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正文內(nèi)容

20xx考研必備:超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點與題型歸類分析總結(jié)-文庫吧資料

2025-06-05 18:10本頁面
  

【正文】 也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系:以求方陣的冪作為思路的起點,直接乘來求比較困難,但如果有矩陣使得滿足(對角陣)的話就簡單多了,因為此時,而對角陣的冪就等于代如上式即得。4. 實對稱矩陣極其相似對角化。3. 矩陣可相似對角化的條件。矩陣合同的定義是,其中為可逆矩陣。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。就是記牢一系列公式如、和。從我們的角度來看,《特征值特征向量》這一章的內(nèi)容即少且條理清晰,雖然涉及其它很多知識,但需要探究的深層次聯(lián)系很少,故學(xué)好這個“必考點”實際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點如曲線、曲面積分要容易的多,這一點也是前面說復(fù)習(xí)線代這門課很劃算的原因之一。 線代第五章《特征值和特征向量》相對于前兩章來說,本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點,但卻是一個考試重點,歷年考研真題都有相關(guān)題目,而且最有可能是綜合性的大題。3. 關(guān)于秩的一些結(jié)論:;;;;;若有、滿足,則;若是可逆矩陣則有;同樣若可逆則有。等價的向量組具有相同的秩,但不一定有相同個數(shù)的向量;任何一個向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價。 另外,線性代數(shù)部分在考試時會經(jīng)常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來”的性質(zhì)和結(jié)論,所以有必要擴(kuò)大一些知識面,說不定在考試時就會有意外收獲:1. 一個線性無關(guān)的向量組不可能由一個所含向量個數(shù)比它少的向量組線性表示。A的列向量組線性無關(guān)”行列式 線性相關(guān) 線性方程組 性質(zhì)1中的“r(A)=n243。3. 齊次線性方程組是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān),而非齊次線性方程組是否有解對應(yīng)于是否可以由的列向量組線性表出。的列向量組線性無關(guān)243??捎煽巳R姆法則判斷有唯一解,而僅有零解。的行\(zhòng)列向量組均線性無關(guān)243。存在方陣使得243。向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。b. 向量組線性相關(guān)243。以上所討論的各種聯(lián)系可以歸納為下面幾條非常重要的定義與性質(zhì),其涵蓋了大量的題眼,在實際做題時非常好用。我記得當(dāng)時上線代課時也常常是聽的一頭霧水、莫名其妙,感覺這門課很難;但在考研備考時經(jīng)過這樣“抓本質(zhì)聯(lián)系”的復(fù)習(xí)后卻感覺線代部分反而是考研數(shù)學(xué)三科中最容易的。線代部分的學(xué)習(xí)并不容易“保持平庸”,一般不是學(xué)的很好、做起題來左右逢源、揮灑自如;就是收效欠佳、總感覺摸不準(zhǔn)題目的脈絡(luò);其差距就在于對線性代數(shù)這門課各章節(jié)知識的聯(lián)系是不是真正把握領(lǐng)悟了。這一點也正好印證了一個重要定理:“若線性無關(guān),而線性相關(guān),則向量可由向量組線性表示,且表示方法唯一”。而使上述等式成立的就是非齊次方程組的解,故齊次方程組有性質(zhì)“齊次線性方程組是否由非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性向關(guān)”,非齊次方程組也由對應(yīng)性質(zhì)“非齊次線性方程組是否有解對應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示”。對于非齊次方程組來說,其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯(lián)系:非齊次方程組是否有解對應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示。這又與另一條性質(zhì)相和:如果齊次線性方程組方程個數(shù)小于未知量個數(shù)則必有非零解。所以,經(jīng)過“秩—〉線性相關(guān)\無關(guān)—〉線性方程組解的判定”的邏輯鏈條,由就可以判定齊次方程組只有0解。假如線性相關(guān)\無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的,那同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。其實如果按照數(shù)學(xué)發(fā)展史的進(jìn)程來編制數(shù)學(xué)教科書的話,雖然邏輯性和系統(tǒng)性會不如現(xiàn)在的分章節(jié)教材,但肯定會大大方便學(xué)習(xí)者的理解和領(lǐng)悟,因為這更接近于人思維自然進(jìn)展的節(jié)奏,非常有利于學(xué)習(xí)者認(rèn)識各種概念定理的來龍去脈,而“不明白自己學(xué)的到底是什么”正是很多同學(xué)對數(shù)學(xué)感到困惑的根源。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系:齊次線性方程組是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣A的列向量組是否線性相關(guān)。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時,是指等式中的只能全為0才能使等式成立,而第三章向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)\無關(guān)也正是由這個等式定義出的。齊次線性方程組可以直接看出是一定有解的,因為當(dāng)式等式一定成立,印證了第三章向量部分的一條性質(zhì)“0向量可由任何向量線性表示”,即當(dāng)中的時一定存在一組數(shù)使等式成立,至少在全為0時可以滿足。向量就這樣被引入了,可能早期的數(shù)學(xué)家研究向量就是為了更好的研究解方程組的問題。解線性方程組可以看作是這兩章內(nèi)容的出發(fā)點和目標(biāo)。向量與線性方程組兩章的內(nèi)容聯(lián)系很密切,很多知識點相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。由歷年考研真題可見,矩陣部分出題很靈活,頻繁出現(xiàn)的知識點包括矩陣運算的運算規(guī)律、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結(jié)構(gòu)特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。