【正文】 l l l lh l l h ldl d lll dx dx? ???????? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??)( ???? xxx ll ?（ 3實際上，出生嬰兒未來存活時間即年齡 x 是一個 連續(xù) 的隨機變量，其取值范圍從 0到 ω。 []x k j kq ? ? ?[]xjq ?[ ] [ ]x k r k x rqq? ? ? ??[ ] [ ]x k r k x r x rq q q? ? ? ? ??? 選擇表 終極表 [x] q[x] q[x]+1 q[x]+2 q[x]+3 q[x]+4 qx+5 x+5 70 75 71 76 72 77 73 78 74 79 75 80 76 81 77 82 78 83 79 84 從表中容易看出，兩個同是 72歲的人，一個在兩年（ 70歲時）前通過健康體檢，死亡的概率是 另一個剛通過健康體檢，死亡的概率是 即前一個的死亡概率要大于后一個。在實務(wù)中通常確定一個年限 r，當(dāng)選擇經(jīng)過 r年以后，我們就可以忽略這個差別，而?。? 這個 r 便稱為“選擇期”。例如，兩個 30歲的同齡的成年人，一個在 5年前通過了健康體檢，另一個剛通過健康體檢，顯然前一個人的死亡概率要大于后一個人。 這里下標(biāo)方括號中的 x 稱為“選擇年齡”。但你去壽險公司買保險時，他們不只是知道你現(xiàn)在還活著，還有很多情況他們會弄清楚，其中最重要的就是你的健康狀況。反映這種差別的方法有兩種：一是分別對不同性別進(jìn)行統(tǒng)計，構(gòu)造出男性生命表和女性生命表；一是不分性別統(tǒng)計而構(gòu)造出男女混合表，習(xí)慣上是對男性直接使用表中的死亡率，對女性則采用所謂年齡倒退法來確定死亡率。如果不區(qū)別這兩類被保險人而構(gòu)造同一個生命表，這個生命表中的死亡率必定對年金被保險人偏高而對壽險被保險人偏低，這樣，壽險公司完全暴露在逆選擇下。 經(jīng)驗生命表是根據(jù)許多家人壽保險公司對被保險人的統(tǒng)計資料構(gòu)造出來的，反映的是這些壽險公司的綜合經(jīng)驗和它們的被保險人的壽命分布情況。 國民生命表是根據(jù)全國范圍內(nèi)的人口統(tǒng)計資料構(gòu)造出來的，反映的是一個特定時期內(nèi)全國人口的壽命分布情況。 ???????????????10012100)21(1])211()212()211(21[1???ttdtlddddl?1/ 2t ? )10( ?? ??t 010ldtt ????? 11 100?????ttdlldt21?t00e0 1/ 2?1 1 1 / 2? ?? 例：根據(jù)統(tǒng)計， x歲的存活群體如下表所示 ： 分別計算，當(dāng) x=82， x=84時的死亡人數(shù) ，死亡率 ， 存活率 。 ???? ?????1012100??ttLLLLLT ?12100 2 ?????? ?llllT ?00lT0xe 3540 ?exTxl 即： ， 特別地，當(dāng) x=0時， 它表示同一批出生的人的平均壽命，簡稱平均壽命。如果死亡在所有年齡段上均勻分布（或發(fā)生在中點），則： 顯然， 就表示同時出生一批人的平均壽命。 80 81 10080 ?l 9681 ?l第 1個人 死亡日期 第 2個人 死亡日期 第 3個人 死亡日期 第 4個人 死亡日期 因此，如果假設(shè)死亡均勻分布（或發(fā)生在中點），就有以下等式成立： ， 于是有： 但通常 0歲組死亡人數(shù)的分布很不均勻，一般用下面經(jīng)驗公式計算： 這間接說明 0 ~ 1歲之間的嬰兒死亡率高于其他年齡段的死亡率。 