【正文】 ：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛 必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 b. 此時(shí) )(xf? 為負(fù)，隨 x 變大而變?。ù笮￡P(guān)系可參考圖 3）； 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 同樣， 0)( ??? xf 也只有兩種對(duì)應(yīng)圖像： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無 窮??； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 c. 此時(shí) )(xf? 為正，隨著 x 變大而變大； 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》 求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 d. 此時(shí) )(xf? 為負(fù)，隨 x 變大而變大。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡 姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 3. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件： )(xf 在 區(qū)間 I上的 0)( ??? xf ，則 )(xf 在 I 上是凸的；若 )(xf 在 I 上的 0)( ??? xf ，則)(xf 在 I 上是凹的； )(xf 在點(diǎn) 0x 處有 0)( ??xf 且 0)( 0 ??? xf ，則當(dāng)0)( 0 ??? xf 時(shí) )( 0xf 為極大值，當(dāng) 0)( 0 ??? xf 時(shí) )( 0xf 為極小值。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研 數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 2. 討論方程根的情況。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)： A. 極值的定義是：對(duì)于 0x 的鄰域內(nèi)異于 0x的任一點(diǎn)都有 )(xf ＞ )( 0xf 或 )(xf ＜ )( 0xf ,注意是＞或＜ 而不是≥或≤； B. 極 值 點(diǎn) 包 括 圖 1 、圖 2 兩種可能，所以只有在 )(xf在 0x 處可導(dǎo)且在 0x 處取極值時(shí)才有 0)( ?? xf 。典型的構(gòu)題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長(zhǎng)引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分 dttfxa )(?單獨(dú)分離到方程的一端形成“ dttfxa )(?＝∽”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對(duì)應(yīng)解法求解。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對(duì)比記憶： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 若 )(1 xy 、 )(2 xy 是 齊 次 方 程0)()( ????? yxqyxpy 的兩個(gè)線性無關(guān)的特 解 ， 則 該 齊 次 方 程 的 通 解 為)()()( 2211 xycxycx ??? 若齊次方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系 有 (nr)個(gè)線性無關(guān) 的 解 向 量 ， 則 齊 次 方 程 組 的 通 解 為rnrn ykykykx ????????? 2211 非齊次方程)()()( xfyxqyxpy ????? 的通解為)()()( 12211 xyxycxycy ???? ，其中非齊次方程組 Ax=b的一個(gè)通解等于 Ax=b的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程 Ax=0 的通解之和 )(1 xy? 是 非 齊 次 方 程 的 一 個(gè) 特 解 ，)()( 2211 xycxyc ? 是 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程0)()( ????? yxqyxpy 的通解 若非齊次方程有兩個(gè)特解 )(1xy )(2 xy ，則對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為 )()()( 21 xyxyxy ?? 若 1r 、 2r 是方程組 Ax=b 的兩個(gè)特解，則(1r 2r )是其對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax=0 的解 由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： ； 2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 難辦的章節(jié)，因?yàn)檫@一章如果有難點(diǎn)的話也僅在于“如何準(zhǔn)確無誤地記憶各種方程類型及對(duì)應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高 數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換 uxy? ”，“求解貝努利方程就用變量替換 nyz ?? 1 ”一樣，在這里也要記住 “求解不顯含 y 的二階方程就用變量替換 py ?? 、 py ???? ”、“求解不顯含 x 的二階方程就用變量替換 py ?? 、ppy ???? ”。對(duì)于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。各種類型都有自己對(duì)應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循 —— 這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為 f(x)dx=f(y)dy 這樣的形式，再積分得到答案。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障 卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 先討論一下一階方程部分。這是因?yàn)槠鋵?shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。歷年真題中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向 ： 1. 利用等價(jià)無窮?。?，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 這就像在記英語(yǔ)單詞時(shí)，看到英語(yǔ)能想到漢語(yǔ)與看到漢語(yǔ)能想到英語(yǔ)的掌握程度是不同的一樣，對(duì)于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個(gè)詞的認(rèn)識(shí)其實(shí)是在做題的過程中才慢慢清晰的。希望這些想法對(duì)你能有一點(diǎn)啟發(fā)。所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”對(duì)作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型： 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解 題方向： 1. 利用等價(jià)無窮?。?2. 利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 條件 欲證結(jié)論 可用定理 A 關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，常常是只有連續(xù)性已知 存在一個(gè) ?滿足某個(gè)式子 介值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) ? 使得kf ?)(? ） 零值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) ? 使得0)( ??f ） B 條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo) 存在一個(gè) ?滿足0)()( ??nf 費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為： 0)(0 ??xf） 洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) ? 使得 0)( ???f ） C 條件包 括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo) 存在一個(gè) ?滿足kf n ?)()( ? 拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) ? 使得ab afbff ???? )()()(? ） 柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) ? 使得)()( )()()()(agbg afbfgf??????? ） 另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來證明 從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證 明題條件一般比較薄弱，如表格中 B、 C的條件是一樣的，同時(shí) A 也只多了一條“可導(dǎo)性”而已；所以在面對(duì)這一部分的題目時(shí)，如果把與證結(jié)論與可能用到的幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較，會(huì)比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮??； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣 平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)?！氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。 2020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 12020考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié) 1高數(shù)部分高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無窮小； ，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)喳選溯罩績(jī)吏佐服嘗慘氣平謂汝曳妨鬃擒操鳳截賓墜叮注纓嫡傀懇古悲臺(tái)鴛勇街障卸伏贓枷地橡姜干官掛眷脅御蚌寬松稱輥酒沖告菏抉挽姨存餃耽 當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí)，最常見的情況是拿到題莫 名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡(jiǎn)直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長(zhǎng)時(shí)間無法入手；好不容易找到一個(gè)大致方向，在做若干