【正文】 是把題目條件和結(jié)論一步步轉(zhuǎn)化為已知的公式和結(jié)論，而出題老師編制題目的過程正好與之相反，是通過加入各種變形和推導(dǎo)把已知公式和結(jié)論一層層地變復(fù)雜，最后把推導(dǎo)結(jié)果中小的不能再小的那部分作為題目中的已知條件，其余的用來設(shè)置題目的問題。所以我們?cè)谧鲱}時(shí)必須要有變形的意識(shí)，并不斷在做題中積累經(jīng)驗(yàn)。如下一題條件中的，如果可以迅速想到它等價(jià)于不等式，求解就方便多了。七. 線代部分出題的特點(diǎn)是“深度不大但涉及知識(shí)點(diǎn)多，思路簡單但十分靈活”。本題的思路相對(duì)簡單，但卻并沒有降低要求，需要理解掌握二次型部分各知識(shí)點(diǎn)并能在線代第五、六章之間靈活切換思路。主要應(yīng)用的是：，其中為二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值；。九．本題利用了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和求弧長公式來建立微分方程，其中不容易想到的是對(duì)條件“物體B速度為2v”的應(yīng)用，有必要記住這種形式。 十. ，可直接應(yīng)用“抽簽原理”：若共有a支簽，其中b支是好簽，則任意抽取不放回時(shí)抽到好簽的概率與抽簽的先后次序無關(guān)，都等于b/a。，本題所用的“分布函數(shù)法”是最主要的方法，套路清晰，比較典型。十一. 這個(gè)題考查了期望、方差、協(xié)方差和隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定，考查面很廣。第1問求和時(shí)利用了“對(duì)稱區(qū)間+奇偶函數(shù)”可以簡化定積分計(jì)算的技巧，這一點(diǎn)如前面所述在見到、這樣的積分上下限時(shí)就要想到；第3問證明與是否相互獨(dú)立時(shí)利用了“兩個(gè)事件同時(shí)成立的概率不等于兩事件概率乘積”來證明，道理不復(fù)雜，但由于其不是、這樣的形式，而且與的關(guān)系容易弄錯(cuò)，所以真正考查到了“理解”層次。證與相互獨(dú)立有以下等價(jià)條件：；；；。因?yàn)槭录年P(guān)系及運(yùn)算是重點(diǎn)，故有必要多記一點(diǎn)這樣的性質(zhì)，有時(shí)可以大大方便解題。5 1994年數(shù)學(xué)一評(píng)題1. 1本題是應(yīng)用等價(jià)無窮小代換球極限的好例子。使用等價(jià)無窮小代換時(shí)需注意“乘除可換、加減不可換”，例如本題中若在這一步就將換成結(jié)果就等于零了。另外，看起來很容易拆開變?yōu)?，但?jīng)驗(yàn)告訴我們，看起來越好拆的就越不能拆，起碼也要先試試不拆能否做出來，因?yàn)榭佳蓄}很多都有誤導(dǎo)傾向。1. 2本題與上一年同一位置的填空題多少有些相似，這種連續(xù)出現(xiàn)相似題的情況在早期數(shù)學(xué)真題中出現(xiàn)較多，近年來也有。1. 5本題題眼在于等于常數(shù)這一性質(zhì)，同類性質(zhì)我有一個(gè)小總結(jié)：，向量是n維列向量，則得到一個(gè)常數(shù)，簡稱“橫豎數(shù)”；b. 條件如上，得到一個(gè)矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個(gè)s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個(gè)s維列向量，稱之為“陣豎數(shù)”。更簡捷的記法是利用下標(biāo)相乘，如a對(duì)應(yīng)的下標(biāo)乘式是，即一個(gè)常數(shù)；b對(duì)應(yīng)，即一個(gè)方陣；c對(duì)應(yīng)，即s維行向量；d對(duì)應(yīng)，即s維列向量。 本題有明顯的誤導(dǎo)傾向，一元函數(shù)有性質(zhì)“可導(dǎo)一定連續(xù)、連續(xù)不一定可導(dǎo)”，而對(duì)于二元函數(shù)來說連續(xù)性與可偏導(dǎo)性之間沒有任何聯(lián)系。真題中的選擇題是不會(huì)“看起來是張三、實(shí)際上也正是張三”的，不是“看起來是張三、實(shí)際上是李四”，就是“看不出來是張三李四”。 