【正文】 例如． 0?x 是 ? ? xxxf sin? 的可去間斷點(diǎn)，是 ? ? xxxf ? 的跳 躍間斷點(diǎn)，是 ? ? xxf 1? 的無(wú)窮間斷點(diǎn)，是? ? xxf 1sin? 的振蕩間斷點(diǎn)。如果 ??xf 在間斷點(diǎn) 0x 處的左、右極限都存在，則稱(chēng) 0x 是 ??xf 的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。 2．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義 如果函數(shù) ? ?xfy? 在開(kāi)區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng) ??xf 在 ? ?ba, 內(nèi)連續(xù)。 函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)也可作如下定義。 原式 ? ?231ln1c oss in3c os11lim0 ????????????????? ?xxxxxxxx 例 4．設(shè) n 為正整數(shù)，求 ? ?x xxxn nnx c o s111lim 20 ?????? 六．求分段函數(shù)的極限 例 1．求下列函數(shù)在分段點(diǎn) 處的極限 （ 1） ? ????????????0 ,c o s10 ,2s in2xxxxx xxf （ 2） ? ??????????????1 ,211 ,1122xxxxxxg 解：（ 1） ? ? 22 2s in2lim2s inlim0000 ????? ?? ?? xxx xfxx 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 18 ? ? 221limc o s1lim00 22020 ????? ?? ?? xxxxfxx ? ? 2lim0 ?? ? xfx （ 2） ? ? ? ? 21lim11lim01121 ????????? ?? xxxgxx ? ?2321lim01 21 ??????? ??? ?? xg x 因?yàn)?? ? ? ?0101 ??? gg ，故 ? ?xgx 1lim?不存在。 （ 2） 0?l ，稱(chēng) ??xf 與 ??xg 是同階無(wú)窮小。 有時(shí)我們用 ? ? Axf ?lim 表示上述六類(lèi)函數(shù)的極限 ，它具有的性質(zhì)，上述六類(lèi)函數(shù)極限皆具有這種性質(zhì)，有時(shí)我們把 ? ?nfxn ? ，把數(shù)列極限也看作這種抽象的變量的極限的特例，以便于討論。 例 2．求 ? ? ? ?? ?dxxxeexxI xx 1ln11 25?? ? ????? 167。 （ C）若 ??xf 為周期函數(shù)，則 ??xF 為周期函數(shù)。 由此可見(jiàn)，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其 中最小正周期稱(chēng)為周期。 2．奇偶性： 設(shè) 區(qū)間 X 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若對(duì) Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ??? ，則稱(chēng) ??xf 在 X 上是奇函數(shù)；若對(duì) Xx? ，都有 ? ? ? ?xfxf ?? ，則稱(chēng) ??xf 在 X 上是偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)。 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 4 三．復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù) 1．復(fù)合函數(shù) 設(shè) ? ?ufy? 定義域 U ? ?xgu? 定義域 X ，值域 *U 如果 UU?* ，則 ? ?? ?xgfy? 是定義在 X 上的一個(gè)復(fù)合函數(shù)。 6．反三角函數(shù) xy arcsin? ； xy arccos? ； xy arctan? ； xarcy cot? 。 例如 ? ???????????????1511112xxxxxxxfy 是一個(gè)分段函數(shù)，它有兩個(gè)分段點(diǎn)， 1??x 和 1?x ，它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不同，因此討論函數(shù) ? ?xfy?在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí)，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)，需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。 7． 3 曲線(xiàn)積分 167。又分為基礎(chǔ)班、強(qiáng)化班和沖刺班三個(gè)階段。這次基礎(chǔ)班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其內(nèi)容安排如下： 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)（全體） 第二章 一元函數(shù)微分學(xué)（全體） 第三章 一元函數(shù)積分學(xué)（全體） 常微分方程（全體） 第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何（ 數(shù)學(xué)一） 第六章 多元函數(shù)微分學(xué)（全體） 第七章 多元函數(shù)積分學(xué) 167。 7． 4 曲面積分（數(shù)學(xué)一） 第八章 無(wú)窮級(jí)數(shù) （數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三） 第一章 函數(shù)、極限、連續(xù) 167。 又 ? ???? ?? ??? 0, 0, xx xxxxf， ? ????????????0,10,00,1s g nxxxxxf ，都是分段函數(shù) 3．隱函數(shù) 形如 ? ?xfy? 的函數(shù)稱(chēng)為顯函數(shù)，由方程 ? ? 0, ?yxF 確定 ? ?xyy? 稱(chēng)為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)，例如 122 ??yx ， 21 xy ??? ，（不一定一個(gè)單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。 關(guān)于基本初等函數(shù)的概念，性質(zhì)及其圖象非常重要，影響深遠(yuǎn)。其中 u 稱(chēng)為中間變量。 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 5 3．