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20xx考研必備:超經典的考研數學考點與題型歸類分析總結-wenkub

2023-06-14 18:10:34 本頁面
 

【正文】 聯系很明顯,舉例來說,平面與直線平行時,平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直,而由矢量關系性質知此時二矢量的數積為0,若直線方程為,平面方程為,則有。 高數第九章《矢量代數與空間解析幾何》本章并不算很難,但其中有大量的公式需要記憶,故如何減少記憶量是復習本章時需要重點考慮的問題。函數的付立葉級數的物理意義就是諧波分析,即把一個復雜周期運動看作是若干個正余弦運動的疊加。對于數項級數求和的題目,主要方法是構造冪級數法,即利用變換求得冪級數的和函數以后代入極限式即可。在已知冪級數求和函數時,最佳途徑是根據各個公式右端的形式來選定公式:第一部分(前3式)的展開式都不帶階乘,其中只有的展開式不是交錯級數;第二部分(后3式)的展開式都帶階乘,其中只有的展開式不是交錯級數。這一部分的基本式是公式4:與之相比,的展開式是,的展開式是。不就是一個無窮等比數列嗎,在時的求和公式正是函數展開式的左端。這種規(guī)律是建立在對6個關鍵的函數展開式“熟之又熟”的掌握上的。也就是說,掌握這樣的知識點門檻較高,但只要跨過緩慢的起步階段,后面的路就是一馬平川了;同時,具有這種特點的知識點也可以提供給出題人更大的出題靈活性,而通過“找到更多便于靈活出題的知識點來跳出題型套路”正是近幾年考研真題出題專家致力達到的目標,這一趨勢不僅體現在了近年來的考卷上,也必然是今后的出題方向。關鍵步驟是:由得到,再利用比較判斂法的一般形式即得。其實這種“知一判一”式的題目是有局限性的——若已知級數收斂,則所要求判斂的級數只能也是收斂的,因為只有“小于收斂級數的級數必收斂”這一條規(guī)則可用,若待判斂級數大于已知收斂級數,則結果無法判定。陳文燈復習指南上對相關章節(jié)的指導并不盡如人意,因為套題型的方法在這些復雜章節(jié)中不能展現其長處,故整體來說結構比較散亂。這種方法的靈活運用必須通過自己動手做題體會才能實現,因為其中一些邏輯表面上并不符合常規(guī)思維,但也許這正是研究生入學考試出題老師喜歡微元法的原因。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再用底面積乘高得到的。核心式中的 是薄餅的高。 對 積分可得 。對于定積分的應用部分,首先需要對微元法熟練掌握。其中,A是判斷函數凸凹性的充要條件,根據導數定義,是的變化率,是的變化率。以上兩點都是實際做題中經常忘掉的地方,故有必要加深一下印象。 高數第七章《一元微積分的應用》本章包括導數應用與定積分應用兩部分,其中導數應用在大題中出現較少,而且一般不是題目的考察重點;而定積分的應用在歷年真題的大題中經常出現,常與常微分方程結合。對于型方程,就是先把當作未知函數Z,則 原方程就化為 的一階方程形式,積分即得;再對、依次做上述處理即可求解; 叫不顯含 的二階方程,解法是通過變量替換 、 (p為x的函數)將原方程化為一階方程;叫不顯含x的二階方程,變量替換也是令(但此中的p為y的函數),則,也可化為一階形式。這一部分結構清晰,對于各種方程的通式必須牢記,還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。對于本章的題目,第一步應該是辨明類型,實踐證明這是必須放在第一位的;分清類型以后按照對應的求解方法按部就班求解即可。我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質及熟練運用各種變形轉換技巧,從而達到大綱的相應要求,提高實戰(zhàn)條件下解題的勝算。綜上所述,針對包括中值定理證明在內的證明題的大策略應該是“盡一切可能挖掘題目的信息,不僅僅要從條件上充分考慮,也要重視題目欲證結論的提示作用,正推和倒推相結合;同時保持清醒理智,降低出錯的可能”。其中的規(guī)律性很明顯,甚至可以以表格的形式表示出來。從出題人的角度來看,這是因為沒能夠有效地從條件中獲取信息。從反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。為了證明F成立可以從條件、結論兩個方向入手,我們把從條件入手證明稱之為正方向,把從結論入手證明稱之為反方向。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。在此只提醒一點:不定積分中的積分常數C容易被忽略,而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。2011考研必備:超經典的考研數學考點與題型歸類分析總結1高數部分 高數第一章《函數、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向:;,對于型和型的題目直接用洛必達法則,對于、型的題目則是先轉化為型或型,再使用洛比達法則;,包括;。所以可以這樣建立起二者之間的聯系以加深印象:定積分的結果可以寫為F(x)+1,1指的就是那一分,把它折彎后就是中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類:,難以從中找出有用的一個。通過對這個模型的分析可以看出,對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路,同時出題老師也正是這樣安排的,但從題目的“欲證結論”中獲取信息有時也非常有效。