【正文】 rd rd ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? 讀者可以嘗試計算上述積分，其中的計算過程要必平移法復雜得多 ！ 【例 16】 求 球面 ? ?2 2 2 2 0x y z a a? ? ? ? 被平面 4az? 和 2az? 所夾部分的表面積 解： 22 2 2 2 22 3222x y z a x y aazaz? ???? ? ? ? ?? ?????????????? 22 2 2 2 22 15444x y z a x y aazaz? ???? ? ? ? ?? ?????????????? 上半球 2 2 2z a x y? ? ? 2 2 2 2 2 2 xyxyzza x y a x y? ? ? ?? ? ? ? 由于對稱性 ? ? ? ?? ?22 2 215 152 2 222 23 32202 241 41 4 2 |2xyxyxyDDa aa aS z z d d yad x d ya x yad d a aa? ?? ? ? ? ? ????? ? ????? ? ? ? ???????? 【例 17】 DI xydy??? D 由 42 3 6x y xy????????在第一象限所圍成的區(qū)域。參見下例。如使用 原位法 ，即 12c o s : 0 , 0 c o ss in 2xr D r Ryy ? ?????? ? ? ? ? ?? ?? ? ?12c os2 2 2 2 2200c os32 2 3 3 3 322 2000221 2 1 1 1 4 2 2 si n2 3 3 3 3 3RDRI R x y dx dy d R r rdrR r d R R d R? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ??? 如使用 平移法 ，即 12c o s D : 0 2 , 02s inRxrrRyy? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??，本質上是把圓心平移到原點，則 1222 2 2 2002 2 1 c o s4RDRI R x y d x d y d R R r r d r? ????? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? 顯然上述積分十分繁瑣，本題不能使用 平移法 。 ● 常用結論 2 2 22204 c o s s in20 當 和 沒 有 一 個 為 奇 數 當 和 至 少 有 一 個 為 奇 數mn mnmnx y aa d m nxy mnmn? ? ? ???????? ???????? 【例 13】計算 ??a ? ?2212 2210 1 1xxxI d x x y d y??????? ??b ? ? ? ?2220 4 2 42 2 2 222 0 2xxx x xI d x x y d y d x x y d y??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??c 設 ? ?, f x y 在單位圓上有連續(xù)的偏導數，且在邊界上為零，試證明： ? ?2 2 2 220 110 , 0 l im 2 xyxyx f y ff dx dyxy? ???? ? ? ????????? 解： ??a 積分區(qū)域為：2201:1 1 2xDx y x x?????? ? ? ? ??? 顯然本題適合用原點極坐標， 22c o s 1 1 2 sin 2 , sin 42 2 c o sx r y x ryr y x x r?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ?????? ??? ??? ? ? ? ??? 交 點 坐 標 由對稱性 ⑤ 知： 122 s in2 3 4441 0 0 02 2 8 si nDI r rd r d r d r d???? ? ?? ? ? ??? ? ? ? 244001 c os 2 1 c os 4 1 38 2 1 2 c os 2 8 2 2 4 8dd?? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ??b 積分區(qū)域為： 2220220:244xxDx x y xx y x? ???? ? ??? ???? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?2220 4 2 4 c os2 2 2 22 s in2 0 23 44222 2 2 24 2 20 2 c os0 0 2 c os 02420||4 4 43 1 94 1 c os 42 4 2 2 4 xx xryrx x xI dx x y dy dx x y dyrrd r rdr d r rdr dd??? ? ?? ????? ? ?? ? ?? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ??c 使用原點極坐標， cosxr?? ， sinyr?? ? ?2 2 22 2 2001102210000si n si n11l i m l i m2211l i m l i m c os , si n22 x y x y x yxyrxyffc os f f r rc os f r f x f y frrfrx f y frdx dy rdrdx y rfd dr f r rr??????????? ? ? ????? ? ???????????? ? ???????