單調(diào)性： 設(shè) ??xf 在 X 上有定義，若對(duì)任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱(chēng) ??xf在 X 上是單調(diào)增加的 [單調(diào)減少的 ]；若對(duì)任意 Xx?1 ， Xx?2 ， 21 xx? 都有 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2121 xfxfxfxf ?? 則稱(chēng) ??xf 在 X 上是單調(diào)不減 [單調(diào)不增 ]。 乙 典型例題 一．求函數(shù)的定義域 例 1．求函數(shù) ? ? 2100lnlnln xxxf ??? 的定義域 例 2．求5ln 1???? xxxy的定義域 例 3．設(shè) ??xf 的定義域?yàn)?? ?? ?0, ?? aaa ，求 ? ?12?xf 的定義域 例 4．設(shè) ? ???? ?? ??? 42 ,2 20 ,1 xxxg 求 ? ? ? ? ? ?12 ??? xgxgxf 的定義域，并求 ??????23f。 （ D）若 ??xf 為單調(diào)函數(shù)，則 ??xF 為單調(diào)函數(shù)。 1． 2 極限 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 8 一．極限的概念與基本性質(zhì) 1．極限的定義 （ 1） Axnn ???lim （稱(chēng)數(shù)列 ??nx 收斂于 A ） 任給 0?? ，存在正整數(shù) N ，當(dāng) Nn? 時(shí)，就有 ???Axn 。 2．極限的基本性質(zhì) 定理 1．（極限的唯一性）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxf ?lim ，則 BA? 定理 2．（極限的不等式性質(zhì)）設(shè) ? ? Axf ?lim ， ? ? Bxg ?lim 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 9 若 x 變化一定以后，總有 ? ? ? ?xgxf ? ，則 BA? 反之， BA? ，則 x 變化一定以后，有 ? ? ? ?xgxf ? （注：當(dāng) ? ? 0?xg ， 0?B 情形也稱(chēng)為極限的保號(hào)性） 定理 3．（極限的局部有界 性）設(shè) ? ? Axf ?lim 則當(dāng) x 變化一定以后， ??xf 是有界的。 （ 3） 1?l ，稱(chēng) ??xf 與 ??xg 是等價(jià)無(wú)窮小， 記以 ? ? ? ?xgxf ~ 6．常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小 當(dāng) 0?x 時(shí) xx~sin ， xx~tan ， xx~arcsin ， xx~arctan 221~cos1 xx? ， xex ~1? ， ? ? xx ~1ln ? ， ? ? xx ?? ~11 ?? 7．無(wú)窮小的重要性質(zhì) 有界變量乘無(wú)窮小仍是無(wú)窮小 三．求極限的方法 1．利用極限的四則運(yùn)算和冪指數(shù)運(yùn)算法則 2．兩個(gè)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則 1．單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在 （ 1）若 nn xx ??1 （ n 為正整數(shù)）又 mxn? （ n 為正整數(shù)） 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 11 則 Axnn ???lim存在，且 mA? （ 2）若 nn xx ??1 （ n 為正整數(shù)）又 Mxn? （ n 為正整數(shù)） 則 Axnn ???lim存在，且 MA? 準(zhǔn)則 2．（夾逼定理）設(shè) ? ? ? ? ? ?xhxfxg ?? 若 ? ? Axg ?lim ， ? ? Axh ?lim ，則 ? ? Axf ?lim 3．兩個(gè)重要公式 公式 1． 1sinlim0 ?? xxx 公式 2． ennn ??????? ???11lim ； eu uu ??????? ???11lim ； ? ? ev vv ???10 1lim 4．用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換 5． 用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 當(dāng) 0?x 時(shí)， ? ?nnx xnxxxe 0!!21 2 ?????? ? ? ? ? ? ? ?121253 0!121!5!3s i n ?? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxx 2242 0!21!4!21c o s ??????? ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxxx 01321ln 132 ???????? ?? ? ? ? ?1212153 012153ar ct an ??? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nn xxn nxxx 0! 11!2 111 2 ??????????? ??????? ?? 6．洛必達(dá)法則 法則 1．（ 00 型）設(shè)（ 1） ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 12 （ 2） x 變化過(guò)程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） （注：如果 ? ?? ?xg xf??lim不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出 ? ?? ?xgxflim不存在且不是無(wú)窮大量情形） 法則 2．（ ?? 型）設(shè)（ 1） ? ? ??xflim ， ? ? ??xglim （ 2） x 變化過(guò)程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） 7．利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 基本公式： ? ? ? ? ? ?0000lim xfx xfxxfx ??? ????? [如果存在 ] 8．利用定積分定義求極限 基本公式 ? ??? ?????????? 1011lim dxxfnkfnnkn [如果存在 ] 9．其它綜合方法 10．求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法 乙 典型例題 一．通過(guò)各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限 例 1．設(shè) 0?ma ， 0?nb 求01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ???????? ?????? ?