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型:條件欲證結論可用定理A關于閉區(qū)間上的連續(xù)函數,常常是只有連續(xù)性已知存在一個滿足某個式子介值定理(結論部分為:存在一個使得)零值定理(結論部分為:存在一個使得)B條件包括函數在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導存在一個滿足費爾馬定理(結論部分為: )洛爾定理(結論部分為:存在一個使得)C條件包括函數在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導存在一個滿足拉格朗日中值定理(結論部分為:存在一個使得)柯西中值定理(結論部分為:存在一個使得)另外還常利用構造輔助函數法,轉化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現,有關中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱,如表格中B、C的條件是一樣的,同時A也只多了一條“可導性”而已;所以在面對這一部分的題目時,如果把與證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較,會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。希望這些想法對你能有一點啟發(fā)。依我看,最大的技巧就是不依賴技巧,做題的問題必須要靠做題來解決。這是因為其實并非所有的微分方程都是可解的,在大學高等數學中只討論了有限的可解類型,所以出題的靈活度有限,很難將不同的知識點緊密結合或是靈活轉換。各種類型都有自己對應的格式化解題方法,這些方法死記硬背并不容易,但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的,就是把以各種形式出現的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式,再積分得到答案。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換”,“求解貝努利方程就用變量替換”一樣,在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、 ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。典型的構題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程,一般需要把積分方程中的變上限積分單獨分離到方程的一端形成“=∽”的形式,在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。2. 討論方程根的情況??梢哉f明函數是增函數,典型圖像是; 可以說明函數的變化率在區(qū)間I上是遞減的,包括以下兩種可能:,且隨變大而變小(大小關系可參考圖3);,隨變大而變?。ù笮£P系可參考圖3);同樣,也只有兩種對應圖像:,隨著變大而變大;,隨變大而變大。在歷年考研真題中,有大量的題是利用微元法來獲得方程式的,微元法的熟練應用是倍受出題老師青睞的知識點之一;但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍,對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習才能真正體會其思想。在這個例子中,體現微元法特色的地方在于:,但卻用來表示;;。這個例子中的薄餅其實并不是上下一般粗的圓柱,而是上大下小的圓臺,但將其視為上下等粗來求解,這一點也體現了微元法的特色。由于很小,故可認為薄球內質量均勻,為,則薄球質量,積分可得結果。關于定積分的應用,以下補充列出了定積分各種應用的公式表格:求平面圖形面積求旋轉體體積(可用微元法也可用公式)左圖中圖形繞軸旋轉體的體積,繞軸旋轉體得體積左圖中圖形繞軸旋轉體的體積,繞軸旋轉體得體積已知平行截面面積求立體體積 求平面曲線的弧長 高數第八章《無窮級數》本章在考研真題中最頻繁出現的題型包括“判斷級數斂散性”、“級數求和函數”和“函數的冪級數展開”。對于級數判斂部分,主要用的方法是比較法、級數斂散性的定義和四則運算性質。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數收斂,則下列級數中收斂的是()”。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和“知性質判斂”這兩種形式。所以我們在復習過程中對于具有“淺看復雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點要倍加注意,對于無窮級數這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識點,更是要緊抓不放。對此6個展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣,對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住,不但要一見到三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分,而且要能夠區(qū)別相似公式,將出錯概率降到最小。