陳文燈復(fù)習(xí)指南《向量》那一章引用本題作為一個(gè)例題，提供了兩種解法。其中一種對(duì)求解線性相關(guān)性問題具有普遍意義：對(duì)于選項(xiàng)B，可設(shè)，變形為，因?yàn)榫€性無關(guān)，所以有，解得在時(shí)即可使等式成立，故線性相關(guān)；對(duì)于選項(xiàng)C來說，求解類似方程得到的結(jié)果是全等于0，故線性無關(guān)。三. 本題求參數(shù)方程的一、二階導(dǎo)數(shù)，在求解過程中使用了一些常用技巧，如將變形為，則有、。這步變形在本題中作用有限，因?yàn)榍髤?shù)方程二階導(dǎo)數(shù)有現(xiàn)成的公式，但類似的變形在沒有現(xiàn)成公式可用的復(fù)雜題目中會(huì)有更重要的應(yīng)用。五. 全微分方程是唯一有條件的常微分方程類型，其求解的公式不對(duì)稱容易記錯(cuò)；除此之外本題還考查了二階常系數(shù)非齊次方程的解法。在考研真題中，二階常微分方程部分的重點(diǎn)考查類型是可降階的二階方程，經(jīng)常出成填空題，對(duì)于本章中這樣的類型則要求不高。六. 本題中由條件推出、其實(shí)對(duì)于任意a都有、在題目中出現(xiàn)類似形式時(shí)需想到這一點(diǎn)。本題利用的麥克勞林展開式求階的方法在歷年真題中比較少見，有一定參考意義。八. 求齊次線性方程組（Ⅰ）、（Ⅱ）的公共解可用以下三種方法：（Ⅱ）的通解后代入方程組（Ⅰ）得到公共解；（Ⅰ）與齊次方程（Ⅱ）的通解相等而得到公共解；，即，其解即為兩方程組的公共解。十. ：因?yàn)?、所以若則必有，故。、。另外，如果在考試的重點(diǎn)內(nèi)容上擴(kuò)大一些知識(shí)面有時(shí)會(huì)大大方便做題，比如事件互逆的判定條件除了定義以外，還有，對(duì)應(yīng)的韋恩圖為。、協(xié)方差性質(zhì)及正態(tài)分布的獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)的性質(zhì)。題目中有一個(gè)需要弄清楚的地方，就是“服從二維正態(tài)分布而且分別服從正態(tài)分布”。對(duì)于正態(tài)分布有下列性質(zhì)：若隨機(jī)變量分別服從正態(tài)分布、則服從二維正態(tài)分布，同時(shí)也服從正態(tài)分布，故上述三種分布其實(shí)是一回事，因?yàn)榉催^來也成立。對(duì)于這樣“貌似不同實(shí)則統(tǒng)一”的點(diǎn)，出題人可以只在題設(shè)條件中給出一個(gè)而讓我們?cè)谧鲱}過程中推出其它；但對(duì)于那些不要求深入掌握的點(diǎn)這樣考查不太合適，只能將相互等價(jià)的各部分同時(shí)放在題設(shè)條件中以起到迷惑我們的效果。“分別服從正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布”叫做正態(tài)分布的可加性，二項(xiàng)分布和泊松分布也有類似性質(zhì)：若、且與相互獨(dú)立，則；若、且與相互獨(dú)立，則。6 1995年數(shù)學(xué)一評(píng)題 99年相同位置的填空題是求，與本題有著相同的題眼，就是在變上限積分的被積函數(shù)中加入x。這樣的x應(yīng)視為被積函數(shù)中的參數(shù)，而由于對(duì)變上限積分求導(dǎo)要求被積函數(shù)中不含參數(shù)，故須先通過變形將參數(shù)x轉(zhuǎn)移到積分上下限中或移到積分號(hào)之外。本題是將x移到積分函數(shù)之外，然后求導(dǎo)得解；。這種題的題眼單一，比較典型，做兩次應(yīng)該就能記住了。 本題考查了向量數(shù)積、矢積運(yùn)算律及混合積的輪換對(duì)稱性。矢量數(shù)積滿足交換律、分配律和與數(shù)乘矢量的結(jié)合律，矢積與之不同之處是滿足反交換律，即、就是由這條特殊性質(zhì)推出的。這一部分常用的性質(zhì)還有和。 雖然本題的求解過程不算麻煩，但還是可以用試探法。取，其滿足在[0，1]上，則有。解選擇題時(shí)試探法應(yīng)該是當(dāng)之無愧的第一選擇，因?yàn)橛挚煊直ｋU(xiǎn)。 本題的考點(diǎn)是“函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件”是其左、右導(dǎo)數(shù)相等“。