【正文】 本題雖然難度不高，但卻真正考到了一些東西，同時(shí)也沒(méi)有刁難人，做起來(lái)非常舒服。 本題可以用全概率公式求解，但最佳解法是應(yīng)用抽簽原理“若有只簽，其中有只好簽，則依次不放回地抽取時(shí)第個(gè)人抽到好簽的概率與抽簽次序無(wú)關(guān)，都等于”。在這種解法下的題眼在于從到的轉(zhuǎn)化。這樣的題既好做、易拿分，又有很高的出現(xiàn)頻率，所以一定要抓住，萬(wàn)一因?yàn)轳R虎輕率而失分將會(huì)是非?？上У?。十. 98年第十三題為“設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量、相互獨(dú)立且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的方差”，本題的條件與之一樣，只是要求求出的期望，基本上就是同一個(gè)題兩種問(wèn)法。題目的題眼還是落在了多元函數(shù)微分學(xué)這一部分的慣用題眼上，即對(duì)中間變量、求偏導(dǎo)后得到的和仍然是一個(gè)以、為中間變量的復(fù)合函數(shù)，對(duì)其再求偏導(dǎo)時(shí)必須重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)微分法的法則。曲線積分與路徑無(wú)關(guān)243。以上各題在得出以后一般是轉(zhuǎn)化為求解微分方程或是由等式兩端相等求解待定系數(shù)。 本題是少見(jiàn)的可由試探法求解的填空題，因?yàn)轭}目只限定為秩等于2的矩陣，那么就可以設(shè)，求出后再求秩即可。其實(shí)這樣的題既能用極限公式、求解，也能用上對(duì)數(shù)恒等式。十一. ，先利用分布函數(shù)法求出一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，再對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)得到概率密度函數(shù)。實(shí)對(duì)稱矩陣具有下列性質(zhì)：一定可以正交相似于對(duì)角陣，即存在正交陣使得，其中為的個(gè)正交的特征向量；矩陣一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，且不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交。七. 大家一般都會(huì)對(duì)哪種題需要應(yīng)用反證法有種直覺(jué)，其大概是因?yàn)榭吹絾?wèn)題、經(jīng)過(guò)初步思考后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有什么已知定理的結(jié)論形式與問(wèn)題形式相符合。99年第三題中的方程與中的皆是的一元函數(shù)，也需要在方程的兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)來(lái)求解，弄懂了本題以后就能一眼看出來(lái)99（三）中的函數(shù)結(jié)構(gòu)了。 本題考點(diǎn)為“矩陣左乘初等矩陣等價(jià)于將進(jìn)行相應(yīng)的初等行變幻，右乘初等矩陣等價(jià)與將進(jìn)行相應(yīng)的初等列變換”。 本題的考點(diǎn)是“函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件”是其左、右導(dǎo)數(shù)相等“。這一部分常用的性質(zhì)還有和。本題是將x移到積分函數(shù)之外，然后求導(dǎo)得解；。對(duì)于這樣“貌似不同實(shí)則統(tǒng)一”的點(diǎn)，出題人可以只在題設(shè)條件中給出一個(gè)而讓我們?cè)谧鲱}過(guò)程中推出其它；但對(duì)于那些不要求深入掌握的點(diǎn)這樣考查不太合適，只能將相互等價(jià)的各部分同時(shí)放在題設(shè)條件中以起到迷惑我們的效果。另外，如果在考試的重點(diǎn)內(nèi)容上擴(kuò)大一些知識(shí)面有時(shí)會(huì)大大方便做題，比如事件互逆的判定條件除了定義以外，還有，對(duì)應(yīng)的韋恩圖為。本題利用的麥克勞林展開(kāi)式求階的方法在歷年真題中比較少見(jiàn)，有一定參考意義。這步變形在本題中作用有限，因?yàn)榍髤?shù)方程二階導(dǎo)數(shù)有現(xiàn)成的公式，但類(lèi)似的變形在沒(méi)有現(xiàn)成公式可用的復(fù)雜題目中會(huì)有更重要的應(yīng)用。真題中的選擇題是不會(huì)“看起來(lái)是張三、實(shí)際上也正是張三”的，不是“看起來(lái)是張三、實(shí)際上是李四”，就是“看不出來(lái)是張三李四”。1. 2本題與上一年同一位置的填空題多少有些相似，這種連續(xù)出現(xiàn)相似題的情況在早期數(shù)學(xué)真題中出現(xiàn)較多，近年來(lái)也有。因?yàn)槭录年P(guān)系及運(yùn)算是重點(diǎn)，故有必要多記一點(diǎn)這樣的性質(zhì)，有時(shí)可以大大方便解題。，本題所用的“分布函數(shù)法”是最主要的方法，套路清晰，比較典型。本題的思路相對(duì)簡(jiǎn)單，但卻并沒(méi)有降低要求，需要理解掌握二次型部分各知識(shí)點(diǎn)并能在線代第五、六章之間靈活切換思路。我們解題的過(guò)程是把題目條件和結(jié)論一步步轉(zhuǎn)化為已知的公式和結(jié)論，而出題老師編制題目的過(guò)程正好與之相反，是通過(guò)加入各種變形和推導(dǎo)把已知公式和結(jié)論一層層地變復(fù)雜，最后把推導(dǎo)結(jié)果中小的不能再小的那部分作為題目中的已知條件，其余的用來(lái)設(shè)置題目的問(wèn)題。