【正文】 ，若價格上漲，需求僅減少, 總收益將增加, 總收益約增加第21專題講座邊際與彈性分析精華模擬題2012智軒培訓中心1. 某種產(chǎn)品每臺售價100元，成本60元。商家為擴大銷售量，決定凡購買量超過100臺以上部分，按每臺降價1%出售（例如：若銷售量為101臺，銷售量比100臺多出一臺，于是多售出的一臺售價為99元；若銷售量為102臺，多售出二臺，多售出的二臺，每臺售價為98元，以此類推）。但每臺最低售價為75元。商家最大供應(yīng)量為150臺，并且都能售完。問銷售量為多少時，商家所獲利潤最大？解：設(shè)銷售量為x，每臺售價為P(x)?？偝杀緸镃(x)=60x （x取正整數(shù)） 由于價格不低于75元，即 當P(x)=75元時，x=125（臺） 總收益函數(shù) 利潤函數(shù) 令=0 得駐點x=120（臺） 于是x=120時，L(x)取得極大值 L（120）=4400（元）又 L（150）=15150+2500=4750（元）當銷售量為150臺時所獲利潤最大。2. 設(shè)某種商品的社會需求量 （為商品的價格），其彈性，當=10時，Q=156。一個工廠生產(chǎn)這種商品，其日總成本函數(shù)C（Q）=4Q+2000，求該廠日產(chǎn)量Q為多少時，總利潤最大。解：由 得 于是 又由 時 故 利潤 令 得 （負數(shù)舍去）故 p=，利潤最大，此時3. 設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本平均收益，當邊際收益MR=44，需求價格彈性時，取得最大利潤。求取得最大利潤時，產(chǎn)品的產(chǎn)量及常數(shù)a與b的值。解：收益函數(shù) 當取得最大利潤時，邊際收益等于邊際成本。 即 于是： 得 又 當Q=14時，企業(yè)利潤取得極大值 由于 又由于 解方程組得 當Q=2時得b=38不滿足0b24條件，因而舍去 利潤函數(shù) 令 又 故產(chǎn)量Q=14時企業(yè)取得最大利潤。3. 自動生產(chǎn)線上加工的零件的內(nèi)徑X（mm）服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12mm的為不合格品，其余為合格品。每件產(chǎn)品的成本為10元，內(nèi)徑小于10mm的可再加工成合格品，尚需加工費5元。全部合格品在市場上銷售，每件合格品售價20元。問零件的平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均銷售利潤最大？解：每件產(chǎn)品的銷售利潤L與自動生產(chǎn)線加工的零件的內(nèi)徑X（mm）有如下關(guān)系： 平均利潤為 其中是標準正態(tài)分布函數(shù)，─標準正態(tài)密度。因此，有 即當時，平均利潤最大。4. 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其利潤通過職工的工資福利及培訓費用來實現(xiàn)利潤的大小，費用分別為x（萬元）及y（萬元）。產(chǎn)品的產(chǎn)量，其利潤是產(chǎn)量Q的再扣除工資福利費及培訓費。（1） 求在企業(yè)資金充足時，x，y分別為多少時，利潤最大；（2） 在工資福利費與培訓費總和不超過55萬元時，應(yīng)如何分配這兩種費用，使企業(yè)利潤最大。解：（1）利潤函數(shù) 得 在點（46，21）處 于是當x=46（萬元），y=21（萬元）時，利潤L（x，y）取得極大值。 又 故 當x=46（萬元），y=21（萬元）時，利潤最大。 （2）作拉格朗日函數(shù) 由（1）式代入（2）式得 點（，）是唯一駐點，由實際問題得知，，使企業(yè)利潤最大。5. 已知某壟斷廠商生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本為0，其產(chǎn)品的需求價格彈性，其中Q是該產(chǎn)品的產(chǎn)量，P為其價格，已知當Q=0時P=10。（I） 試求價格函數(shù)：將P表示成Q的函數(shù)；（II） 求廠商利潤最大化時的產(chǎn)量和利潤。解：（I）設(shè)Q=Q（P），由價格彈性的定義可知 ，且由初始條件P（0）=10，用分離變量法求解方程并代入已知條件可得(II)廠商利潤可以表示為 一階條件得到 得Q=1（Q=1不合題義，舍去） 此時其利潤為 評注 廠商取得最大利潤時價格彈性為1，這可以用來驗證題目所得結(jié)果是否正確，其實此題可以令，直接解得Q=1。6. 某商品交易市場上的稅收收入與交易的成交額之間的關(guān)系經(jīng)統(tǒng)計資料分析為：稅收的收入隨成交額增加的增長率等于稅收收入的立方與成交額立方的2倍的差、再除以成交額與稅收收入平方之積的3倍。若成交額為x=1（萬元）時，稅收收入y=2（百元），試求該商品市場的稅收收入與成交額之間的函數(shù)關(guān)系。解：依題設(shè)，稅收收入y（百元）與成交額x（萬元）的函數(shù)關(guān)系滿足的微分方程： 此方程即為 設(shè)，則 原方程變?yōu)? 即 所求函數(shù)關(guān)系為 7. 