年 因此，包括活著的和死去的人，在 80~81歲之間，他們總共存活了： 96+2=98（人 年；第 2個死亡的人存活了3/8人 年） 10080 ?l 9681l982 961002 818080 ????? llL（人 年）。 年） 是指是指活到確切年齡 x歲的人群 在到達(dá)了 x +1歲前平均存活的人年數(shù)。注意，這里的 n 即使等于 1也不能省略）： 以 表示 x歲的人在 x + n ~ x + n + m歲之間死亡的概率（或者x歲的人存活到 x+n歲并在 x+n ~ x+n+m歲之間死亡的概率），則 我們可以注意到，符號“ ”可理解為“延期 n年”； “ ” 可理解為“延期 n年、定期 m年”。 可知： （當(dāng) n=1 時可以省略不寫） xqxp xxx llp 1?? 011 ??????? llp， 111 ?????? ??xxxxxxxxx lllllllqpxnd nxxxn lld ???（ 3 4） xq 0lxl xd xq000 dql ? 111ql 111 ??? ? ??? dql…… ， ， ， 11 ?? ? ?? dl1111 ???????? ldq 與 x歲死亡概率 相對的另一個函數(shù)是 x歲存活概率 ， 也稱尚存概率 ， 以表示 。 由公式 (3 同理： 010 dll ?? 121 dll ??2 3 2l d??…… 11 ???? ??? dll 0??l ???? ?????101100??iiddddl ? ??????? ?????1011xiixxxx ddddl??? （ 3） ： x歲死亡概率 表示存活到確切年齡 x歲的人在到達(dá) x +1歲前死亡的概率。 在生命表中 0歲的人數(shù) 經(jīng)過一年要死去一部分人，這部分人數(shù)為 ，到達(dá) 1歲時存活人數(shù)還剩 ，經(jīng)過一年又死去 ，到 2歲時存活人數(shù)為 … 。生命表年齡上限以希臘字母 ω 表示 ，存活的最高年齡為 ω 1。 是同時出生的一批人數(shù)。 一、 生命表函數(shù)（用它來反映年齡 x與存活人數(shù)、死亡人數(shù)、存活概率、死亡概率的關(guān)系） 生命表是反映在封閉人口條件下（一個地區(qū)的人口不出也不進(jìn)），一批同時出生的人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計表。 多被保險人型人身保險與單被保險人型人身保險的精算內(nèi)容基本相同，其精算技術(shù)思想也基本相同。 單被保險人型人身保險的承保對象或被保險人只有一個人，即以單個被保險人發(fā)生保險事故為保險金給付條件。這一概率值也正是被保險人面臨危險事故的可能性。當(dāng)面臨同類危險的被保險人組成被保險集團(tuán)時，相當(dāng)于對隨機事件進(jìn)行多次重復(fù)觀察。這是由概率論中的大數(shù)法則決定的。 死亡保險 包括：定期死亡保險 、 終身死亡保險 、 延期死亡保險 。 保險契約 是投保人與保險人簽訂的契約（合同），投保人支付的費用為保險費，保險人支付的補償金額為保險金。投保人和被保險人可以是同一個人，也可以是不同的兩個人。 保險人 又稱保險方 、 承保人 ， 是經(jīng)營保險業(yè)務(wù)的各種組織 （ 如中國人壽 ） 。 參考書 7： 楊靜平：《非壽險精算學(xué)》，北京大學(xué)出版社。 參考書 6： 鄒公明、周俊所：《壽險精算數(shù)學(xué)》，中國時代經(jīng)濟(jì)出版社。每章都有難度適當(dāng)?shù)木毩?xí)題，書后附帶的生命表為《中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（ 19901993）》。該教材比較適合理科和精算專業(yè)的學(xué)生閱讀。