這些題現(xiàn)在看起來(lái)都很典型，但在十幾年前考研風(fēng)氣未興、參考書(shū)匱乏的時(shí)候?qū)嶋H難度有多大就很難估計(jì)了。這種做選擇題的技巧大家都有體會(huì)，而且肯定也是被出題專家們考慮在內(nèi)的事情，所以我們?cè)谧鲞x擇題時(shí)能在那一步盡早用上試探法就要理直氣壯地用，不算旁門(mén)左道。：；；。這種現(xiàn)象以后還會(huì)遇到很多。分章習(xí)題一般都是就事論事，幾個(gè)題練的是同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；而考研真題普遍是同時(shí)考察若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)。在見(jiàn)到這樣的積分上下限時(shí)有必要立刻想到是否可利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化求解過(guò)程。這兩條性質(zhì)在做題時(shí)未必用的上，但因?yàn)楸容^好記，故不妨記一下。 參數(shù)估計(jì)中的矩估計(jì)法就是令總體矩與樣本矩相等，建立等式以求出總體矩；極大似然估計(jì)中的似然函數(shù)就是指樣本取觀察值的概率，自然應(yīng)等于，其值越大就說(shuō)明越有利于使者組樣本值出現(xiàn)，故極大似然估計(jì)法要求求出使取最大值的作為參數(shù)的估計(jì)量?？梢?jiàn)大綱對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)的要求還是較高的，但往年出題不多，不知道會(huì)不會(huì)在以后的考試中加大考察力度。因?yàn)楠?dú)立同分布，所以有，故有公式右側(cè)，應(yīng)有，即為辛欽大數(shù)定律；若用表示在n重伯努利試驗(yàn)中事件的發(fā)生次數(shù)則可得到伯努利大數(shù)定律。如在真題中出現(xiàn)過(guò)的一個(gè)本章的填空題幾乎就是直接考察切比雪夫不等式的公式本身，這樣的情況對(duì)于難度低的知識(shí)點(diǎn)和重要知識(shí)點(diǎn)來(lái)說(shuō)是絕不可能出現(xiàn)的，比如若你在06年考研數(shù)學(xué)試卷上見(jiàn)到一道填空題是讓填出這個(gè)公式的話，那你肯定是把題義理解錯(cuò)了。考試大綱對(duì)第四章《大數(shù)定理和中心極限定理》的要求是：“了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律，了解格林定理和林莫佛定理”。對(duì)于一維連續(xù)型分布的性質(zhì)可借助圖像理解因?yàn)榉植己瘮?shù)，所以分別可用圖中的陰影部分表示，容易看出多條性質(zhì)，包括、等；而且在具體做題時(shí)用圖像輔助理解也很有效，比如頻繁在真題中出現(xiàn)的正態(tài)分布，作圖輔助解題的效果更為明顯。對(duì)于第二章的大表格也可以利用各部分之間的聯(lián)系來(lái)對(duì)照復(fù)習(xí)，比如說(shuō)二維分布的性質(zhì)基本上與一維分布的性質(zhì)一一對(duì)應(yīng)（類(lèi)似于二重積分和定積分性質(zhì)之間的關(guān)系），二維邊沿分布的內(nèi)容與一維分布本質(zhì)上也是相通的，離散型和連續(xù)型分布的各知識(shí)點(diǎn)也可互相對(duì)比、區(qū)別記憶。這種情況有點(diǎn)像我們?cè)谟⒄Z(yǔ)考試中作閱讀理解題，問(wèn)題本身的含義并不復(fù)雜，難就難在文章中的單詞“似曾相識(shí)”和句子看不懂上。公式組在歷年考研真題中頻繁用到，很多題利用這三個(gè)公式間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。這樣一來(lái)即易看出事件包含關(guān)系的定義“發(fā)生時(shí)必發(fā)生，發(fā)生時(shí)不一定發(fā)生”；事件與的并可作圖，則是、兩個(gè)圓形（包含相交部分），對(duì)于這個(gè)大圖形中的任意一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，不是屬于就是屬于，體現(xiàn)了 “事件與至少有一個(gè)發(fā)生”的定義；同理，事件與的差表示事件與同時(shí)發(fā)生，在上圖中所有滿足條件的點(diǎn)組成了兩圓相交的那一部分。 概率第一章《隨機(jī)事件和概率》本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當(dāng)大一部分都比較簡(jiǎn)單，還有很多可以借助理解來(lái)記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過(guò)推導(dǎo)相互聯(lián)系來(lái)理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點(diǎn)；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來(lái)記這些點(diǎn)的話，不但難度大耗時(shí)多而且沒(méi)有更多的用處（因?yàn)楦怕什糠挚荚嚂r(shí)對(duì)公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過(guò)程及聯(lián)系并沒(méi)有什么要求，一般不會(huì)在更深的層次上出題）。3 概率部分 概率這門(mén)課的特點(diǎn)與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時(shí)間復(fù)習(xí)概率也更為劃算。 線代第六章《二次型》本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對(duì)于其它知識(shí)點(diǎn)僅要求了解。