，同時(shí)還考了判定函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)性的方法“在處連續(xù)的充要條件是有”。其中求時(shí)又用到了“的充要條件是”。極限、連續(xù)和可導(dǎo)性的判定條件之間有混淆的可能，當(dāng)遇到分段函數(shù)時(shí)更容易弄錯(cuò)，故有必要區(qū)分清楚。 本題考點(diǎn)為“矩陣左乘初等矩陣等價(jià)于將進(jìn)行相應(yīng)的初等行變幻，右乘初等矩陣等價(jià)與將進(jìn)行相應(yīng)的初等列變換”。這個(gè)小知識(shí)點(diǎn)在歷年真題中出現(xiàn)過不止一次，可以簡記為“左乘行變、右乘列變”以避免混淆，弄不清楚的時(shí)候還可以用簡單矩陣演算一下來確定。三. ，這兩個(gè)題是真題中前后題目相似的典型范例。本題中的看似是二元函數(shù)的隱函數(shù)，但由于存在而實(shí)際上是關(guān)于的一元復(fù)合函數(shù)，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)可得；函數(shù)是多元復(fù)合函數(shù)，對(duì)可求全導(dǎo)數(shù)。99年第三題中的方程與中的皆是的一元函數(shù)，也需要在方程的兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)來求解，弄懂了本題以后就能一眼看出來99（三）中的函數(shù)結(jié)構(gòu)了。，這些技巧在求解二重積分的題目中必有涉及，故本題可作為復(fù)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)參考的典型題。五. 本題先求曲線L的切線在軸上的截距，并利用條件得出方程，化簡得到貝努利方程后套用對(duì)應(yīng)的解法步驟求解。貝努利方程的出現(xiàn)增加了一些難度，但只要辨明貝努利方程的形式以后就好辦了，出此之外本題的難度分布基本均勻。七. 大家一般都會(huì)對(duì)哪種題需要應(yīng)用反證法有種直覺，其大概是因?yàn)榭吹絾栴}、經(jīng)過初步思考后發(fā)現(xiàn)沒有什么已知定理的結(jié)論形式與問題形式相符合。同樣，在第2問中想到應(yīng)用輔助函數(shù)法也是建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上；不僅如此，在積累了一定的練習(xí)量之后應(yīng)該還能看出條件中的就是，也就是。類似的變形經(jīng)常用到，包括、以及、的導(dǎo)數(shù)形式。八. 本題考察了實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化。實(shí)對(duì)稱矩陣具有下列性質(zhì)：一定可以正交相似于對(duì)角陣，即存在正交陣使得，其中為的個(gè)正交的特征向量；矩陣一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，且不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交。十. ，但是如果按照題目“則的數(shù)學(xué)期望”的暗示，用求一維隨機(jī)變量函數(shù)分布的步驟求出的分布之后再求期望的話就上了出題人的當(dāng)；“”看起來也有點(diǎn)莫名其妙，很容易唬住人，但經(jīng)過冷靜分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)考點(diǎn)其實(shí)就是概率部分的公式。不知道出題老師是不是想把看過的《孫子兵法》都用實(shí)踐檢驗(yàn)一下，但至少我們?cè)谧鲱}多了以后就會(huì)多少看出一些出題人常用的手段來：有的題乍一看解題思路很簡單，但運(yùn)算量很大甚至根本算不出來——常常是由于我們受了題目形式的誘導(dǎo)，埋頭苦算而忽視了簡單方法的存在；有的題目將易混淆的知識(shí)點(diǎn)作為考查對(duì)象，會(huì)令我們看錯(cuò)、理解錯(cuò)題意或用錯(cuò)方法；有的題目使簡單、典型的問題以我們從未見過的形式出現(xiàn)，讓人找不出思路，無從下手；還有的題考點(diǎn)太偏，題目本身再簡單也會(huì)令人束手無策。