對于抽象行列式的求值,考點不在求行列式,而在于、等的相關(guān)性質(zhì),在下面對第二章的討論中會有小結(jié)。 線代第一章《行列式》、第二章《矩陣》第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié),有必要熟練掌握。以上簡單分析了一下線代這門課本身的特點,在下面的小結(jié)中列出了對每章中一些具體知識點內(nèi)在聯(lián)系的分析和實戰(zhàn)過程中發(fā)現(xiàn)的一些常用的和好用的性質(zhì),作為對具體知識點的討論。A的列向量組線性無關(guān)243。再如一個貌似考察向量組線性無關(guān)的題目,做起來以后才發(fā)現(xiàn)實際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容,題眼就在于性質(zhì)“方陣A可逆243。這樣的復(fù)習(xí)策略雖然也能夠用于高數(shù)和概率,但在線代復(fù)習(xí)中的作用體現(xiàn)的最為明顯?!叭跁笨梢岳斫鉃樵O(shè)法找到不同知識點之間的內(nèi)在相通之處;“貫通”可以理解為掌握前后知識點之間的順承關(guān)系。出現(xiàn)這種情況當(dāng)然與出題專家水平高有關(guān),但內(nèi)在原因還是在于線性代數(shù)這門課“知識點間聯(lián)系性強(qiáng)”的特點。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識,更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。2 線性代數(shù)部分 線代這門課的特點 線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比,特點之一是知識點比較細(xì)碎。關(guān)于二重積分的性質(zhì),可以結(jié)合二重積分的幾何意義和定積分的對應(yīng)性質(zhì)來理解,因為理解幾何意義有利于解應(yīng)用性問題,而且定積分和二重積分的性質(zhì)定理幾乎是一一對應(yīng)的,對比起來很直觀。(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)),會計算三重積分(直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))。一元函數(shù)則無對應(yīng)的內(nèi)容。取極值的充分條件函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo),且滿足、若或則為極小值點;若或則為極大值點。多元函數(shù)的極值極值定義:函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義,且對于其中異于點的任一點,恒有或,則稱為的極小/大值,方程組的解稱為函數(shù)的駐點。這是需要通過足量做題來熟練掌握的知識點,在后面的評題中會就題論題作更充分的論述。多元復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式:設(shè)、則有。一元復(fù)合函數(shù)是指、時有。不同一元函數(shù)的連續(xù)性及極限:一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān),由等價式即可判斷。本章主要內(nèi)容可以整理成一個大表格:二元函數(shù)的定義(略)相似一元函數(shù)的定義(略)二元函數(shù)的連續(xù)性及極限:二元函數(shù)的極限要求點以任何方向、任何路徑趨向時均有(、)。在由空間曲線方程求投影方程時,需要先從方程組中消去得到一個母線平行于軸的柱面方程;;再與聯(lián)立即可得投影方程。關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性知識包括:表示的是一個空間曲面;由于空間曲線可視為由兩個空間曲面相交而得到的,故空間曲面方程為;柱面方程如圓柱面、橢圓柱面可視為是二元函數(shù)在三維坐標(biāo)系中的形式。這個轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用過不止一次。同樣,直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系,直線方程的參數(shù)形式和標(biāo)準(zhǔn)式之間可以相互轉(zhuǎn)化。點法式(點為平面上已知點,為法矢量)可變形為,符合一般式的形式;截距式(為平面在三個坐標(biāo)軸上的截距)可變形為,也符合一般式的形式。c) 平面方程各形式間的相互聯(lián)系。對于線面、面面夾角同樣適用,只需注意一點就是線面夾角公式中不是而是,因為如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行,而平面的法矢量卻與平面垂直,所以線面夾角是兩矢量夾角的余角,即,故求夾角公式的左端是。數(shù)積定義式為,故有,這個式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。同理可對線面、線線、面面關(guān)系進(jìn)行判定。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識點:a) 矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。抓住本章前后知識點的聯(lián)系來復(fù)習(xí)是一種有效的策略,因為這樣做既可以避免重復(fù)記憶、減少記憶量,又可以保證記憶的準(zhǔn)確性。如圖,若要求進(jìn)行奇開拓就是展開成奇函數(shù),此時得到的級數(shù)中只有正弦級數(shù),圖像為;若要求進(jìn)行偶開拓就是要展開成偶函數(shù),此時得到的展開式中只有余弦級數(shù),圖像為。首先需記住付立葉展開式和收斂定理,在具體展開時有以下兩種情況:1. 題目給出的函數(shù)至少有一個完整的周期,如圖則直接套用公式即可,不存在奇開拓和偶開拓的問題。本章最后的知識點是付立葉級數(shù),很少考到,屬于比較偏的知識點,但其思想并不復(fù)雜,花時間掌握還是比較劃算的。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)?,一般情況下如果、這樣的項在分子中,則應(yīng)該先用逐項積分再用逐項求導(dǎo),此時的應(yīng)為的形式,如、以方便先積分;若題目有、這樣的項,則應(yīng)為的形式,如、便于先求導(dǎo)。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符:變量替換(用于函數(shù)的冪級數(shù)展開)、四則運算(用于展開、求和)、逐項微積分(用于展開、求和)。由題目給出的冪級數(shù)的形式就可以看個八九不離十了,比如給出的冪級數(shù)帶階乘而不是交錯級數(shù),則應(yīng)該用公式4,因為冪級數(shù)的變形變不掉階乘和;若題目給出的冪級數(shù)不帶階乘而且是交錯級數(shù),則必從3兩式中選擇公式,其它情況也類似。