【正文】 m 10 m 7 m 0BF F q M? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 1） ? ? 0zBMF?? 10 m 10 m 3 m 2 m 0AF M q F? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 2） 由式（ 1）和式（ 2）分別算出支反力： ? ； ? （ 2）建立剪力方程和彎矩方程 因?yàn)槿涸?A、 C、 B 和 D 點(diǎn)處發(fā)生載荷變化，出現(xiàn)四個(gè)界點(diǎn)，需要分三個(gè)區(qū)段列出剪力方程和彎矩方程。已知 16kNmM ? ， 2kNF? ， 2kN mq? 。 表 71 剪力圖和彎矩圖的圖形規(guī)律 q = 0 q ≠ 0 圖形 規(guī)律 斜率規(guī)律 圖形規(guī)律 斜率規(guī)律 q 指向 向下 q指向 向上 剪力圖 直線 水平 斜直線 左高右低 左低右高 彎矩圖 斜直線 QF＞ O 左低右高QF ＜ 0 左高右低 拋物線 開 口向下 開口向上 表 72 剪力圖和彎矩圖的突變值規(guī)律 集中力作用界點(diǎn) 集中力偶作用界點(diǎn) 剪力圖 突變方向 力的指向 突變方向 無突變 突變數(shù)值 等于集中力 突變數(shù)值 無 29 彎矩圖 突變方向 無突變 突變方向 （從左向右畫） 力偶為順時(shí)針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向上突變。彎矩圖有突變，突變值等于該集中力偶矩；從左向右繪圖時(shí)，當(dāng)力偶順時(shí)針轉(zhuǎn)向，彎矩圖向上突變；反之，若力偶為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，則彎矩圖向下突變。而彎矩圖在此界點(diǎn)處存在折角現(xiàn)象。若 q 的指向向下（ q ＜ 0），則該段剪力圖為左高右底的斜直線，彎矩圖為開口向下的拋物線；若 q 的指向向上（ q ＞ 0），則該段剪力圖為左底右高的斜直線，彎矩圖為開口向上的拋物線；在 QF ＝ 0 的截面上，彎矩為級(jí)值，即為拋物線的頂點(diǎn)。當(dāng) QF ＞ 0 時(shí)，彎矩圖從左到右 28 向上傾斜（斜率為正）；當(dāng)QF＜ 0 時(shí)，彎矩圖從 左到右向下傾斜（斜率為負(fù)）；當(dāng)QF＝ 0時(shí)，彎矩圖為一水平直線。 【分析歸納】 總結(jié)梁的剪力圖、彎矩圖與梁上載荷之間的一些規(guī)律如下： 1．若梁上某段無分布載荷作用，則剪力 Q()Fx為一不變的常數(shù)，剪力圖為一水平直線。 ? ? ? ?d dQFx qxx ? ? ? ? ?d d QMx Fxx ? ? ?2 2d dMx qx ?? 上述三式的幾何意義分別是： 剪力圖上任一點(diǎn)切線的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的載荷集度；彎矩圖上任一點(diǎn)切線的斜率等于梁上對(duì)應(yīng)點(diǎn)處橫截面上的剪力；彎矩圖的凹凸形狀可由載荷集度 q 的正、負(fù)確定 。 將 1 0x? 和 1xb? 代入 式（ 3）， CB 區(qū)段內(nèi)的彎矩圖是一條左高右低的斜直線。 解 （ 1）畫受力圖和求支座反力 由于梁受一個(gè)集中力偶作用下處于平衡，滿足力偶的平衡條件，由此得出 A、 B 兩處的支座反力必大小相等、指向相反，即 z 0M ?? 0AM F l?? ABMFF l?? （ 2）建立剪力方程和彎矩方程 即 AB 段（ 0 xl ）的剪力方程： 圖 713 27 ? ?Q A MF x F l?? （ 1） AC 段的彎矩方程： ? ?z A MM x F x xl??（ 0 ≤ xa ） （ 2） CB 的彎矩方程段： ? ?z 1 1 1B MM x F x xl? ? ? ?（ 0 ≤ x1 b ） （ 3） （ 3）畫剪力圖和彎矩圖 【分析】 由 （ 1）式，全梁的任意橫截面上的剪力 Q()Fx為一不變的常數(shù) ，大小為QF M l? ，繪 出的剪力圖是在 x 軸上方的水平直線。 通過以上分析后，繪出的梁的剪力圖和彎矩圖，見圖 712c 和 d 所示。 （ 3）式， 在 BC 段內(nèi)梁的任意橫截面上的剪力Q()Fx為一不變的常數(shù)，各截面的剪力相同，為 QF Fa l?? ，剪力圖是一條在 x 軸下方的水平直線。