【正文】 是把題目條件和結論一步步轉化為已知的公式和結論，而出題老師編制題目的過程正好與之相反，是通過加入各種變形和推導把已知公式和結論一層層地變復雜，最后把推導結果中小的不能再小的那部分作為題目中的已知條件，其余的用來設置題目的問題。所以我們在做題時必須要有變形的意識，并不斷在做題中積累經驗。如下一題條件中的，如果可以迅速想到它等價于不等式，求解就方便多了。七. 線代部分出題的特點是“深度不大但涉及知識點多，思路簡單但十分靈活”。本題的思路相對簡單，但卻并沒有降低要求，需要理解掌握二次型部分各知識點并能在線代第五、六章之間靈活切換思路。主要應用的是：，其中為二次型對應矩陣的特征值；。九．本題利用了導數的幾何意義和求弧長公式來建立微分方程，其中不容易想到的是對條件“物體B速度為2v”的應用，有必要記住這種形式。 十. ，可直接應用“抽簽原理”：若共有a支簽，其中b支是好簽，則任意抽取不放回時抽到好簽的概率與抽簽的先后次序無關，都等于b/a。，本題所用的“分布函數法”是最主要的方法，套路清晰，比較典型。十一. 這個題考查了期望、方差、協方差和隨機變量獨立性的判定，考查面很廣。第1問求和時利用了“對稱區(qū)間+奇偶函數”可以簡化定積分計算的技巧，這一點如前面所述在見到、這樣的積分上下限時就要想到；第3問證明與是否相互獨立時利用了“兩個事件同時成立的概率不等于兩事件概率乘積”來證明，道理不復雜，但由于其不是、這樣的形式，而且與的關系容易弄錯，所以真正考查到了“理解”層次。證與相互獨立有以下等價條件：；；；。因為事件的關系及運算是重點，故有必要多記一點這樣的性質，有時可以大大方便解題。5 1994年數學一評題1. 1本題是應用等價無窮小代換球極限的好例子。使用等價無窮小代換時需注意“乘除可換、加減不可換”，例如本題中若在這一步就將換成結果就等于零了。另外，看起來很容易拆開變?yōu)?，但經驗告訴我們，看起來越好拆的就越不能拆，起碼也要先試試不拆能否做出來，因為考研題很多都有誤導傾向。1. 2本題與上一年同一位置的填空題多少有些相似，這種連續(xù)出現相似題的情況在早期數學真題中出現較多，近年來也有。1. 5本題題眼在于等于常數這一性質，同類性質我有一個小總結：，向量是n維列向量，則得到一個常數，簡稱“橫豎數”；b. 條件如上，得到一個矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個s維列向量，稱之為“陣豎數”。更簡捷的記法是利用下標相乘，如a對應的下標乘式是，即一個常數；b對應，即一個方陣；c對應，即s維行向量；d對應，即s維列向量。 本題有明顯的誤導傾向，一元函數有性質“可導一定連續(xù)、連續(xù)不一定可導”，而對于二元函數來說連續(xù)性與可偏導性之間沒有任何聯系。真題中的選擇題是不會“看起來是張三、實際上也正是張三”的，不是“看起來是張三、實際上是李四”，就是“看不出來是張三李四”。 陳文燈復習指南《向量》那一章引用本題作為一個例題，提供了兩種解法。其中一種對求解線性相關性問題具有普遍意義：對于選項B，可設，變形為，因為線性無關，所以有，解得在時即可使等式成立，故線性相關；對于選項C來說，求解類似方程得到的結果是全等于0，故線性無關。三. 本題求參數方程的一、二階導數，在求解過程中使用了一些常用技巧，如將變形為，則有、。這步變形在本題中作用有限，因為求參數方程二階導數有現成的公式，但類似的變形在沒有現成公式可用的復雜題目中會有更重要的應用。五. 