【正文】 ????????????ntxxtntxxtxxnxnxxntxtxxdtpdtllqllldtll0001???? ??? n txxtxn dtpq 0 ?? ? ??? mnn txxtxmn dtpq ?? ???? 101 dtpqq txxtxx ? ? ???? 101 dtpqq txxtxx ?對以下公式的直觀解釋： 如果將 1年分成 12個月，則： 1 25 1 25 1 25 1 1 2 25 1 2 11 25 1 1125 25 2512 12 12 12 12 12 12 12 12 121125 1250 12 12 12iiiq q p q p q p qpq?? ? ? ? ? ? ? ????如果將 1年分成 365天，則： 3641 25 25 1 250 365 365 365iiip q????如果將 1年分成 m個長度相等小段，則： 11 25 25 1 250miii m m mq p q???? 111251 25 25 1 2525001125 25 2502501l im l im11l imimmmmi i immiim m m mmi i t tmi mmqq p q pmmp p dtm???? ?? ? ? ???????? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?令 m??則 其中： itm? ? ???? 101 dtpqq txxtxx ?在公式 中， ,t x t t x tx t x t t x tqq dt t dt t qtt??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???其中： 1, 0 , 1 , , 1 , , 25it i m t xmm? ? ? ? ? ?1 0 , 1 , , 1t x x t t x t x t i x ixm m mp dt p q p q i m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?所以： 111251 25 25 1 2525001125 25 2502501l im l im11l imimmmmi i immiim m m mmi i t tmi mmqq p q pmmp p dtm???? ?? ? ? ???????? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? 由定積分的定義可知： 110 0111( ) l im 0 l im 0nnnniiiif x dx f fn n n n?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? （ 3 29） 作為練習(xí)，試推導(dǎo)以上公式（ 3 23） 的兩邊在 [x， x+n]上求定積分得： 令 y=x+t作代換， dy = dt， y = x 時 t =0 ， y = x + n 時 t = n，則 ???????????????ntxntxnxxydtxnxndtdyxnepqeep0011???)( ???? xxx ll ? nxxnxxynxx ynxx yy llldyldyl ???? ???????? ?? )(? nxxn txtx lldtl ??? ????0 ? 兩邊同除 ： 即： （ 3 23） dxld xxln???， 對上式兩邊從 0 ~ x求定積分： 即： 兩邊取指數(shù)： 所以： 對比 可知， s(x)的一般形式就是： 00000 ln)ln(lnlnlnllllldydylddy xxxyx yxy ????????? ?? ?00ln lldy xx y? ?? ?00lle xdyx y ??? ???? ? x y dyx ell00?)(0 xsll x ?? ?? ?xy dyexs 0)( ?該等式表明了死亡力與存活函數(shù)的關(guān)系。 生命表中確切年齡的存活人數(shù) 實際是假設(shè)同時出生的一批人 =100000，在達(dá)到整數(shù)確切年齡 x時的存活人數(shù)： xl0l )(0 xsll x ?? 生存函數(shù)曲線011 15 29 43 57 71 85 99s(x) 思考題： )(xs與 p在概念上有什么區(qū)別？ (2) 在表達(dá)方式上有什么區(qū)別？ (1) ： x歲的死亡力，它是 x歲的人在一個小的時間段上死亡的概率與這個時間段長度之比，也就是死亡的概率密度，定義 為： 由導(dǎo)數(shù)的定義可知： 所以： 得到： x? x? xhxxhxhhx lhllhq???? ??? 00limlim?xxfxxfxfx ????????)()(lim)( 0000? ?001l im l imlnlnx x h x h x xxhhx x xxxxxl l l l lh l l h ldl d lll dx dx? ???????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??)( ???? xxx ll ?（ 3 s (x)隨 x的增大而減小，是一個減函數(shù)。