其剪 力方程和彎矩方程為 CB 段： ? ?Q1 B FaF x F l? ? ? ? （ 5） ? ? 11ZB FaM x F x xl?? （ 0 ≤ x ≤ b） （ 6） （ 3）畫剪力圖和彎矩圖 【分析 討論 】 ： （ 1）式， AC 段內(nèi)梁的任意橫截面上的剪力 ? ?QFx為一不變的常數(shù)，各截面的剪力相同，為 QF Fb l? ，剪力圖是一條在 x 軸上方的水平直線。 從繪制的剪力圖和彎矩圖可知，在兩支座附近的橫截面上剪力的絕對(duì)值最大，為 Q Q Q 2m a x A B qlF F F? ? ? 在梁的中點(diǎn)截面處，剪力為零；彎矩的絕對(duì)值最大 2m ax 8z qlMM??中 點(diǎn) 例 74 簡(jiǎn)支梁受集中力 F 作用（圖 712a），圖中尺寸 a、 b、 l 均已知，試畫該梁的剪力圖和彎矩圖。直接寫出 AB 段內(nèi)的剪力方程和彎矩方程分別為 ? ?Q 2A qlF x F q x q x? ? ? ? （ 0xl ） （ 1） ? ? 2Z 12 2 2A x q lM x F x q x x q x? ? ? ?（ 0≤ x≤ l ） （ 2） （ 3）畫剪力圖和彎矩圖 式（ 1）表示的剪力 Q()Fx為 x 的一次函數(shù)，剪力圖是一條斜直線，在 AB 區(qū)段內(nèi)分別選 0x? 和xl? 兩點(diǎn) 坐標(biāo)代入剪力方程（ 1），繪出的剪力圖是一條斜直線，見 圖 711c 示。 解 （ 1）畫梁的受力圖和求支座反力 畫出梁的受力圖（圖 a 所示）。 例 73 簡(jiǎn)支梁 AB 受均布載荷 q 作用，梁長(zhǎng) l （ 圖 711 a）。 Q()F x F?? （ 1） z()M x Fx?? （ 0 ≤ x l ） （ 2） （ 2）繪制剪力圖和彎矩圖如圖 d 所示。試?yán)L制梁的剪力圖和彎矩圖。正值的剪力和彎矩畫在 x 軸上側(cè)，負(fù)值的剪力和彎矩畫在 x 軸下側(cè)。 單元教學(xué)方式 理論授課＋多媒體 作業(yè) 教材 P218 151(b)、 152(a)(f)、 155 23 剪力方程和彎矩方程 剪力方程 和 彎矩方程。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以懸臂梁、簡(jiǎn)支梁為例，分析梁上受集中載荷、均布載荷、集中力偶拒作用時(shí)的剪力圖、彎矩圖的繪制方法。 掌握由剪力、彎矩與載荷集度間的微分關(guān)系作彎矩圖的方法。直接寫出 2 2 kNQBFF? ? ? 2 0 .2 2 k N 0 .2 m 0 .4 k N mBMF? ? ? ? ? ? ? ? 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 第 7 章 梁的彎曲 剪力圖和彎矩圖 22 【教學(xué)內(nèi)容】 第 7 章 梁的彎曲 剪力 圖和彎矩圖 單元能力培養(yǎng)目標(biāo) 理解 方程與彎矩方程的概念、由剪力方程和彎矩方程作剪力圖與彎矩圖的方法。（題中長(zhǎng)度單位為 mm） 解 （ 1） 畫簡(jiǎn)支梁受力圖和求支座反力 根據(jù)梁的受力圖建立平衡方程 ? ?? ? 0FM A ， 21 m 0. 75 m 0. 5 0. 25 m 0BF F M q? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 0FM B ， 21 m 0 .2 5 m 0 .5 0 .7 5 m 0AF F M q? ? ? ? ? ? ? ? ? 解出支座反力 8kNAF? 2kNBF?? （ 2）計(jì)算 11 和 22 截面上的剪力和彎矩 運(yùn)用前面介紹的剪力和彎矩計(jì)算方法，求 11 截面的剪力和彎矩時(shí)，取 11 截面左側(cè)段梁為研究對(duì)象，假想用紙把截面右側(cè)段梁遮住。直接寫出 212QB F b F aF F F ll? ? ? ? 21 例 71 如圖所示一簡(jiǎn)支梁受集中力 1kNF? ，集中力偶矩 4 kN mM ??，均布載荷集度 10 kN/mq ? 作用。取右側(cè)段為研究對(duì)象時(shí)，記憶口訣是： 左順右逆，外力矩為正 。記憶口訣是： 左上右下，外力為正 。 由上分析，梁橫截面的剪力和彎矩與梁的外載荷之間存在以 下的關(guān)系： （ 1） 任一橫截面的剪力等于該截面左側(cè)段（或右側(cè)段）上所有外力在垂直軸線上投影的代數(shù)和 ，即 Q iiF F F? ??