全微分方程是唯一有條件的常微分方程類型，其求解的公式不對稱容易記錯；除此之外本題還考查了二階常系數非齊次方程的解法。在考研真題中，二階常微分方程部分的重點考查類型是可降階的二階方程，經常出成填空題，對于本章中這樣的類型則要求不高。六. 本題中由條件推出、其實對于任意a都有、在題目中出現類似形式時需想到這一點。本題利用的麥克勞林展開式求階的方法在歷年真題中比較少見，有一定參考意義。八. 求齊次線性方程組（Ⅰ）、（Ⅱ）的公共解可用以下三種方法：（Ⅱ）的通解后代入方程組（Ⅰ）得到公共解；（Ⅰ）與齊次方程（Ⅱ）的通解相等而得到公共解；，即，其解即為兩方程組的公共解。十. ：因為、所以若則必有，故。、。另外，如果在考試的重點內容上擴大一些知識面有時會大大方便做題，比如事件互逆的判定條件除了定義以外，還有，對應的韋恩圖為。、協方差性質及正態(tài)分布的獨立與不相關等價的性質。題目中有一個需要弄清楚的地方，就是“服從二維正態(tài)分布而且分別服從正態(tài)分布”。對于正態(tài)分布有下列性質：若隨機變量分別服從正態(tài)分布、則服從二維正態(tài)分布，同時也服從正態(tài)分布，故上述三種分布其實是一回事，因為反過來也成立。對于這樣“貌似不同實則統(tǒng)一”的點，出題人可以只在題設條件中給出一個而讓我們在做題過程中推出其它；但對于那些不要求深入掌握的點這樣考查不太合適，只能將相互等價的各部分同時放在題設條件中以起到迷惑我們的效果。“分別服從正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布”叫做正態(tài)分布的可加性，二項分布和泊松分布也有類似性質：若、且與相互獨立，則；若、且與相互獨立，則。6 1995年數學一評題 99年相同位置的填空題是求，與本題有著相同的題眼，就是在變上限積分的被積函數中加入x。這樣的x應視為被積函數中的參數，而由于對變上限積分求導要求被積函數中不含參數，故須先通過變形將參數x轉移到積分上下限中或移到積分號之外。本題是將x移到積分函數之外，然后求導得解；。這種題的題眼單一，比較典型，做兩次應該就能記住了。 本題考查了向量數積、矢積運算律及混合積的輪換對稱性。矢量數積滿足交換律、分配律和與數乘矢量的結合律，矢積與之不同之處是滿足反交換律，即、就是由這條特殊性質推出的。這一部分常用的性質還有和。 雖然本題的求解過程不算麻煩，但還是可以用試探法。取，其滿足在[0，1]上，則有。解選擇題時試探法應該是當之無愧的第一選擇，因為又快又保險。 本題的考點是“函數在某點處可導的充要條件”是其左、右導數相等“。，同時還考了判定函數在某點連續(xù)性的方法“在處連續(xù)的充要條件是有”。其中求時又用到了“的充要條件是”。極限、連續(xù)和可導性的判定條件之間有混淆的可能，當遇到分段函數時更容易弄錯，故有必要區(qū)分清楚。 本題考點為“矩陣左乘初等矩陣等價于將進行相應的初等行變幻，右乘初等矩陣等價與將進行相應的初等列變換”。這個小知識點在歷年真題中出現過不止一次，可以簡記為“左乘行變、右乘列變”以避免混淆，弄不清楚的時候還可以用簡單矩陣演算一下來確定。三. ，這兩個題是真題中前后題目相似的典型范例。本題中的看似是二元函數的隱函數，但由于存在而實際上是關于的一元復合函數，方程兩邊同時對求導可得；函數是多元復合函數，對可求全導數。99年第三題中的方程與中的皆是的一元函數，也需要在方程的兩邊同時對求導來求解，弄懂了本題以后就能一眼看出來99（三）中的函數結構了。