我們有必要對(duì)這些“出題技巧”有充分的心理準(zhǔn)備，或者，精讀《孫子兵法》。十一. ，先利用分布函數(shù)法求出一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，再對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)得到概率密度函數(shù)。95年這一年的概率部分考查了一、二、三章的內(nèi)容，沒有涉及數(shù)理統(tǒng)計(jì)。7 1996年數(shù)學(xué)一評(píng)題 見到的形式可能會(huì)想到利用重要極限和對(duì)數(shù)恒等式。,其解法與本題基本相同。其實(shí)這樣的題既能用極限公式、求解，也能用上對(duì)數(shù)恒等式。：原式；同時(shí)有原式。兩種方法之所以會(huì)有這樣的相通性，是因?yàn)楹途捎蓪?duì)數(shù)恒等式推出，如。經(jīng)過類似的推理印證可以找出很多類似知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，有時(shí)還能夠?qū)蓚€(gè)易混淆的點(diǎn)化為一個(gè)點(diǎn)來掌握，事半功倍。 本題是少見的可由試探法求解的填空題，因?yàn)轭}目只限定為秩等于2的矩陣，那么就可以設(shè)，求出后再求秩即可。其它解法包括利用性質(zhì)“在矩陣可逆時(shí)有，在矩陣可逆時(shí)有”，因?yàn)轭}目中有，所以可逆，故；也可以利用性質(zhì)“矩陣右乘可逆矩陣等價(jià)于對(duì)其進(jìn)行一系列初等行變換”，而初等變換不改變矩陣的秩，故對(duì)矩陣來說有。 本題利用全微分的充要條件來建立等式，即“函數(shù)為某函數(shù)全微分的充要條件為”；95年第六題利用曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件來建立等式，即“與路徑無關(guān)243?！?；98年的第四題利用一個(gè)向量為某二元函數(shù)的梯度的充要條件來引出；94年的第五題利用判定一個(gè)微分方程為全微分方程的的充要條件來引出。以上各題在得出以后一般是轉(zhuǎn)化為求解微分方程或是由等式兩端相等求解待定系數(shù)。這幾個(gè)題目所用知識(shí)點(diǎn)之間有相互聯(lián)系，但介于考試時(shí)的深度要求，沒有必要去一一推導(dǎo)，只用放在一起對(duì)比記憶即可——“全微分方程5式統(tǒng)一”：是函數(shù)的梯度243。是的全微分243。是全微分方程243。曲線積分與路徑無關(guān)243。 96年這套題整體風(fēng)格有點(diǎn)散亂，有的題出的并不慎重，與前幾年試卷的相似之處偏多，而本題的這種出法也有點(diǎn)無厘頭。不知道96年在考試中心發(fā)生了什么事情。 本題的形式比較新穎，考點(diǎn)是求多元符合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，具體是將、視為多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)的中間變量、為自變量，應(yīng)用多元符合函數(shù)求偏導(dǎo)法則將、和轉(zhuǎn)化為、和的組合來求解。題目的題眼還是落在了多元函數(shù)微分學(xué)這一部分的慣用題眼上，即對(duì)中間變量、求偏導(dǎo)后得到的和仍然是一個(gè)以、為中間變量的復(fù)合函數(shù)，對(duì)其再求偏導(dǎo)時(shí)必須重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)微分法的法則。八. 本題如果一見到條件“是維非零列向量，是的轉(zhuǎn)置”和就想到可能用上性質(zhì)“橫豎數(shù)、數(shù)橫陣”（，向量是n維列向量，則得到一個(gè)常數(shù)，簡稱“橫豎數(shù)”；b. 條件如上，得到一個(gè)矩陣，簡稱“豎橫陣”；，A是矩陣，則得到一個(gè)s維列向量，稱之為“橫陣橫”；，是n維列向量，則得到一個(gè)s維列向量，稱之為“陣豎數(shù)”）。且同時(shí)考慮到條件中出現(xiàn)的可以形成的形式，就能夠找到突破口。本題第一問的問法“證明的充分條件是”不就是“若，試證明”嗎。