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20xx考研必備:超經典的考研數學考點與題型歸類分析總結-展示頁

2025-06-08 18:10本頁面
  

【正文】 或求導判斷,判定極、最值時則須注意以下兩點: A. 極值的定義是:對于的鄰域內異于的任一點都有>或<,注意是>或< 而不是≥或≤; B. 極值點包括圖圖2兩種可能,所以只有在在處可導且在處取極值時才有。典型的構題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程,一般需要把積分方程中的變上限積分單獨分離到方程的一端形成“=∽”的形式,在兩邊求導得到微分方程后套用相關方程的對應解法求解。其中二階線性微分方程解的結構定理與線性代數中線性方程組解的結構定理非常相似,可以對比記憶:若、是齊次方程的兩個線性無關的特解,則該齊次方程的通解為若齊次方程組Ax=0的基礎解系有(nr)個線性無關的解向量,則齊次方程組的通解為非齊次方程的通解為,其中是非齊次方程的一個特解,是對應齊次方程的通解非齊次方程組Ax=b的一個通解等于Ax=b的一個特解與其導出組齊次方程Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個特解,則對應齊次方程的一個解為若、是方程組Ax=b的兩個特解,則()是其對應齊次方程組Ax=0的解由以上的討論可以看到,本章并不應該成為高數部分中比較難辦的章節(jié),因為這一章如果有難點的話也僅在于“如何準確無誤地記憶各種方程類型及對應解法”,也可以說本章難就難在記憶量大上。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換”,“求解貝努利方程就用變量替換”一樣,在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、 ”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。各種類型都有自己對應的格式化解題方法,這些方法死記硬背并不容易,但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統一的,就是把以各種形式出現的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式,再積分得到答案。先討論一下一階方程部分。這是因為其實并非所有的微分方程都是可解的,在大學高等數學中只討論了有限的可解類型,所以出題的靈活度有限,很難將不同的知識點緊密結合或是靈活轉換。歷年真題中對于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現的,也經常以大題的形式出現,一般是通過函數在某點處的切線、法線、積分方程等問題來引出;從歷年考察情況和大綱要求來看,高階部分不太可能考大題,而且考察到的類型一般都不是很復雜。依我看,最大的技巧就是不依賴技巧,做題的問題必須要靠做題來解決。這就像在記英語單詞時,看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的一樣,對于考研數學大綱中“理解”和“掌握”這兩個詞的認識其實是在做題的過程中才慢慢清晰的。希望這些想法對你能有一點啟發(fā)。所以說,“牢記定理的結論部分”對作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現的最為明顯。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型:條件欲證結論可用定理A關于閉區(qū)間上的連續(xù)函數,常常是只有連續(xù)性已知存在一個滿足某個式子介值定理(結論部分為:存在一個使得)零值定理(結論部分為:存在一個使得)B條件包括函數在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導存在一個滿足費爾馬定理(結論部分為: )洛爾定理(結論部分為:存在一個使得)C條件包括函數在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導存在一個滿足拉格朗日中值定理(結論部分為:存在一個使得)柯西中值定理(結論部分為:存在一個使得)另外還常利用構造輔助函數法,轉化為可用費爾馬或洛爾定理的形式來證明從上表中可以發(fā)現,有關中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱,如表格中B、C的條件是一樣的,同時A也只多了一條“可導性”而已;所以在面對這一部分的題目時,如果把與證結論與可能用到的幾個定理的的結論作一比較,會比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題,那么主要靠“倒推結論”入手的“結論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現?!氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路,同時出題老師也正是這樣安排的,但從題目的“欲證結論”中獲取信息有時也非常有效。當我們解證明題遇到困難時,最常見的情況是拿到題莫名其妙,感覺條件與欲證結論簡直是風馬牛不相及的東西,長時間無法入手;好不容易找到一個大致方向,在做若干步以后卻再也無法與結論拉近距離了。