，這些技巧在求解二重積分的題目中必有涉及，故本題可作為復習這一部分內容時參考的典型題。五. 本題先求曲線L的切線在軸上的截距，并利用條件得出方程，化簡得到貝努利方程后套用對應的解法步驟求解。貝努利方程的出現增加了一些難度，但只要辨明貝努利方程的形式以后就好辦了，出此之外本題的難度分布基本均勻。七. 大家一般都會對哪種題需要應用反證法有種直覺，其大概是因為看到問題、經過初步思考后發(fā)現沒有什么已知定理的結論形式與問題形式相符合。同樣，在第2問中想到應用輔助函數法也是建立在經驗的基礎上；不僅如此，在積累了一定的練習量之后應該還能看出條件中的就是，也就是。類似的變形經常用到，包括、以及、的導數形式。八. 本題考察了實對稱矩陣的相似對角化。實對稱矩陣具有下列性質：一定可以正交相似于對角陣，即存在正交陣使得，其中為的個正交的特征向量；矩陣一定有個線性無關的特征向量，且不同特征值對應的特征向量必正交。十. ，但是如果按照題目“則的數學期望”的暗示，用求一維隨機變量函數分布的步驟求出的分布之后再求期望的話就上了出題人的當；“”看起來也有點莫名其妙，很容易唬住人，但經過冷靜分析就會發(fā)現考點其實就是概率部分的公式。不知道出題老師是不是想把看過的《孫子兵法》都用實踐檢驗一下，但至少我們在做題多了以后就會多少看出一些出題人常用的手段來：有的題乍一看解題思路很簡單，但運算量很大甚至根本算不出來——常常是由于我們受了題目形式的誘導，埋頭苦算而忽視了簡單方法的存在；有的題目將易混淆的知識點作為考查對象，會令我們看錯、理解錯題意或用錯方法；有的題目使簡單、典型的問題以我們從未見過的形式出現，讓人找不出思路，無從下手；還有的題考點太偏，題目本身再簡單也會令人束手無策。我們有必要對這些“出題技巧”有充分的心理準備，或者，精讀《孫子兵法》。十一. ，先利用分布函數法求出一維隨機變量函數的分布，再對分布函數求導得到概率密度函數。95年這一年的概率部分考查了一、二、三章的內容，沒有涉及數理統(tǒng)計。7 1996年數學一評題 見到的形式可能會想到利用重要極限和對數恒等式。,其解法與本題基本相同。其實這樣的題既能用極限公式、求解，也能用上對數恒等式。：原式；同時有原式。兩種方法之所以會有這樣的相通性，是因為和均可由對數恒等式推出，如。經過類似的推理印證可以找出很多類似知識點之間的聯系，有時還能夠將兩個易混淆的點化為一個點來掌握，事半功倍。 本題是少見的可由試探法求解的填空題，因為題目只限定為秩等于2的矩陣，那么就可以設，求出后再求秩即可。其它解法包括利用性質“在矩陣可逆時有，在矩陣可逆時有”，因為題目中有，所以可逆，故；也可以利用性質“矩陣右乘可逆矩陣等價于對其進行一系列初等行變換”，而初等變換不改變矩陣的秩，故對矩陣來說有。 本題利用全微分的充要條件來建立等式，即“函數為某函數全微分的充要條件為”；95年第六題利用曲線積分與路徑無關的充要條件來建立等式，即“與路徑無關243?！?；98年的第四題利用一個向量為某二元函數的梯度的充要條件來引出；94年的第五題利用判定一個微分方程為全微分方程的的充要條件來引出。以上各題在得出以后一般是轉化為求解微分方程或是由等式兩端相等求解待定系數。這幾個題目所用知識點之間有相互聯系，但介于考試時的深度要求，沒有必要去一一推導，只用放在一起對比記憶即可——“全微分方程5式統(tǒng)一”：是函數的梯度243。是的全微分243。是全微分方程243。曲線積分與路徑無關243。 96年這套題整體風格有點散亂，有的題出的并不慎重，與前幾年試卷的相似之處偏多，而本題的這種出法也有點無厘頭。