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? ??? ? ?? ? ? ??????? ????? ? ? ? ? ? ? ?1220001l i m 0 c os , si n l i m c os , si n 0 , 0 0 , 22 df d f f??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? 【例 14】計算 2 2 2 2 2 : , 0DI R x y d x d y D x y R x R? ? ? ? ? ???。 解： D 關于 x 軸對稱， ? ?,f xy 關于 y 是偶函數，則 ? ?? ?? ?? ?? ?1c os20 0 0 03 3 33 4 3 3203320 0 0222 2 c os2 2 3 1c os3 3 4 2 2 81 8l i m l i m l i m 211 41 c os l n 1l n 122a a aDIaa a aI a x dx dy x dx dy d r rdra a aa d a aaaIaeaa a a a a??????? ? ???? ? ?? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ???? ? ? ? ?? ■ 題型三 關于極坐標題法 陳氏第 14 技 能否使用極坐標主要由被積函數的特點決定，而不是由區(qū)域特點所決定；使用極坐標方式有兩種： ??1 原位法 ：cos sinxryy????? ?? 或 ??2 平移法 ： 00cossinx x ry y y ?????? ???，選擇的原則是使被積函數容易積出， 一般來說，被積函數具有 ? ?22f x y? 或 ? ?mnf x y 形式時，使用極坐標會大大簡化計算。 123312 2 2 201[ 1 ( ) ] [ 1 ( ) ]2 5DDxxDI x y f x y d x y f x y dx d x dx dy??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ? ? 【例 10】 計算 22( 2 s in 4 4 )DxyI x y dpq ?? ? ? ? ??? 2 2 2:D x y a?? 解：由于 D 關于 X， Y 輪換對稱性，故 22( 2 s in 4 4 )DxyI x y dpq ?? ? ? ? ??? 中被積函數又可以輪換，積分值不變 又由于 D 關于 X， Y 軸均對稱，故 2 sin 0D xd????? 40D yd???? 2 2 2 22 2 222200421( ) 421 1 1 ( ) ( ) 421 1 1 ( ) 4211 ( ) 44DDDax y y xI d dp q p qx y d apqr d r apqaapq????????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ??? ?????? 【例 11】設二元函數 ? ?222, 1, 1 , 1 2x x yf x y xyxy? ???? ? ? ? ?? ??， 計算二重積分? ?,D f x y d??? ，其中 ? ?? ?, | 2D x y x y? ? ?。 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, [ , , , ],D D xyf x y dx dy f x u v y u v du dvuv? ?? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, , [ , , , , , ] ,x y zf x y z dx dg dz f x u v w u v w du dv dwu v w??? ??? ???? ??? 其中雅可比矩陣 ? ?? ? ? ?? ?, 1,xxxy uvuvyyuvuv xy??????? ???????? ???? ??? ■ 題型二 關于對稱性題法 【例 7】 1D :12211 1 , 2 2 , ( )Dx y I x y dx dy? ? ? ? ? ? ? ??? 2D :2222 0 1 , 0 2 , ( )Dx y I x y dx dy? ? ? ? ? ??? 解： f 為偶函數數， 1D 關于 ,xy都對稱， 2D 正好是 1D 的 14，故 2 2 22 1 2 12 2 2 2 2 2120 0 0 04 ( ) 4D D DI I x y d x d y x d x d y y d x d y d y x d x y d y d x? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? ? ? ? ? 【例 8】計算 DI xydxdy??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222 2 2 2 2 2121 : 2 2 : 2D x y x y D x y x y? ? ? ? ? 解：（ 1） D 關于 ,xy對稱 ? ?,f x y xy? 關于 ,xy都是奇數 0DI xydxdy? ? ??? （ 2） D 關于原點對稱， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, , , ,f x y x y f x y x y f x y? ? ? ? ? ? ?為偶函數，故 ? ?,2D Df x y d xyd?????? ?? 320 s i n 22 s i n c o s0d