通過對這個模型的分析可以看出,對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。如對于模型中的(AB) C,如果不知道或弄錯則一定無法得出結論。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類:,難以從中找出有用的一個。用以下這組邏輯公式來作模型:假如有邏輯推導公式AE、(AB)C、(CDE)F,由這樣一組邏輯關系可以構造出若干難易程度不等的證明題,其中一個可以是這樣的:條件給出A、B、D,求證F成立。這種思路對于證明定積分等式的題目也同樣有效。所以解這一部分題的思路應該是先看是否能從積分上下限中入手,對于對稱區(qū)間上的積分要同時考慮到利用變量替換x=u和利用性質 、。所以可以這樣建立起二者之間的聯系以加深印象:定積分的結果可以寫為F(x)+1,1指的就是那一分,把它折彎后就是中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。對于第三章《不定積分》,陳文燈復習指南分類討論的非常全面,范圍遠大于考試可能涉及的范圍。2011考研必備:超經典的考研數學考點與題型歸類分析總結1高數部分 高數第一章《函數、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向:;,對于型和型的題目直接用洛必達法則,對于、型的題目則是先轉化為型或型,再使用洛比達法則;,包括;。 高數第二章《導數與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》第二章《導數與微分》與前面的第一章《函數、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、第四章《定積分》都是基礎性知識,一方面有單獨出題的情況,如歷年真題的填空題第一題常常是求極限;更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運用,故非常有必要打牢基礎。在此只提醒一點:不定積分中的積分常數C容易被忽略,而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對第三章中解不定積分方法的應用,解題的關鍵除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異——出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章:對于型定積分,若f(x)是奇函數則有=0;若f(x)為偶函數則有=2;對于型積分,f(x)一般含三角函數,此時用的代換是常用方法。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。 高數第五章《中值定理的證明技巧》由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應對方法。為了證明F成立可以從條件、結論兩個方向入手,我們把從條件入手證明稱之為正方向,把從結論入手證明稱之為反方向。如對于證明F成立必備邏輯公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB) M等等公式同時存在,有的邏輯公式看起來最有可能用到,如(AB) M,因為其中涉及了題目所給的3個條件中的2個,但這恰恰走不通; ,在該用到的時候想不起來或者弄錯。從反方向入手證明時也會遇到同樣的問題。針對以上分析,解證明題時其一要靈活,在一條思路走不通時必須迅速轉換思路,而不應該再從頭開始反復地想自己的這條思路是不是哪里出了問題;另外更重要的一點是如何從題目中盡可能多地獲取信息。從出題人的角度來看,這是因為沒能夠有效地從條件中獲取信息。如在上面提到的模型中,如果做題時一開始就想到了公式(CDE) F再倒推想到 (AB) C、 AE就可以證明了。其中的規(guī)律性很明顯,甚至可以以表格的形式表示出來。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點應該放在熟記定理的結論部分上;如果能夠做到想到介值定理時就能同時想起結論“存在一個使得”、看到題目欲證結論中出現類似“存在一個使得”的形式時也能立刻想到介值定理;想到洛爾定理時就能想到式子;而見到式子也如同見到拉格朗日中值定理一樣,那么在處理本部分的題目時就會輕松的多,時常還會收到“豁然開朗”的效果。綜上所述,針對包括中值定理證明在內的證明題的大策略應該是“盡一切可能挖掘題目的信息,不僅僅要從條件上充分考慮,也要重視題目欲證結論的提示作用,正推和倒推相結合;同時保持清醒理智,降低出錯的可能”。不過僅僅弄明白這些離實戰(zhàn)要求還差得很遠,因為在實戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉換技巧、性質甚至定理我們當時想不到;很多結論、性質和定理自己感覺確實是弄懂了、也差不多記住了,但是在做題時那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運用;這也就是自身感覺與實戰(zhàn)要求之間的差別。我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質及熟練運用各種變形轉換技巧,從而達到大綱的相應要求,提高實戰(zhàn)條件下解題的勝算。 