但沒有附帶章節(jié)練習(xí)題，書后附帶的生命表與前者完全相同。 該教材內(nèi)容體系的編排比較合理，內(nèi)容由淺入深，公式的推導(dǎo)容易理解，每一章都附有練習(xí)題，這些練習(xí)題的難度比較適中，便于讀者自學(xué)，比較適合財經(jīng)類的學(xué)生閱讀。 目前，我國保險業(yè)仍不很發(fā)達(dá)，在理論和實踐上對保險的認(rèn)識多限于定性方面，而在定量分析和研究方面則非常薄弱。在發(fā)達(dá)國家，精算科學(xué) (Actuarial Science) 已有百余年的發(fā)展歷史，除了保險業(yè)外，精算方法還廣泛用于對金融、投資、社會保障、軍事等方面風(fēng)險的分析。 教材和參考書 1： 王曉軍、江星、劉文卿： 《保險精算學(xué)》，中國人民大學(xué)出版社。 該教材內(nèi)容體系的編排與前者相似，每章節(jié)中采用的例題比較典型、充分，其中的計算題較多，偏重于應(yīng)用。但每一章節(jié)都附有練習(xí)題，書后還附有這些練習(xí)題的答案，便于讀者對照，有些練習(xí)題還有一定的難度。 該書內(nèi)容包括了利息理論、壽險精算和非壽險精算三部分內(nèi)容。內(nèi)容編排通俗易懂，但沒有附帶章節(jié)練習(xí)題，書后附帶的生命表為《中國人壽保險業(yè)經(jīng)驗生命表（ 19901993）》。書中附有模擬考試題和試題解答。 保險精算中的一些概念簡介 保險與人身保險的概念 保險 是補償和減輕發(fā)生危險事故帶來損失的有效手段 ，是一種互助共濟(jì)的社會保障制度 。 被保險人 是以自己的生命和身體為保險標(biāo)的、受保險契約直接保障并享受保險金的人。 保險標(biāo)的是 指保險的具體對象和保險項目。 生存保險 包括：純粹的生存保險 、 生存年金 （ 定期生存年金 、 終身生存年金 、 延期生存年金 ） 。 人身保險精算的原理 危險事故的發(fā)生對單個人是隨機的、不可測的，但對社會總體而言是必然的、確定的。 人身保險中，每個被保險人在一定時期是否遭遇危險事故是隨機的、不確定的，并且各被保險人之間發(fā)生危險事件是相互獨立的。 單個人遭受危險事故損失的不確定性將在大量觀察中消失，從而表現(xiàn)為隨機事故發(fā)生的確定的概率值。 人身保險精算分單被保險人型人身保險和多被保險人型（團(tuán)體人身保險）人身保險兩種進(jìn)行研究。 單被保險人型人身保險精算的主要內(nèi)容有：生存年金精算現(xiàn)值、壽險精算現(xiàn)值、均衡凈保費、均衡凈保費責(zé)任準(zhǔn)備金、總保費、總保費下責(zé)任準(zhǔn)備金的修正、現(xiàn)金價值、資產(chǎn)份額以及幾種特殊年金和壽險的精算技術(shù)。它以表格的形式簡單清楚地表述了同時出生的一組人以怎樣的死亡率陸續(xù)死去的全部過程。 生命表中使用的主要函數(shù)有以下幾個： （ 1） ： 存活到確切整數(shù)年齡 x歲的人數(shù)，其中， x = 0， 1， 2， … ， ω1。經(jīng)過一年到達(dá) 1 歲時成為 ，再經(jīng)過一年到達(dá) 2歲時成為 … 。 xl0l0 100000l ?0l? ?12l 例： P304 附表 ω =106 ， ， ， （ 2） ：在 x ~ x + l歲之間死亡的人數(shù)。 1），有： 將以上 ω個等式左右兩邊相加，并且注意到 ，得： 即：所有死亡人數(shù)的總和等于出生的人數(shù)。生命表正是以 為基礎(chǔ)計算出來的。 xq xd xl xxxxxx lllldq 1????（ 3 一般地，以 表示 x歲的一批人在 x ~ x + n歲之間的死亡人數(shù)。 以 表示 x 歲的人繼續(xù)存活 n年的概率，則： 可知：