【正文】 r d r? ?? ? ?? ?? =16 【例 9 】 設(shè)區(qū)域 D 由 3 , 1, 1y x y x? ? ? ?所 圍 ， 試 計 算22[1 ( ) ]DI x yf x y d?? ? ??? 解：作輔助線 3yx?? ，則 D 分為 12DD和 。 【例 3】 更換積分次序 ? ? ? ?2120122 , 00xxxI dx f x y dy dx f x y dy????? ? ? ? 解： 1 201: 02xDy x x?????? ? ??? 及 2 12: 02xD yx???? ? ? ?? 作 12DD和 圖形，得： ? ?2120 1 1 , y yI dy f x y d x???? ?? 【例 4】 交換積分次序 ? ? ? ?22 8 812,xxxI d x f x y d y d x f x y d y??? ? ? ? 解： 1 212xD x y x???? ??? 2 288xD xy???? ??? 畫出 12,DD圖形，得： ? ? ? ?481 4 2,yyyI d y f x y d x d y f x y d x??? ? ? ? 【例 5】更換積分次序 ? ?2 s in00 , xI dx f x y dy?? ?? 解： ? ? ? ?1 a r c s in 0 2 a r c s in0 a r c s in 1 a r c s in, , yyI d y f x y d x d y f x y d x?? ??? ????? ? ? ? 【例 6】更換積分次序 ? ?2 c o s204 ,aI d f d? ?? ? ? ? ??? ?? 解：如改為先 ? 后 ? 則有下列兩點技巧 ① D 的邊界曲線全都用極坐標表示 ② 若以原點 o 為圓心的一系列同心圓與 y 區(qū)域 D 的邊界曲線中的不同曲線相交，則應(yīng)在交點處用逆時針園弧線 2a?? 把 ? 的區(qū)間分為兩個正規(guī)區(qū)域： 12a r c c o s a r c c o s a r c c o s2 2 2 2 0 2 2 2a a aDDa a a? ? ? ???????? ? ? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ? ?2 c o s 2 c o s2202 c o s42,a a r c a a r caa a a r c aI d f d d f d????? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? 三、換元法技巧 以盡可能簡便 D 為出發(fā)點，再參考 ? ?,f x y z 的特征。 解： x 冪次高，所以先積 y ? 22: 1 2 , 1D x y xx? ? ? ? ? 2222121 7 = + a r c ta n 2 84xxD xxI d x d y d x d yyy ?????? ? ? ②若被積函數(shù)只有一個變量， 就后積此變量； 【例 2】 sinDyI dxdyy??? ， D 由 2, y x x y??所圍。 ● 輪換對稱性實例 ? ? ? ? ? ? ? ?11 1 1 10 , 0 0 , 02 2 2 2 2 221144221 023 3 3 x y x y x y x yx y x yx y x ya b a bI a x b y dx dy x y dx dy x y dx dy a b x dx dyx y x y y xI dx dy dx dyx y x y y x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ?? ?? ???? ??二、 二重積分次序選擇原則與 積分次序的更換方法 陳氏穿線法【原創(chuàng)】 后積先定常數(shù)限， 先積方向正直穿； 相交必須同一線， 否則域內(nèi)要分拆； 隱含邊界須周全， 6 類對稱掛耳邊； 極坐標 ? 逆弧線， 多種邊界同園拆。 第 19 專題講座 二重積分的系統(tǒng)題型與題法 2020 智 軒 一、二重積分的六大對稱性 如果積分區(qū)域 D 具有軸或點對稱（令12D表示 D 的一半?yún)^(qū)域，即 D 中對應(yīng) 0y? 部分，余類推），被積函數(shù) ? ?, f x y 同時具有奇偶性，那么，二重積分的計算可以得到不同程度的簡化，這一技巧在研考數(shù)學(xué)中每年都必出題，務(wù)必理解記住下列 6 類對稱 性定理。 第二，要明白秩是用子式（方陣）是否為零來定義的，所以矩陣 A 的秩等于矩陣的行秩也等于列秩，要明白單個向量的維數(shù)（坐標空間的維度）和向量組的維數(shù)（任意矢量 r 的分量個數(shù)）是兩個不同的概念。 故 0BX? 只有零解 0B??，故 B 的列向量線性無關(guān)。 證明：設(shè) Am n n lBC??? ，依題意， ? ?R A n? ，知 A 的標準型為0n mnE ???????，并有： m 階可逆矩陣 P ，使 ? ? ? ? ? ? ? ?00 0 000nnCE E BP A P C P A B BBR C R P C R R B R B?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ????? 令 定 理 8 若 AB E? ，則 B 的列向量線性無關(guān)。 故 0A? 。 定 理 6 向量組 A 能由向量組 B 線性表示 ? ?AB? ， 若 B 不能由 A 線性表示，則 0A? 。 定 理 4 設(shè) ? ?mnR A r? ? ，則 n 元齊次方程 0AX? 的 解空間 S 的秩為 ? ?R S n r??。 （坐標數(shù)指單個向量的維數(shù)） 定 理 3 設(shè) n 維向量組 ? ?12, , , rA ? ? ?? ，12iiinixxx??????????????