設(shè)某商品的價格與需求量之間具有線性關(guān)系。當價格從2元上升到4元時，產(chǎn)品的需求量從1000件下降到800件。（I） 求需求函數(shù)；（II） 求當價格為10元時的需求彈性并說明其經(jīng)濟意義。解：（I）設(shè)需求量為Q、價格為P，則需求函數(shù)為 Q=a+bP P=2時，Q=1000， P=4時，Q=800 代入得 解得 a=1200、b=100 Q=1200100P.(II)需求彈性為 當P=10時， 這說明當價格為10元時，價格增加1%，則需求量減少5%；價格減少1%，則需求量增加5%。8. 某地區(qū)研究消費需求量時，發(fā)現(xiàn)在穩(wěn)定條件下，需求量y只與消費者個人收入x有關(guān)。經(jīng)測算，且當消費者收入x=1時，消費需求量y=e。（I） 求需求量y與個人收入x之間的函數(shù)關(guān)系；（II） 求消費者個人收入為3時的消費需求量。解：（I）設(shè)消費者的需求量為y，消費者的收入為x。則消費需求量增長率對消費者個人收入增長率之比即為y對x的彈性。 其平均彈性為 于是得 將題設(shè)條件代入得 解此方程得 ，代入初始條件得 所求函數(shù)關(guān)系為 （II）當x=3時的消費需求量為 9. 設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動力x和原料y的函數(shù)。假定每單位勞動力費用100元，每單位原料費用200元，現(xiàn)有資金30000元用于生產(chǎn)。為得到最多的產(chǎn)品，應(yīng)如何安排勞動力和原料？解：本問題為求函數(shù)在條件100x+200y=30000下的極值。設(shè) 則 解得 x=225 y= 由于x=22y=，且實際問題有最大值，故它是最大值點。即安排勞動力225個單位、能得到最多的產(chǎn)量。10. 某商場的銷售成本y和存貯費用s均是時間t的函數(shù)。隨著t的增長，銷售成本的變化率等于存貯費用的倒數(shù)與常數(shù)5之和。而存貯費用的變化率為存貯費用的倍的相反數(shù)。若當t=0時，銷售成本y=0，存貯費用s=10，試求銷售成本與時間的函數(shù)關(guān)系及存貯費用與時間的函數(shù)關(guān)系。解：由題設(shè)，有 ① ②解微分方程②得： 由初始條件 得 將上式代入①中得： 解得 由初始條件 得 11. 某種商品的需求函數(shù)是，企業(yè)的平均成本，（I） 若向企業(yè)每單位商品征收稅款t，試求其最大利潤和稅收最大時的t值；（II） 求當征收25%的銷售稅時，企業(yè)的最大利潤。解：（I）由題設(shè)條件得收入函數(shù) 成本函數(shù)為 征稅后的利潤函數(shù)為：令 得 是函數(shù)L（x）唯一駐點，同時在駐點處L（x）取極大值，故它也是函數(shù)的最大值點。此時相應(yīng)的稅收函數(shù)為 ，令 解得t=9 是函數(shù)T（t）的唯一駐點且在駐點處T（t）取極大值，故它也是T（t）的最大值點。當t=9時，利潤和稅收同時達最大。(II)當征收25%的銷售稅后，利潤函數(shù)為 是唯一極值點且函數(shù)在駐點處取極大值，故此極大值也是函數(shù)的最大值。 所以當時，利潤最大。最大利潤為 12. 某工廠要在一年內(nèi)以相同的批量分批生產(chǎn)2400件產(chǎn)品，產(chǎn)品的單位成本為6元。但每生產(chǎn)一批產(chǎn)品需要調(diào)整機器費用160元，在生產(chǎn)過程中，在制品占用資金的銀行年利率為10%。若全年所需費用等于全年所需機器調(diào)整費用與在制品占用資金利息的總和，問批量為多大時，才能使全年所需費用最少？解：設(shè)批量為x件，則全年所需的機器調(diào)整費為，在制品占用資金利息為， 總費用 當x=800時，函數(shù)取極小值。由于函數(shù)只有一個駐點，此極小值即為函數(shù)的最小值。故當批量為800時，總費用最省。13. 某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告。根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R（萬元）與電臺廣告費用x（萬元）及報紙廣告費用y（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng) 驗公式 （I） 在廣告費用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略；（II） ，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略。解：（I）由題設(shè)利潤函數(shù)為 則 解得 x=，y= 在x=，y=，L取極大值，亦即最大值。 （萬元），（萬元）。 （II）當廣告費用限定為x+y=（萬元）時，問題即為求利潤函數(shù)L在約束條件x+y=。由拉格朗日乘數(shù)法有 由 得 x=0，y= 由于問題本身有最大值，且函數(shù)只有一個駐點，故駐點處的函數(shù)值即為最大值。