【正文】 = .)0()( )(0 xfxf xflinx ?? ２ １? ?.21)0()0( )0( ?? ff f 19 第四講 微積分中存在性問(wèn)題的證明方法 教學(xué) 目的 通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握微積分中存在性問(wèn)題證明的一般方法，熟練掌握用介值定理或根的存在性定理證明存在性問(wèn)題；用中值定理證明存在性問(wèn)題；用泰勒公式證明存在性問(wèn)題 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) 1．用介值定理或根的存在性定理證明存在性問(wèn)題 2．用中值定理證明存在性問(wèn)題 3．用泰勒公式證明存在性問(wèn)題 教 學(xué) 提 綱 1．基本結(jié)論 (1)有界性；最值性；零點(diǎn)定理；介值性定理；羅爾定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理 2．證明思路 (1)設(shè) )(xf 在 [a,b]上連續(xù)，條件中不涉及到導(dǎo)數(shù)或可微，證明存在 ],[ ba?? ，使得cxf ?)( ， 一般用介值定 理或根的存在性定理 。 （ 2） 計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法 ? ?? ? ? ?? ?ttdtt dttdxdy ???? ?????? ， dxddxyd dxdy?22 例 7:函數(shù) )(xfy? 由參數(shù)方程????????tyudux tasinsin 確定，求 dxdy ， 22dxyd 【解】??? ?? td tdy td tdx c o ssin tdxdy cot? 17 tdtdxdyd 2csc)( ?? tdx yd 322 sin1?? 例 8:函數(shù) )(xfy? 由方程??? ??? ?? 1sin 222yyt ttx確定，求 22dxyd 【解】略 5．極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 設(shè)極坐標(biāo)方程為 )(???＝ ，化為直角坐標(biāo)??? ?? ??? ??? sin)( cos)(yx，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)求解。即 xAdy ?? ?！窘狻柯? 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在某區(qū)間內(nèi)有定義， 0x 及 xx ??0 在這區(qū)間內(nèi)，如果因變量的增量? ? ? ?00 xfxxfy ????? 可表示為 ? ?xxAy ????? 0 ，其中 A 是不依賴于 x? 的常數(shù)，而 ? ?x?0 是0??x 時(shí)比 x? 高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 是可微的。0?xy， 可解得：210?x，410 ??y 切線方程為：2141 ??? xy 即41??xy。 例 4： 求 2xy? 的切線方程，使此切線與直線 1??xy 的斜率相同。 000 xxxfyy ??? ；法線方程為：0001 ()39。 0xf ，則導(dǎo)數(shù)值為函數(shù) )(xfy? 上一點(diǎn)（ 0x ， )( 0xf ）處的切線的斜率。 【解】 (1)欲使 )(xf 在 1?x 處可導(dǎo)，必先在 1?x 處連續(xù)， 故有 )1()(lim)(lim11 fxfxf xx ?? ?? ??，即 1??ba （ 2）又 )(xf 在 1?x 處的左、右導(dǎo)數(shù)分別為 21)1(lim)1( 20 ?? ????? ???? xxf x ， axxax bxaf xx ????? ?????? ?? ????? 00 lim1)1(lim)1( ， 故 2?a ，從而 1??b ，所以，當(dāng) 2?a ， 1??b 時(shí) )(xf 處處可導(dǎo)。 【討論】 ||)( xxf ? ， ||)( xxxf ? ， |1|)1)(1()( 2 ???? xxxxxf 分別有幾個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。變動(dòng)上限的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)每年都考。 重 點(diǎn) 難 點(diǎn) 1． 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 2． 參數(shù)方程 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 3． 形如 )()( xgxfy ? 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法――取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 ４ . 變動(dòng)上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教 學(xué) 提 綱 一、基本概念 1．導(dǎo)數(shù)及其變形 2．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過(guò)左右導(dǎo)數(shù)來(lái)求 ３ .導(dǎo)數(shù)的幾何意義 二、求導(dǎo)方法 １ .求導(dǎo)公式及其應(yīng)用 ２ .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法 ３．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 4．參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 5．極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法 ６．