不知道96年在考試中心發(fā)生了什么事情。 本題的形式比較新穎，考點是求多元符合函數的偏導數，具體是將、視為多元符合函數求偏導的中間變量、為自變量，應用多元符合函數求偏導法則將、和轉化為、和的組合來求解。題目的題眼還是落在了多元函數微分學這一部分的慣用題眼上，即對中間變量、求偏導后得到的和仍然是一個以、為中間變量的復合函數，對其再求偏導時必須重復使用復合函數微分法的法則。八. 本題如果一見到條件“是維非零列向量，是的轉置”和就想到可能用上性質“橫豎數、數橫陣”（，向量是n維列向量，則得到一個常數，簡稱“橫豎數”；b. 條件如上，得到一個矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個s維列向量，稱之為“陣豎數”）。且同時考慮到條件中出現的可以形成的形式，就能夠找到突破口。本題第一問的問法“證明的充分條件是”不就是“若，試證明”嗎。十. 98年第十三題為“設兩個隨機變量、相互獨立且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，求隨機變量的方差”，本題的條件與之一樣，只是要求求出的期望，基本上就是同一個題兩種問法。解這兩個題的難點在于對| |號的處理，需要利用數學期望的定義式和定積分的對稱性來消絕對值號。在歷年真題之間，雷同題和實質性雷同題就有不少出現，體現在常用題眼、解題技巧和重點考查內容上的重復性就更大了；再加上歷年真題命題風格的相似性，就構成了重視真題的充分依據。十一. 本題求的是兩個獨立同分布隨機變量的極大、極小值的聯合分布，屬于二維離散分布。這樣的題既好做、易拿分，又有很高的出現頻率，所以一定要抓住，萬一因為馬虎輕率而失分將會是非?？上У?。8 1997年數學一評題 本題較有新意，通過題設條件中的極坐標方程與極坐標轉換公式導出曲線的參數方程，然后將求切線斜率轉化為對參數方程的求導。題目中由極坐標方程得到參數方程這一步對應用極坐標和參數方程有較高的要求，所以理解消化本題有助于鞏固這部分知識。 本題條件中有，故有（為的列向量），即的列向量是齊次線性方程組的解；同時條件中又指出是非零矩陣，故的列向量中必有非零向量，即必有非零解，其等價于。在這種解法下的題眼在于從到的轉化。另一種解法是利用性質“則有”。對進行變換后發(fā)現只有時才有，否則等于3；而、故只有才有可能使，所以必有。由此可見，對于矩陣秩部分多記一些性質公式常常很好用，線代中其它知識點也存在類似的現象。 本題可以用全概率公式求解，但最佳解法是應用抽簽原理“若有只簽，其中有只好簽，則依次不放回地抽取時第個人抽到好簽的概率與抽簽次序無關，都等于”。93年第十題第一小題是“一批產品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為”同樣也可用這兩種方法求解。 本題有必要多做幾遍，因為雖然是小題，但集中了好幾個知識點：判定二元函數在某點的連續(xù)性（包含了對多元函數求極限方法的考察）、分段函數在分界點處求導、二元函數的連續(xù)性與可偏導性無關（易與一元函數對應部分相混淆）?！岸瘮翟谀滁c處兩個偏導數存在是在該點連續(xù)的“即非充分又非必要條件”也考察了二元函數的連續(xù)性與可偏導性無關的性質。 本題雖然難度不高，但卻真正考到了一些東西，同時也沒有刁難人，做起來非常舒服。好題就是“做對了理直氣壯、問心無愧，做錯了也獲益匪淺、心服口服”的題；壞題給人的不良反應常常是“做對了心存僥幸，做錯了也不服氣”、“不管做對做錯