利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值-文庫(kù)吧資料
2025-05-22 02:04本頁(yè)面
【正文】 誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1．；2．；3．分析：為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號(hào)，以避免不該出現(xiàn)的失誤．解：1．函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，得或．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，0）和；令，得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0，1）．2．函數(shù)定義域?yàn)榱?，得．∴函?shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）．3．函數(shù)定義域?yàn)榱?，得或．∴函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和．說(shuō)明：依據(jù)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運(yùn)動(dòng)性．解決這類問題，如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準(zhǔn)．學(xué)生易犯的錯(cuò)誤是將兩個(gè)以上各自獨(dú)立單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯(cuò)誤結(jié)果．這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用．求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)例 已知，且1．設(shè)，求的解析式；2．設(shè)，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使在內(nèi)為減函數(shù)，且在（－1，0）內(nèi)是增函數(shù)．分析：根據(jù)題設(shè)條件可以求出的表達(dá)式，對(duì)于探索性問題，一般先對(duì)結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，由推證結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來(lái)作出判斷．解題的過程實(shí)質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的過程，由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造等價(jià)的不等式，確定適合條件的參數(shù)的取值范圍，使問題獲解．解：1．由題意得，∴∴2．．若滿足條件的存在，則∵函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，即對(duì)于恒成立．∴∴，解得．又函數(shù)在（－1，0）上是增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，即對(duì)于恒成立，∴∴，解得．故當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在（－1，0）上是增函數(shù)，即滿足條件的存在．說(shuō)明：函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運(yùn)動(dòng)、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關(guān)系．因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學(xué)生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關(guān)系，使分散的條件相對(duì)集中，促成問題的解決．不善于應(yīng)用恒成立和恒成立，究其原因是對(duì)函數(shù)的思想方法理解不深．利用導(dǎo)數(shù)比較大小例 已知a、b為實(shí)數(shù)，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：．分析：通過考察函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是常用的一種方法．根據(jù)題目自身的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)關(guān)系，在建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，應(yīng)盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)都比較容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，即．解：證法一：，∴要證，只要證，設(shè)，則．，∴，且，∴∴函數(shù)在上是增函數(shù)．∴，即，∴證法二：要證，只要證，即證，設(shè)，則，∴函數(shù)在上是減函數(shù)．又，即說(shuō)明：“構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合．解決這種問題常見的思維誤區(qū)是不善于構(gòu)造函數(shù)或求導(dǎo)之后得出的錯(cuò)誤結(jié)論．判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性例 函數(shù)在區(qū)間上是（ ） A．增函數(shù)，且 B．減函數(shù)，且 C．增函數(shù)，且 D．減函數(shù)，且分析：此題要解決兩個(gè)問題：一是要判斷函數(shù)值y的大??；二是要判斷此函數(shù)的單調(diào)性．解：解法一：令，且，則，排除A、B．由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，u在 上為減函數(shù)．又亦為減函數(shù)，故在 上為增函數(shù)，排除D，選C．解法二：利用導(dǎo)數(shù)法（），故y在上是增函數(shù)．由解法一知．所以選C．說(shuō)明：求函數(shù)的值域，是中學(xué)教學(xué)中的難關(guān)．一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值等（包括初等方法和導(dǎo)數(shù)法）．對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)是可以利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，但是利用導(dǎo)數(shù)法判斷一些較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)還是有很大優(yōu)勢(shì)的．利用公式2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1．；2．；3．．分析：根據(jù)所給問題的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整．函數(shù)和的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可直接應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)．解：1．2．3．說(shuō)明：對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，以免求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運(yùn)算失誤．運(yùn)算的準(zhǔn)確是數(shù)學(xué)能力高低的重要標(biāo)志，要從思想上提高認(rèn)識(shí)，養(yǎng)成思維嚴(yán)謹(jǐn)，步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會(huì)求，而且求對(duì)、求好的解題標(biāo)準(zhǔn)．根據(jù)斜率求對(duì)應(yīng)曲線的切線方程例 求曲線的斜率等于4的切線方程．分析：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，由于切線的斜率已知，只要確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，先利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上確定切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出切線方程．解：設(shè)切點(diǎn)為，則，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，故切點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．∴所求切線方程為即說(shuō)明：數(shù)學(xué)問題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系，解答這類問題常見的錯(cuò)誤是忽略切點(diǎn)既在曲線上也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢(shì)的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運(yùn)算量變大
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