左 右＝ 當(dāng)以左側(cè)段為研究對(duì)象時(shí)，其上所有外力向上為正，向下為負(fù)。 歸納成一個(gè)簡(jiǎn)單的口訣： 左上右下，剪力為正；左順右逆，彎矩為正。 彎矩：使微段梁發(fā)生下凸的變形時(shí)，彎矩為正，反之為負(fù)。 3．剪力和彎矩的符號(hào)規(guī)定 剪力：截面外法線順時(shí)針轉(zhuǎn) 90176。 19 1．畫梁的受力圖和計(jì)算梁的支座約束力 先畫出梁的受力圖，再建立平衡方程，求出支座約束力 AF 和 BF ，即 121A F a F bFF ll? ? ? 122B F a F bFFll? ? ? 2．截開 mm 截面、畫出截面內(nèi)力 — 剪力和彎矩 按截面法沿 mm截面假想地將梁截為左、右兩段，現(xiàn)以左段梁為研究對(duì)象，在 mm 截面上存在兩個(gè)內(nèi)力分量：一個(gè)沿截面作用的內(nèi)力 FQ， 稱為 剪力 ，另一個(gè)在外力作用平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩 M，稱為 彎矩 。應(yīng)用截面法計(jì)算任一橫截 面 mm 上的彎曲內(nèi)力。 以上梁的支座約束力都能由靜力平衡方程確定，稱為 靜定梁 。 （ 2） 外伸梁 —— 梁由一個(gè)固定鉸支座和一個(gè)活動(dòng)鉸支座支承，梁一端或兩端伸出支座之外。 集中力偶 M —— 分布在很短一段梁上的 力，可簡(jiǎn)化為一作用面在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的集中力偶。 18 梁上載荷的簡(jiǎn)化和梁的基本形式 梁的實(shí)際載荷主要簡(jiǎn)化為下面三種作用方式 集中力 F —— 將分布在很短一段梁上的橫向力，簡(jiǎn)化為作用在梁上一點(diǎn)的集中力。 彎曲的概念 平面彎曲的概念 平面彎曲 的概念。 單元教學(xué)方式 理論授課＋多媒體 作業(yè) 調(diào)查報(bào)告：觀察鉆床搖臂梁的平面彎曲變形，分析梁的約束和受載情況，繪制簡(jiǎn)圖。 單元教學(xué)設(shè)計(jì) 以橋式起重機(jī)的橫粱、列車車廂的輪軸、鏜床刀架等工程實(shí)例引入梁、平面彎曲的概念；并以此分析梁受約束的三種簡(jiǎn)化基本形式；分析歸納梁受載荷作用時(shí)的三種作用方式。學(xué)會(huì)用截面法求解計(jì)算橫截面上剪力和彎曲的方法，并會(huì)判定剪力和彎矩的正負(fù)的能力 。 此聯(lián)接結(jié)構(gòu)能傳遞的最大功率 max 105kNP ? 課程名稱 工程力學(xué) 教學(xué)單元名稱 第 7 章 梁的彎曲 彎曲的概念 梁彎曲橫截面上的內(nèi)力 ―― 剪力和彎矩 16 【教學(xué)內(nèi)容】 第 7 章 梁 的彎曲 分析工程中常見受彎桿件所具有的共同特點(diǎn)是： 在過桿軸線的平面內(nèi)，受到垂直于軸線方向的外力作用，桿的軸線由變形前的直線變?yōu)橐粭l彎曲線 。 解 （ 1）確定聯(lián)軸器能傳遞的最大功率 由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得軸能承受的最大扭矩為 616 圖 15 ? ? ? ?3 3m a x P63dW ( 80 m m ) 50 MP a16 16 3 10 N m m 3 10 N mxM????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3m a x 5 . 0 3 1 0 N m 2 0 0 r / m in 1 0 5 k W9 5 4 9 9 5 4 9 9 5 4 9exM n M nP ?? ??? ? ? ? （ 2）校核鍵的剪切、擠壓強(qiáng)度 ? ?332 2 5 . 0 3 1 0 1 0 N m m 6 4 . 2 M P a8 0 m m 1 4 0 m m 1 4 m mQ eF MA d A??? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 2 2 5 .0 3 1 0 1 0 Nm m1 2 m m8 0 m m 1 4 0 m m21 5 0 M P a33jyjyjy jyjyF MA d A??? ? ?? ? ?? ?????? ?? 所以鍵的剪切和擠壓強(qiáng)度均足夠。已