【導讀】以下給出了《高等數(shù)學》每章近10年的具體考題題型，可以使考生清晰地了解和把握各章出題的方式、命題的頻率。及其分值比重，在全面復習的過程中，也不失對重點知識的明確和強化。題型7數(shù)列極限的判定或求解。題型12在某一區(qū)間至少存在一個點或兩個不同的點使某個式子成立的證明。題型6定積分的應用。題型10已知曲線積分的值，求曲線積分中被積函數(shù)中的未知函數(shù)的表達式（六，20xx；三（19（Ⅱ）），20xx

　　

【正文】 xe? ?? ? ?和 第三層次：間接再間接用洛必達法則 1? 型、 00 型、 0? 型 ? ? *l i m() ( ) l n ( ) ( ) l n ( )**l im ( ) l im xgx g x f x g x f xxxf x e e ??? ?? 7．利用導數(shù)定義求極限 基本公式： 0000 ( ) ( )l im ( )x f x x f x fxx?? ? ? ? ???[如果存在 ] 8．利用定積分定義求極限 基本公式 ?? ????101 )()(1lim dxxfnkfn nkn [如果存在 ] 9．其它綜合方法 10．求極限的反問題有關方法 例：已知 221lim 3 ,s in ( 1 )x x a x b abx? ?? ?? 求 和 （乙 ）典型例題 一、有關無窮小量 例 1． 323 1l im ( s in c o s )2 xx xx xxx? ?? ?? ??? 例 2．設當 0x? 時， 2(1 cos ) ln(1 )xx??是比 sinnxx高階的無窮小量，而 sinnxx又是比 2( 1)xe ? 高階的無窮小量，則 n 等于（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 4 二 、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限 例 1 設 0?ma ， 0?nb ，求01110111l i m bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ?????? ?????? ?? 解：01110111l i m bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ??????? ?????? ?? nnnnmmmmnmx xbxbxbbxaxaxaax ??????????? ?????????0111101111 ][l i m ? ? ????????????時當時當時當，nmnmbanmnm,0 例 2 設 0?a ， 1?r ，求 )(lim 1??? ??? nn arara ? 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 解：rarraarara nnnn ???????? ????? 111l i m)(l i m 1? 特例 （ 1）求 ?????? ????? ??? nnn )32()1()32()32(32l i m 132 ? 解：例 2 中取32?a，32??r，可知原式52)32(132???? （ 2）34232)31(311)21(211lim ????????? nnn ?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 解：分子、分母用 n3 除之， 原式 = 31)32(2)32(3lim ????? nnn （注：主要用當 1?r 時， 0lim ??? nn r） 例 4 設 l 是正整數(shù)，求 ???? ?nkn lkk1 )(1lim 解： )11(1)( 1 lkkllkk ????? ∴ ?? ?????? ??????????nk lnnlllkk111112111)( 1 ?? 因此原式 )1211(1 ll ???? ? 特 例 ：（ 1） ???? ??nkn kk1 1)1(1lim （ 1?l ） （ 2） ???? ????nkn kk1 43)211(21)2( 1lim （ 2?l ） 三 、用兩個重要公式 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 例 1 求nn xxx 2c os4c os2c oslim ??? 解：當 0?x ，原式 =1 當 0?x 時，原式nnnnnn xxxxx2s i n22c os4c os2c os2s i n2l i m ???? nnnnnn xxxxx2s i n22s i n2c o s4c o s2c o s2l i m 111???????? =? xxxxxxxxnnnnnns i n2s i n2s i nl i m2s i n2s i nl i m ???????? 例 2 求 xx xx )11(lim ???? 解一： 21)11()11(l i m/)1( /)1(l i m)11(l i m ???????? ??????????? ????? eeexxxxxxxxxxxxxxx 解二： 2)12)(21()12(1l i m)11(l i m ????????? ??????? ?????? exxx x xxxxx 例 3 ? ? )2(c os)s i n( 120s i n2c os20c ot022222 )s i n(1l i m)s i n1(l i m)(c osl i m?????? ????? xxxxxxxx xxx = 21?e 四 、用夾逼定理求極限 例 1．求 )2 12654321(lim nnn ????? ? 解：令nnx n 2 12654321 ???? ?