記好6個關(guān)鍵式是解決冪級數(shù)求和與函數(shù)的冪級數(shù)展開問題的基礎(chǔ),不僅在記憶上具有規(guī)律性,在解題時也大有規(guī)律可循。一個可看成是將展開式中的奇數(shù)項變成交錯級數(shù)得到的,一個可看成是將展開式中的偶數(shù)項變成交錯級數(shù)而得到。后3個式子的,相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似性。所以這個式子最好記,以此為出發(fā)點看式子2:1式左端是,2式左端是;1式右端是,2式右端也僅僅是變成了交錯級數(shù),故可以通過這種比較來記憶式子2;對于3式來說,公式左端的與2式左端的存在著關(guān)系“”,故由的展開式可以推導(dǎo)出的展開式為。1式是第一部分式子的基礎(chǔ)。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣,對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住,不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分,而且要能夠區(qū)別相似公式,將出錯概率降到最小。另外,“求和與展開”的簡單之處還在于:達(dá)到熟練做題程度以后會發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。所以我們在復(fù)習(xí)過程中對于具有“淺看復(fù)雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點要倍加注意,對于無窮級數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識點,更是要緊抓不放。通過做歷年真題,我發(fā)現(xiàn)像一元函數(shù)微積分應(yīng)用中的微元法、無窮級數(shù)中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識點都有一個相似之處,就是這些知識點從表面上看比較復(fù)雜、難于把握,實際上也必須通過認(rèn)真思考和足量練習(xí)才能達(dá)到應(yīng)有的深度,但在領(lǐng)會到解決方法的精髓思想以后這些知識點又會“突然”變的十分簡單。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。舉例如下:已知單調(diào)遞減數(shù)列滿足,判斷級數(shù)的斂散性。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數(shù)收斂,則下列級數(shù)中收斂的是()”。其判斂過程的核心是找到不等式,再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。對于級數(shù)判斂部分,主要用的方法是比較法、級數(shù)斂散性的定義和四則運算性質(zhì)。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨立的章節(jié),在考試時會出大題,而且章內(nèi)包含的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。關(guān)于定積分的應(yīng)用,以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格:求平面圖形面積求旋轉(zhuǎn)體體積(可用微元法也可用公式)左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積,繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積,繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積已知平行截面面積求立體體積 求平面曲線的弧長 高數(shù)第八章《無窮級數(shù)》本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級數(shù)斂散性”、“級數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的冪級數(shù)展開”。通過以上三個例子談了一下了我對微元法特點的一點認(rèn)識。由于很小,故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均勻,為,則薄球質(zhì)量,積分可得結(jié)果。方法是取球體中的一個薄球形形體,其內(nèi)徑為 厚度為 ,對于這個薄球的體積有 ,其中是薄球表面積,是厚度。這個例子中的薄餅其實并不是上下一般粗的圓柱,而是上大下小的圓臺,但將其視為上下等粗來求解,這一點也體現(xiàn)了微元法的特色。其中 是薄餅的底面積,薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ,∵,∴;同理薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 , 二者相減即得薄餅底面積。在這個例子中,體現(xiàn)微元法特色的地方在于:,但卻用來表示;;。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體(如上圖陰影部分所示),則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 ,其中是薄桶的高,是薄桶展開變成薄板后的底面積,就是薄板的厚度;二者相乘即得體積。在歷年考研真題中,有大量的題是利用微元法來獲得方程式的,微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識點之一;但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍,對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會其思想。相比之下,判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“且”,這從圖像上也很容易理解:滿足的圖像必是凸的,即或,當(dāng)且時不就一定是的情況嗎。可以說明函數(shù)是增函數(shù),典型圖像是; 可以說明函數(shù)的變化率在區(qū)間I上是遞減的,包括以下兩種可能:,且隨變大而變?。ù笮£P(guān)系可參考圖3);,隨變大而變?。ù笮£P(guān)系可參考圖3);同樣,也只有兩種對應(yīng)圖像:,隨著變大而變大;,隨變大而變大。3. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件: 區(qū)間I上的,則在I上是凸的;若在I上的,則在I上是凹的;,則當(dāng)時為極大值,當(dāng)時為極小值。2. 討論方程根的情況。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法
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