為 n 維坐標； n 維向量組 ? ?12, , , rB ? ? ?? 為增加 i? 的坐標維數(shù)得到的（稱為 導(dǎo)出組或延伸組 ），即121innnsxxxxx??????????????????????????，則 （ 1） ? ?12, , , rA ? ? ?? 無關(guān) ?導(dǎo)出組 ? ?12, , , rB ? ? ?? 無關(guān)； （ 2）導(dǎo)出組 ? ?12, , , rB ? ? ?? 相關(guān) ? ? ?12, , , rA ? ? ?? 相關(guān)。或者可以這樣理解：單個向量的維數(shù)相當于坐標空間的維度，向量組的維數(shù)（即向量組所含單個向量的個 數(shù)）相當于任意矢量 r 的分量個數(shù)，如果 r 具有三個分量，它又怎能在 2 維空間中表示呢，除非三個分量不獨立，即線性相關(guān)。 證明： m 個 n 維向量 ? ?12, , , m? ? ? 構(gòu)成矩陣? ?12, , , n m mA ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?1212, , , , , , n m mnm mAR A n R A m m? ? ?? ? ?? ??? ? ???? ? ? 個 向 量 線 性 相 關(guān) 。 定 理 2 m 個 n 維向量向量組成的向量組，如果坐標維數(shù) n 小于向量維數(shù) m 時一定線性相 關(guān)。 ） 評 注 對此類定理的掌握 不能只局限于理論證明，更重要的是需要找到直觀解析或幾何圖案。 形象記憶法：大無小無，小關(guān)大關(guān)。 證明： 記 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1, , , , , , , , 1m m mA B R B R A? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?1 2 1121 , , , , 1 1 = , , , AmmBmR A m R B R A mR B m R A R B m? ? ? ?? ? ??????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ?線 性 相 關(guān)線 性 無 關(guān)故 線 性 相 關(guān) 。 解：對于本題，就可以按照 第一類曲線積分 解法如下 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?221222021 c os 2 c os , 0 220 , : 1 c os 1 c os : 1 c os c os 1 c os si n 2c os si n 21 c os c os 1 c os si n 2 2 c os 22 c os c os2r a dl r r dt a dz l r araz z a a az r r aS a a a a da??? ? ? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ????????220222022022c os c os + si n c os c os si n c os 2 c os 2 2 2 24 c os 2 c os c os 2 c os + si n 2 c os c os 2 si n 2 c os 2 c os 4 c os 2 c os c os 2 c os + si n 2 c os c os 2 si n 2 c os 4 2 c ostda t t t t t t t t t t dta t t t t t t t t t dtat????? ? ? ?? ? ? ? ????????????????? ? ? ?????? ? ????????? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?220202 2 2 202 3 502 3 51 c os 2 c os 1 c os + si n 2 c os c os 2 si n 2 c os 4 si n 2 c os c os 2 si n 2 c os 4 2 si n 1 si n 2 1 2 si n 1 si n si n 4 4 si n 8 si n 4 si n 8 4 si n 8 si n 4 si n t t t t t t t t dta t t t t t dta t t t t t dta t t t dta t t t??????? ? ?????????? ? ? ? ?????? ? ????? ? ??????2022 2 4 2 328 4 8 43 5 3 5dtaa?????? ? ? ? ? ? ? ?????? 考研數(shù)學(xué)中向量組相關(guān)性的 8 大必須掌握的系統(tǒng)定理及其證明 智 軒 定 理 1 一般稱 12: , , , mA ? ? ?為 1 2 1: , , , ,mmB ? ? ? ? ?的 部分組 ，如果一個 向量組線性無關(guān)，則其部分組必?zé)o關(guān)；如果部分組相關(guān)，則向量組必相關(guān)。 解： 引入球體坐標系? ?? ?? ?, sin c o s, sin sin, c o sxryrzr? ? ? ?? ? ? ?? ? ??????? ?? ? ? ? ?? ?22 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 22 2 2 2 222222002 0 si n si n 2c os 2c os si n 2 , si nsi n 2si n4 si n4DDx y z a x y a r ar a r aS EG F dudv r r r rd daa d d?????????? ? ??