所以這個式子最好記,以此為出發(fā)點看式子2:1式左端是,2式左端是;1式右端是,2式右端也僅僅是變成了交錯級數,故可以通過這種比較來記憶式子2;對于3式來說,公式左端的與2式左端的存在著關系“”,故由的展開式可以推導出的展開式為。一個可看成是將展開式中的奇數項變成交錯級數得到的,一個可看成是將展開式中的偶數項變成交錯級數而得到。由題目給出的冪級數的形式就可以看個八九不離十了,比如給出的冪級數帶階乘而不是交錯級數,則應該用公式4,因為冪級數的變形變不掉階乘和;若題目給出的冪級數不帶階乘而且是交錯級數,則必從3兩式中選擇公式,其它情況也類似。其中的關鍵步驟是選擇適當的,一般情況下如果、這樣的項在分子中,則應該先用逐項積分再用逐項求導,此時的應為的形式,如、以方便先積分;若題目有、這樣的項,則應為的形式,如、便于先求導。首先需記住付立葉展開式和收斂定理,在具體展開時有以下兩種情況:1. 題目給出的函數至少有一個完整的周期,如圖則直接套用公式即可,不存在奇開拓和偶開拓的問題。抓住本章前后知識點的聯系來復習是一種有效的策略,因為這樣做既可以避免重復記憶、減少記憶量,又可以保證記憶的準確性。同理可對線面、線線、面面關系進行判定。對于線面、面面夾角同樣適用,只需注意一點就是線面夾角公式中不是而是,因為如右圖所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行,而平面的法矢量卻與平面垂直,所以線面夾角是兩矢量夾角的余角,即,故求夾角公式的左端是。點法式(點為平面上已知點,為法矢量)可變形為,符合一般式的形式;截距式(為平面在三個坐標軸上的截距)可變形為,也符合一般式的形式。這個轉化在歷年真題中應用過不止一次。在由空間曲線方程求投影方程時,需要先從方程組中消去得到一個母線平行于軸的柱面方程;;再與聯立即可得投影方程。不同一元函數的連續(xù)性及極限:一元函數的極限與路徑無關,由等價式即可判斷。多元復合函數微分法復合函數求導公式:設、則有。多元函數的極值極值定義:函數在點的鄰域內有定義,且對于其中異于點的任一點,恒有或,則稱為的極小/大值,方程組的解稱為函數的駐點。一元函數則無對應的內容。關于二重積分的性質,可以結合二重積分的幾何意義和定積分的對應性質來理解,因為理解幾何意義有利于解應用性問題,而且定積分和二重積分的性質定理幾乎是一一對應的,對比起來很直觀。這種聯系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關知識,更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質、定理、判定法則之間有著相互推導和前后印證的關系。“融會”可以理解為設法找到不同知識點之間的內在相通之處;“貫通”可以理解為掌握前后知識點之間的順承關系。再如一個貌似考察向量組線性無關的題目,做起來以后才發(fā)現實際考的是矩陣秩或行列式的內容,題眼就在于性質“方陣A可逆243。以上簡單分析了一下線代這門課本身的特點,在下面的小結中列出了對每章中一些具體知識點內在聯系的分析和實戰(zhàn)過程中發(fā)現的一些常用的和好用的性質,作為對具體知識點的討論。對于抽象行列式的求值,考點不在求行列式,而在于、等的相關性質,在下面對第二章的討論中會有小結。向量與線性方程組兩章的內容聯系很密切,很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。向量就這樣被引入了,可能早期的數學家研究向量就是為了更好的研究解方程組的問題。當齊次線性方程組有唯一零解時,是指等式中的只能全為0才能使等式成立,而第三章向量部分中判斷向量組是否線性相關\無關也正是由這個等式定義出的。其實如果按照數學發(fā)展史的進程來編制數學教科書的話,雖然邏輯性和系統(tǒng)性會不如現在的分章節(jié)教材,但肯定會大大方便學習者的理解和領悟,因為這更接近于人思維自然進展的節(jié)奏,非常有利于學習者認識各種概念定理的來龍去脈,而“不明白自己學的到底是什么”正是很多同學對數學感到困惑的根源。所以,經過“秩—〉線性相關\無關—〉線性方程組解的判定”的邏輯鏈條,由就可以判定齊次方程組只有0解。對于非齊次方程組來說,其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯系:非齊次方程組是否有解對應于向量是否可由的列向量線性表示。這一點也正好印證了一個重要定理:“若線性無關,而線性相關,則向量可由向量組線性表示,且表示方法唯一”。我記得當時上線代課時也常常是聽的一頭霧水、莫名其妙,感覺這門課很難;但在考研備考時經過這樣“抓本質聯系”的復習后卻感覺線代部分反而是考研數學三科中最容易的。b. 向量組線性相關243。存在方陣使得243??捎煽巳R姆法則判斷有唯一解,而僅有零解。3. 齊次線性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性相關,而非齊次線性方程組是否有解對應于是否可以由的列向量組線性表出。 另外,線性代數部分在考試時會經常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導出來”的性質和結論,所以有必要擴大一些知識面,說不定在考試時就會有意外收獲:1. 一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數比它少的向量組線性表示。3. 關于秩的一些結論:;;;;;若有、滿足,則;若是可逆矩陣則有;同樣若可逆則有。從我們的角度來看,《特征值特征向量》這一章的內容即少且條理清晰,雖
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