高數第六章《常微分方程》本章常微分方程部分的結構簡單,陳文燈復習指南對一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對應的表格。對于本章的題目,第一步應該是辨明類型,實踐證明這是必須放在第一位的;分清類型以后按照對應的求解方法按部就班求解即可。這樣的知識點特點就決定了我們可以采取相對機械的“辨明類型——〉套用對應方法求解”的套路 ,而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的,便于以這樣的方式使用。這一部分結構清晰,對于各種方程的通式必須牢記,還要能夠對易混淆的題目做出準確判斷。對于可分離變量型方程,就是變形為=,再積分求解;對于齊次方程則做變量替換,則化為,原方程就可化為關于的可分離變量方程,變形積分即可解;對于一階線性方程第一步先求的通解,然后將變形得到的積分,第二步將通解中的C變?yōu)镃(x)代入原方程解出C(x)后代入即可得解;對于貝努利方程,先做變量代換代入可得到關于z、x的一階線性方程,求解以后將z還原即可;全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊,因為其有條件,而且解題時直接套用通解公式.所以,對于一階方程的解法有規(guī)律可循,不用死記硬背步驟和最后結果公式。對于型方程,就是先把當作未知函數Z,則 原方程就化為 的一階方程形式,積分即得;再對、依次做上述處理即可求解; 叫不顯含 的二階方程,解法是通過變量替換 、 (p為x的函數)將原方程化為一階方程;叫不顯含x的二階方程,變量替換也是令(但此中的p為y的函數),則,也可化為一階形式。大綱對于高階方程部分的要求不高,只需記住相應的公式即可。 高數第七章《一元微積分的應用》本章包括導數應用與定積分應用兩部分,其中導數應用在大題中出現較少,而且一般不是題目的考察重點;而定積分的應用在歷年真題的大題中經常出現,常與常微分方程結合。對于導數應用,有以下一些小知識點:1. 利用導數判斷函數的單調性和研究極、最值。以上兩點都是實際做題中經常忘掉的地方,故有必要加深一下印象。這一部分常用定理有零值定理(結論部分為)、洛爾定理(結論部分為);常用到構造輔助函數法;在作題時,畫輔助圖會起到很好的作用,尤其是對于討論方程根個數的題目,結合函數圖象會比較容易判斷。其中,A是判斷函數凸凹性的充要條件,根據導數定義,是的變化率,是的變化率。所以,當時,對應或的函數圖像,是凸的;當時,對應或的函數圖像,是凹的。對于定積分的應用部分,首先需要對微元法熟練掌握。在此結合函數圖像與對應的微元法核心式來歸納微元法的三種常見類型:1. 薄桶型. 本例求的是由平面圖型a≤x≤b,0≤y≤f(x)繞y軸旋轉所形成的旋轉體體積。 對 積分可得 。2. 的旋轉體體積,方法是取如上圖陰影部分所示的一個薄餅型形體,可得微元法核心式 。核心式中的 是薄餅的高。3. ,半徑為 ,密度 , 其中 指球內任意一點到球心的距離。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再用底面積乘高得到的。本例中“用內表面的表面積乘以薄球厚度得到核心式”、“將內的薄球密度視為均勻”體現了微元法的特色。這種方法的靈活運用必須通過自己動手做題體會才能實現,因為其中一些邏輯表面上并不符合常規(guī)思維,但也許這正是研究生入學考試出題老師喜歡微元法的原因。其中判斂是大、小題都常考的,在大題中一般作為第一問出現,求和與展開則都是大題。陳文燈復習指南上對相關章節(jié)的指導并不盡如人意,因為套題型的方法在這些復雜章節(jié)中不能展現其長處,故整體來說結構比較散亂。其中比較判斂法有一般形式和極限形式,使用比較判斂法一般形式有以下典型例子: 1. 已知級數收斂,判斷級數的斂散性。其實這種“知一判一”式的題目是有局限性的——若已知級數收斂,則所要求判斂的級數只能也是收斂的,因為只有“小于收斂級數的級數必收斂”這一條規(guī)則可用,若待判斂級數大于已知收斂級數,則結果無法判定。 2. 上一種題型是“知一判一”,下面的例子則是給出級數某些性質要求判斷斂散性,方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數建立起聯系,再應用比較法一般形式判斷。關鍵步驟是:由得到,再利用比較判斂法的一般形式即得。冪級數求和函數與函數的冪級數展開問題是重點內容,也是每年都有的必考題。也就是說,掌握這樣的知識點門檻較高,但只要跨過緩慢的起步階段,后面的路就是一馬平川了;同時,具有這種特點的知識點也可以提供給出題人更大的出題靈活性,而通過“找到更多便于靈活出題的知識點來跳出題型套路”正是近幾年考研真題出題專家致力達到的目標,這一趨勢不僅體現在了近年來的考卷上,也必然是今后的出題方向。因為這種知識點對“復習時間投入量”的要求接近于一個定值,認認真真搞明白以后,只要接著做適量的題目鞏固就行了,有點“一次投入,終生受益”的意思,花時間來掌握很劃算。這種規(guī)律是建立在對6個關鍵的函數展開式“熟之又熟”的掌握上的。公式如下:1. (1,1)2. (1,1)3.4. 5. 6. 這六個公式可以分為兩個部分,前3個相互關聯,后3個相互關聯。不就是一個無窮等比數列嗎,在時的求和公式正是函數展開式的左端。這三個式子中的,相互之間存在著上述的清晰聯系。這一部分的基本式是公式4:與之相比,的展開式是,的展開式是。像這樣從“形似”上掌握不費腦子,但要冒記混淆的危險,但此處恰好都是比較順的搭配:、習慣上說“正余弦”,先正
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