十. 98年第十三題為“設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量、相互獨(dú)立且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量的方差”，本題的條件與之一樣，只是要求求出的期望，基本上就是同一個(gè)題兩種問法。解這兩個(gè)題的難點(diǎn)在于對(duì)| |號(hào)的處理，需要利用數(shù)學(xué)期望的定義式和定積分的對(duì)稱性來消絕對(duì)值號(hào)。在歷年真題之間，雷同題和實(shí)質(zhì)性雷同題就有不少出現(xiàn)，體現(xiàn)在常用題眼、解題技巧和重點(diǎn)考查內(nèi)容上的重復(fù)性就更大了；再加上歷年真題命題風(fēng)格的相似性，就構(gòu)成了重視真題的充分依據(jù)。十一. 本題求的是兩個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的極大、極小值的聯(lián)合分布，屬于二維離散分布。這樣的題既好做、易拿分，又有很高的出現(xiàn)頻率，所以一定要抓住，萬一因?yàn)轳R虎輕率而失分將會(huì)是非?？上У?。8 1997年數(shù)學(xué)一評(píng)題 本題較有新意，通過題設(shè)條件中的極坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式導(dǎo)出曲線的參數(shù)方程，然后將求切線斜率轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)方程的求導(dǎo)。題目中由極坐標(biāo)方程得到參數(shù)方程這一步對(duì)應(yīng)用極坐標(biāo)和參數(shù)方程有較高的要求，所以理解消化本題有助于鞏固這部分知識(shí)。 本題條件中有，故有（為的列向量），即的列向量是齊次線性方程組的解；同時(shí)條件中又指出是非零矩陣，故的列向量中必有非零向量，即必有非零解，其等價(jià)于。在這種解法下的題眼在于從到的轉(zhuǎn)化。另一種解法是利用性質(zhì)“則有”。對(duì)進(jìn)行變換后發(fā)現(xiàn)只有時(shí)才有，否則等于3；而、故只有才有可能使，所以必有。由此可見，對(duì)于矩陣秩部分多記一些性質(zhì)公式常常很好用，線代中其它知識(shí)點(diǎn)也存在類似的現(xiàn)象。 本題可以用全概率公式求解，但最佳解法是應(yīng)用抽簽原理“若有只簽，其中有只好簽，則依次不放回地抽取時(shí)第個(gè)人抽到好簽的概率與抽簽次序無關(guān)，都等于”。93年第十題第一小題是“一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為”同樣也可用這兩種方法求解。 本題有必要多做幾遍，因?yàn)殡m然是小題，但集中了好幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：判定二元函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性（包含了對(duì)多元函數(shù)求極限方法的考察）、分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)、二元函數(shù)的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性無關(guān)（易與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)部分相混淆）?！岸瘮?shù)在某點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)連續(xù)的“即非充分又非必要條件”也考察了二元函數(shù)的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性無關(guān)的性質(zhì)。 本題雖然難度不高，但卻真正考到了一些東西，同時(shí)也沒有刁難人，做起來非常舒服。好題就是“做對(duì)了理直氣壯、問心無愧，做錯(cuò)了也獲益匪淺、心服口服”的題；壞題給人的不良反應(yīng)常常是“做對(duì)了心存僥幸，做錯(cuò)了也不服氣”、“不管做對(duì)做錯(cuò)