函數(shù)的極值及其應(yīng)用-文庫吧資料
2025-06-24 23:38本頁面
【正文】 且時(shí)，在處可能有極大值，也可能有極小值，也可能沒有極值．例如，這三個(gè)函數(shù)在處就分別屬于這三種情況．因此，如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零，那么還得用一階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)左右鄰近的符號(hào)來判定． 用微分法求函數(shù)極值的理論依據(jù)定理1 （極值的必要條件）如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，而且在點(diǎn)處有極值（極大值或極小值）則必有．由定理1可知：可導(dǎo)函數(shù)有極值點(diǎn)，則其極值點(diǎn)必是使其導(dǎo)函數(shù)值等于零的點(diǎn)（即方程的實(shí)根）；但反過來能使導(dǎo)函數(shù)值為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)． 例題例1 當(dāng)為何值時(shí)函數(shù)有極值，其極值如何？解 由題設(shè)條件知，令知，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，且．例2 求的極值．解 對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)可得：令，則由，得到，．由于當(dāng)時(shí)原函數(shù)在處取得極小值，當(dāng)時(shí)原函數(shù)在處取極大值．將代入得，所以函數(shù)在處取得極大值，其值為；將代入得，所以函數(shù)在處取得極小值，其值為．例3 在廚房屋角有一個(gè)八尺深的方窖，現(xiàn)要利用窖的兩壁攔一角來做一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的煤倉，其容量是立方尺，問如何做能最省材料．解 設(shè)倉庫寬為尺，長(zhǎng)為尺，則容量是，因?yàn)椋@是一個(gè)關(guān)于兩個(gè)正數(shù)的函數(shù)問題，且，兩正數(shù)之積為一定數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其和有極值，即， 時(shí)，最?。绻么硭貌牧系拿娣e，則，當(dāng)，時(shí)，最小最省材料．2 二元函數(shù)的極值問題及其應(yīng)用 二元函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)，如果都有，則稱為函數(shù)的極大值；如果都有，則稱為函數(shù)的極小值；極大值和極小值統(tǒng)稱為二元函數(shù)的極值；使二元函數(shù)取得極大值的點(diǎn)或者極小值的點(diǎn)，稱為極大值點(diǎn)或者極小值點(diǎn)；極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)． 二元函數(shù)極值存在的實(shí)例分析例4 二元函數(shù)在點(diǎn)處存在極小值．解 因?yàn)辄c(diǎn)的任一鄰域內(nèi)異于的點(diǎn)的函數(shù)值都為正，而且在點(diǎn)處的函數(shù)值為零．另外，從幾何圖形上看這是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)是開口向上的橢圓拋物面的頂點(diǎn)．例5 二元函數(shù)在點(diǎn)處存在極大值．解 因?yàn)辄c(diǎn)是位于面下方的錐面的頂點(diǎn)，所以二元函數(shù)在點(diǎn)處存在極大值．例６ 二元函數(shù)在點(diǎn)處不存在極值．解 因?yàn)樵邳c(diǎn)處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)，所以函數(shù)在點(diǎn)處既不存在極大值也不存在極小值． 二元函數(shù)極值存在的條件 二元函數(shù)極值存在的必要條件設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)處有極值，且兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即且．凡是能使且的點(diǎn)稱為二元函數(shù)的駐點(diǎn)．極值存在的必要條件說明，如果二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則二元函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)．但是二元函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．例如，點(diǎn)是函數(shù)的駐點(diǎn)，因?yàn)榍?，但是函?shù)在點(diǎn)不存在極值．與一元函數(shù)的情形相同，二元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上也有可能取得極值．例如，在原點(diǎn)沒有偏導(dǎo)數(shù)，但是的極小值． 二元函數(shù)極值存在的充分條件 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)
畢業(yè)設(shè)計(jì)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1