，12 25432 ??? n ny n ?， 則 nn yx ??0 ，于是12 10 2 ???? nyxx nnn 由夾逼定理可知： 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 例 2 求 ???? ??nkn knnk1 2lim 解：12121 21 22 ?? ????????? ??? ?? nn nknn knnn n nk ?? 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 而21)2()1(21l i m221l i m2 ???????????? nnnnnnnnn? 211)1(21l i m121l i m 22 ??????? ??? ???? nnnnnn n nn ? 由夾逼定理可知21lim 1 2 ??????? nkn knn k 例 3 求 ???xx dttx 0 sin1lim 解： 2s ins in0)1( ???? ? ??? t dtdttkk? 設 ?? )1( ??? nxn ，則 )1(2s i ns i ns i n2 )1(000 ????? ??? ? ndttdttdttn nxn ?? 于是， ? ???? x nndttxn n 0 )1(2s i n1)1( 2 ?? ∵?? 2)1( 2lim ???? n nn，?? 2)1(2lim ???? nnn， 由夾逼定理可知， ? ????xx dttx 0 2sin1lim ? 五 、用定積分定義求數(shù)列的極限 例 1．求 ???? ?nkn knn1 22lim 分析：如果還想用夾逼定理中的方法來考慮 2221 222221????? ?? n nkn nnn n nk 而 21lim222 ???? nnnn， 11lim 22 2 ???? n nn 由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮 解： ???? ???? ??? nknk nn nknknn1 21 22 )(111l i ml i m ? ???? 10 2 401t a n1 ?xar cxdx 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 例 2 求 ???? ?nknknnk1 1sinlim? 解： ?? ??? ????? nknknk nknknnknkn 11 1 s i n11s i ns i n11 ???? 而 ?? ?????1012s i ns i n1l i m ??? x dxnkn nkn ? ?? ????? ???? nk nknn nknn nnkn 1 1 2)s i n1)(1(l i ms i n11l i m ??? 由夾逼定理可知，??21sinlim1??????nknknnk 六 、用洛必達法則求 極限 1．00型和??型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3??? 解：離散型不能直接用洛必達法則，故考慮 3300s in s inl im l ims inxxx x x xxx????等 價 無 窮 小 代 換 616s inlim3 c os1lim 020 ???? ?? x xx x xx ∴ 原式61? 例 2．求10102limxexx?? 解：若直接用00型洛必達法則 1，則得9130 10)2(lim 2xex xx??=12105lim2xexx??（不好辦了，分母 x 的次數(shù)反而增加） 為了避免分子求導數(shù)的復雜性，我們先用變量替換，令 tx ?21 于是ttttxx ettexe 551010 limlimlim2?????????? ??（ ?? 型） 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 45 5 !lim lim 0tttttee? ?? ? ??? ? ? ? 例 3 設函數(shù) ? ? 00)( ?fxf 連續(xù)， ，求????? xxx dttxfxdttftx000 )()()(lim 解：原式??? ??? xxxx duufxdtttfdttfx0000 )()()(lim （分母作變量替換 x t u?? ） ??????? xxx xxfduufxxfxxfdttf000 )()()()()(lim （用洛必達法則，分子、分母各求導數(shù)） （用積分中值定理） 0( 0 )()lim ( ) ( )xxfxf xf x?????? ?（ ? 在 0 和 x 之間） (0) 1(0) (0) 2fff??? 2． ??? 型和 0 ?? 型 例 1 求 )c ossin1(lim 2220 x xxx ?? 解：原式 =xx xxxx 22 2220 sin c ossinlim ??? 42202sin41limxxxx??? 30 42c o s2s in442limxxxxx??? 30 24sin41limxxxx??? 20 6 4cos1lim x xx ?? ? x xx 12 4sin4lim0?? 34? 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 網(wǎng)友 （ 洪楓 ） 傾情為您奉獻， ： 332985688，個人主頁 例 2 設 0?a ， 0?b 常數(shù)。求 )(lim 11 xxx bax ???? 解：原式11lim 1xxx abx????? 0limtttabt??? （ 00 型） 用洛必達法則 )lnln(lim0 bbaa ttt ?? ?? ba lnln ?