額為剩余壽命的遞減線(xiàn)性函數(shù)。假定受益金額為剩余壽命的遞增線(xiàn)性函數(shù)。（2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的 年定期兩全險(xiǎn)（3）基本函數(shù)關(guān)系（4） 年定期兩全險(xiǎn)死亡即刻賠付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定記年定期壽險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ， 年定期生存險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ， 年定期兩全險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量為 ，已知?jiǎng)t有即（5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗?年定期兩全保險(xiǎn)現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差等價(jià)于延期 年的 年定期兩全險(xiǎn)（1）定義：被保險(xiǎn)人在投保后的前 年的死亡不獲賠償，從第 年開(kāi)始為期 年的定期兩全險(xiǎn)。（2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的 年定期生存險(xiǎn)（3）基本函數(shù)關(guān)系（4） 年定期生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定（5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差 年定期兩全險(xiǎn)（1）定義：被保險(xiǎn)人投保后如果在 年期內(nèi)發(fā)生保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險(xiǎn)人即刻給付保險(xiǎn)金；如果被保險(xiǎn)人生存至 年期滿(mǎn)，保險(xiǎn)人在第 年末支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。（2） （2）假定： 的人投保保額為1單位元數(shù)的 年定期壽險(xiǎn)（3）基本函數(shù)關(guān)系（4） 年定期壽險(xiǎn)死亡即刻陪付躉繳純保費(fèi)（ ）的厘定（5）現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差記則終身壽險(xiǎn)（1）定義：保險(xiǎn)人對(duì)被保險(xiǎn)人在投保后任何時(shí)刻發(fā)生的保險(xiǎn)責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險(xiǎn)金的險(xiǎn)種。 由于死亡可能發(fā)生在被保險(xiǎn)人投保之后的任意時(shí)刻，所以死亡即刻陪付時(shí)刻是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時(shí)期長(zhǎng)度就等于被保險(xiǎn)人簽約時(shí)的剩余壽命。它是在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，保險(xiǎn)公司通常采用的理賠方式。 死亡即刻賠付保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)的厘定一、 死亡即刻賠付的含義：受益賠付額回溯到保單生效時(shí)的現(xiàn)時(shí)值，稱(chēng)為現(xiàn)時(shí)隨機(jī)變量，它是一個(gè)依賴(lài)于賠付時(shí)間、賠付金額和貼現(xiàn)函數(shù)的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為 ，有按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于 。：賠付時(shí)刻賠付的金額，或者說(shuō)是被保險(xiǎn)人的受益金額，稱(chēng)為受益函數(shù)。：從賠付時(shí)刻回溯至保單生效時(shí)的利息貼現(xiàn)，稱(chēng)為貼現(xiàn)函數(shù)。記是在大數(shù)場(chǎng)合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時(shí)值等于支出期望現(xiàn)時(shí)值。所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時(shí)值正好等于將來(lái)的保險(xiǎn)賠付金的期望現(xiàn)時(shí)值。假定三：保險(xiǎn)公司可以預(yù)測(cè)將來(lái)的投資受益（即預(yù)定利率）。二、 人壽保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)厘定的原理假定傳統(tǒng)的人壽保險(xiǎn)產(chǎn)品的躉繳純保費(fèi)是在如下假定下厘定的：假定一：同性別、同年齡、同時(shí)參保的被保險(xiǎn)人的剩余壽命獨(dú)立同分布。但對(duì)大量的被保險(xiǎn)人構(gòu)成的一個(gè)大數(shù)群體而