實際上，出生嬰兒未來存活時間即年齡 x 是一個 連續(xù) 的隨機(jī)變量，其取值范圍從 0到 ω。例如，四個同為 78歲的人，他們分別在 8年前、 7年前、6年前和 5年前通過了健康體檢，他們死亡的概率分別是： [ 70 ] 2 31 3q ? ?[ 72 ] 209q ?[ 70 ] 8 714q ? ?[ 71 ] 7 714q ? ?[ 72 ] 6 714q ? ?[ 73 ] 5 714q ? ? P26 [例 1． 6]根據(jù)本節(jié)的部分選擇終極表，求 3年前購買人壽保險，現(xiàn)年 76歲的被保人活到 80歲的概率。 []x k j kq ? ? ?[]xjq ?[ ] [ ]x k r k x rqq? ? ? ??[ ] [ ]x k r k x r x rq q q? ? ? ? ??? 選擇表 終極表 [x] q[x] q[x]+1 q[x]+2 q[x]+3 q[x]+4 qx+5 x+5 70 75 71 76 72 77 73 78 74 79 75 80 76 81 77 82 78 83 79 84 從表中容易看出，兩個同是 72歲的人，一個在兩年（ 70歲時）前通過健康體檢，死亡的概率是 另一個剛通過健康體檢，死亡的概率是 即前一個的死亡概率要大于后一個。在選擇期之后，死亡率只與到達(dá)年齡有關(guān)，而與選擇年齡無關(guān)，因此可以去掉下標(biāo)中的方括號，寫成： 由選擇效果消失之后的死亡率構(gòu)成的生命表稱為終極表。在實務(wù)中通常確定一個年限 r，當(dāng)選擇經(jīng)過 r年以后，我們就可以忽略這個差別，而?。? 這個 r 便稱為“選擇期”。例如，以上的兩個人如果都活過了 40歲的生日，這時他們在4041歲之間死亡的概率就沒有多少差別了。例如，兩個 30歲的同齡的成年人，一個在 5年前通過了健康體檢，另一個剛通過健康體檢，顯然前一個人的死亡概率要大于后一個人。 經(jīng)驗表明，相同年齡的死亡率會隨著選擇時間的推移而增大，即對于 0 k x ，有： 也就是說，同樣是 x + j 歲的人，選擇年齡在 xk 歲的比選擇年齡在 x 歲的經(jīng)過的時間更長，其死亡率便較高。 這里下標(biāo)方括號中的 x 稱為“選擇年齡”。這些在投保時被壽險公司認(rèn)為健康狀況良好的人，其死亡率自然不同于那些沒有考查過其健康狀況的人。但你去壽險公司買保險時，他們不只是知道你現(xiàn)在還活著，還有很多情況他們會弄清楚，其中最重要的就是你的健康狀況。但年齡倒退法對年齡很小的女性不適用，這時須采用其他調(diào)整方法。反映這種差別的方法有兩種：一是分別對不同性別進(jìn)行統(tǒng)計，構(gòu)造出男性生命表和女性生命表；一是不分性別統(tǒng)計而構(gòu)造出男女混合表，習(xí)慣上是對男性直接使用表中的死亡率，對女性則采用所謂年齡倒退法來確定死亡率。 無論是國民生命表還是經(jīng)驗生命表，有時必須考慮性別的差異。如果不區(qū)別這兩類被保險人而構(gòu)造同一個生命表，這個生命表中的死亡率必定對年金被保險人偏高而對壽險被保險人偏低，這樣，壽險公司完全暴露在逆選擇下。 選擇年金的投保往往是那些掂量著比別人活得久的人，而選擇壽險的多是對自己的身體不太樂觀的人，這種選擇稱為逆選擇。 經(jīng)驗生命表是根據(jù)許多家人壽保險公司對被保險人的統(tǒng)計資料構(gòu)造出來的，反映的是這些壽險公司的綜合經(jīng)驗和它們的被保險人的壽命分布情況。一些重要數(shù)據(jù)可以從國民生命表上得到，例如嬰兒死亡率、平均壽命、 60歲以上老人的平均余命等等。 國民生命表是根據(jù)全國范圍內(nèi)的人口統(tǒng)計資料構(gòu)造出來的，反映的是一個特定時期內(nèi)全國人口的壽命分布情況。 x 95 96 97 98 99 100 101 102xl330 289 240 198 101 45 14 0950e )2(1102101100999897969595950llllllllle ???????? 二、 生命表的編制 生命表可根據(jù)不同的統(tǒng)計范圍、對象、用途和是否有選擇，劃分成許多類型，如國民生命表與經(jīng)驗生命表，選擇生命表與綜合生命表。 ???????????????10012100)21(1])211()212()211(21[1???ttdtlddddl?1/ 2t ? )10( ?? ??t 010ldtt ????? 11 100?????ttdlldt21?t00e0 1/ 2?1 1 1 / 2? ?? 例：根據(jù)統(tǒng)計， x歲的存活群體如下表所示 ： 分別計算，當(dāng) x=82， x=84時的死亡人數(shù) ，死亡率 ， 存活率 。 假設(shè)死亡在每個年齡上都均勻分布，即 則有： 并且： xxxlTe ?00000lTe ?12100 2 ?????? ?llllT ? )2(1121000000??????? ?llllllTe ?)2(1 1210??? ?????? ?llllllTexxxxxxx ? 其中： 代入以上公式，得： 1100 ????? ?dddl ? 1211 ????? ?dddl ?122 ??? ?? ??? ddl…… 11 ?? ? ?? dl])(