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且中的、也分別是由的特征向量和特征值決定的。階實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交、相似于對(duì)角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對(duì)應(yīng)的幾個(gè)正交的特征向量組成。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若與合同或相似則與必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。在歷年真題中常用到下列性質(zhì)：若階矩陣有個(gè)特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、分別有特征值、且對(duì)應(yīng)特征向量等于所對(duì)應(yīng)的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。特征值和特征向量之所以會(huì)得到如此青睞，大概是因?yàn)榻鉀Q相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容——即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”；著重考察這樣的知識(shí)點(diǎn)，在保證了考察面廣的同時(shí)又有較大的出題靈活性。2. 常見(jiàn)的線性無(wú)關(guān)組：齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。A的列向量組線性無(wú)關(guān)”秩 以上這些是大量擴(kuò)展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識(shí)點(diǎn)時(shí)的必經(jīng)之路——“兵家必爭(zhēng)之地”，怎么重視都不為過(guò)。僅有零解，有唯一解。243。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：b. 向量形式：兩條性質(zhì)：：方陣可逆243。其含金量之高不僅在線代中是獨(dú)一無(wú)二的，在高數(shù)和概率兩門(mén)課的知識(shí)點(diǎn)中也很少見(jiàn)，希望你能重視：三個(gè)雙重定義：1. 秩的定義 ：矩陣中非零子式的最高階數(shù) ：向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)\無(wú)關(guān)的定義：a. 對(duì)于一組向量，若存在不全為零的數(shù)使得成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無(wú)關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng)全為0時(shí)才成立。線代部分的題目難就難在考點(diǎn)的跨度大，出題老師可以借助各知識(shí)點(diǎn)之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識(shí)點(diǎn)，那怕對(duì)這些孤立的點(diǎn)掌握的再透徹，在作題時(shí)也會(huì)被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。當(dāng)非齊次線性方程組與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組滿足時(shí)，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。若方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)有mn；因?yàn)榫仃嚨闹鹊扔谛兄纫驳扔诹兄?，所以必有，根?jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組組成的矩陣有說(shuō)明向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中有n個(gè)向量，即線性無(wú)關(guān)，也即等式只有0解。（這些聯(lián)系肯定不是簡(jiǎn)單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說(shuō)不定線性相關(guān)\無(wú)關(guān)的概念正是數(shù)學(xué)家在研究線性方程組問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：；。線性方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數(shù)矩陣,；另一種是向量形式，其中 。所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時(shí)用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在后面的評(píng)題中會(huì)有更充分的討論；下面的表格分類(lèi)列出了逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)以供區(qū)別記憶：行列式性質(zhì)特征值性質(zhì)（為矩陣的特征值）運(yùn)算性質(zhì)秩的性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣逆矩陣有特征值伴隨矩陣有特征值、三者之間有一個(gè)即好記又好用的性質(zhì)數(shù)乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值，有特征值則有：若是可逆矩陣則有；同樣，若可逆則有 線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》線代第三章《向量》、第四章《線性方程組》是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立， 可以看作是對(duì)第三、四章核心內(nèi)容的擴(kuò)展。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體（數(shù)字型）行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和n階兩種類(lèi)型；主要方法是應(yīng)用行列式按行\(zhòng)列展開(kāi)定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（n階行列式的值為取自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）、性質(zhì)（其中為矩陣A的特征值）、行列式的性質(zhì)（如“數(shù)乘行列式等于用此數(shù)乘一行列式中的某一行或某一列”）。r(A)=n”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無(wú)關(guān)和矩陣秩兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。以第三章《向量》、第四章《線性方程組》為例，“線性相關(guān)”、“線性表示”的概念與線性方程組的某些性質(zhì)定理之間存在著相互推導(dǎo)和相互印證的關(guān)系；出題專家在編制題目時(shí)常常利用這些聯(lián)系將兩部分的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)出題，比如在歷年真題中出現(xiàn)頻率很高的性質(zhì)“齊次方程組是否有零解對(duì)應(yīng)于A的列向量組是否線性相關(guān)；非齊次方程組Ax=b是否有解對(duì)應(yīng)于向量b是否可由A的列向量線性表示”。所以我們?cè)趶?fù)習(xí)線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會(huì)貫通”。如矩陣部分涉及到了各種類(lèi)型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點(diǎn)在于知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。這一部分在歷年真題中直接考到的情況很少，但卻經(jīng)常涉及，尤其是在關(guān)于曲線、曲面積分的題中，一般都需要將曲線、曲面積分轉(zhuǎn)化為重積分來(lái)計(jì)算結(jié)果。大綱對(duì)于多元函數(shù)條件極值的要求為“會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”，是一種比較簡(jiǎn)單而且程式化的方法。相似一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示，與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相似，只需分清式子中與的不同即可多元隱函數(shù)微分法求由方程確定的隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式：，對(duì)于由方程組確定的隱含數(shù)、可套用方程組一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法對(duì)一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種方法：，在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)一元參數(shù)方程微分法：若有則關(guān)于這一部分，多元與一元的聯(lián)系不僅是“形似”，而且在相當(dāng)大程度上是相通的，在考研真題中此處與上面的多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是本章的兩個(gè)出題熱點(diǎn)，屢屢出現(xiàn)相關(guān)題目，在后面的評(píng)題中有更多討論。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來(lái)。如果沿不同路徑的不相等，則可斷定不存在。在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準(zhǔn)線方程如可視為是由空間曲面——柱面與特殊的空間曲面——坐標(biāo)平面相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實(shí)是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過(guò)曲線1的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，所以也就是圖中的柱面準(zhǔn)線。直線方程的參數(shù)形式（是平面上已知點(diǎn)，為方向矢量）可變形為，即為標(biāo)準(zhǔn)式；標(biāo)準(zhǔn)式若變形為則也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。平面方程的一般式、點(diǎn)法式、三點(diǎn)式、截距式中，點(diǎn)法式和截距式都可以化為一般式。舉例來(lái)說(shuō)，設(shè)直線，直線，則二直線夾角，其中、分別是兩條直線的方向矢量。這個(gè)