形如 )()( xgxfy ? 的函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法――取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 ７．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ８．變動(dòng)上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 15 第三講 導(dǎo)數(shù)與微分法研究 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分是微積分的基礎(chǔ)，經(jīng)常出選擇題與填空題，可作為求極限、求駐點(diǎn)、求拐點(diǎn)、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分等問(wèn)題的基礎(chǔ)。 【解】 xx axxx axxffxxx a r c s inlima r c s in)1ln (lim)(lim)00( 30300 ?????????? ??? =113lim1113lim220220 ??????? ?? xaxxaxxx= .6213lim 220 axaxx ????? 4s in1lim)(lim)00( 200 xxaxxexff axxx???????? ?? = .422 2lim41lim4 20220 ?????????? ?? axaxaex axxe axxaxx 令 )00()00( ??? ff ，有 426 2 ??? aa ，得 1??a 或 2??a . 當(dāng) a=1 時(shí)， )0(6)(lim0 fxfx ???，即 f(x)在 x=0 處連續(xù) . 當(dāng) a=2 時(shí)， )0(12)(lim0 fxfx ???，因而 x=0 是 f(x)的可去間斷點(diǎn) . 例 5： 確定 ba, 的值，使得)1)(()( ?? ?? xax bexfx 有第二類間斷點(diǎn) 0?x 及可去間斷點(diǎn) 1?x 。 【分析】 由于初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以間斷點(diǎn)必定是無(wú)定義的或分段函數(shù)的分點(diǎn)。 雖在 0xx? 有定義 ,且 ? ?xfxx 0lim?存在 ,但 ? ? ? ?00lim xfxfxx ??。 【解】 ? ? 2lim0 －??? xfxx， ? ? axfxx ??? 0lim， 2??a ５、函數(shù)的間斷點(diǎn) 設(shè)函數(shù) ??xf 在點(diǎn) 0x 的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義 .在此前提下 ,如果函數(shù) ??xf 有下列三種情形之一 : 在 0xx? 沒(méi)有定義 。 如果 ? ? ? ?00lim xfxfxx ???,就說(shuō)函數(shù) ??xf 在點(diǎn) 0x 右連續(xù)。如果函數(shù))(xf 在開(kāi)區(qū)間 ),( ba 內(nèi)連續(xù) ,在點(diǎn) a 右連續(xù) ,在點(diǎn) b 左連續(xù) ,則稱函數(shù) )(xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)。 那么就稱 ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)。 （２）若 )(xf 為無(wú)窮小量，且 0)( ?xf ，則)(1xf為無(wú)窮大量。 【證】略 ２ .無(wú)窮大 ??＋?lim ， ??－?lim ， ??｜｜ ?lim ，就說(shuō)在這個(gè)極限過(guò)過(guò)程中 ? 是無(wú)窮大量。 例 3：設(shè)函數(shù) )(xf 在 x ＝０的某鄰域具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 0)0(),0(),0( ???? fff ．證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù) cba , ，使得當(dāng) 0?h 時(shí)， )()0()3()2()( 2hofhcfhbfhaf ???? ． 【分析】 條件告訴我們 0)0()3()2()(lim20 ????? h fhcfhbfhafx 因而 0)0()0()0()0(lim)0()3()2()(lim 0)(0 ???????? ?? fcfbfaffhcfhbfhaf xxfx 連續(xù) 01,0)0( ????? cbaf 02 )3(3)2(2)(lim)0()3()2()(lim 020 ?????????? ?? h hfchfbhfah fhcfhbfhaf xx 羅 同上 0)0(3)0(2)0( ?????? fcfbfa ， 032,0)0( ????? cbbaf 。排列順序是（ ） a) ??? , ． b) ??? , ． c) ??? , ． d) ??? , ． 11 【說(shuō)明】 （ 1）無(wú)窮小量的階主要看它和哪個(gè) kx 同階，然后再 kx 階排定順序； （ 2）無(wú)窮小量求導(dǎo)數(shù)后階數(shù)降低一階。 如果 ????lim ,就說(shuō) ? 是比 ? 低階的無(wú)窮小 . 如果 0lim ?? c?? ,就說(shuō) ? 與 ? 是同階無(wú)窮小 。在這個(gè)極限過(guò)程中? 是無(wú)窮小量，在另一個(gè)極限過(guò)程中 ? 不一定是無(wú)窮小量。 １ . 無(wú)窮小 如果 0lim ?? ,就說(shuō)在這個(gè)極限過(guò)過(guò)程中 ? 是無(wú)窮小量。 那么就稱 ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 連續(xù)。 ２ .無(wú)窮大 ??＋?lim ， ??－?lim ， ??｜｜ ?lim ，就說(shuō)在這個(gè)極限過(guò)過(guò)程中 ? 是無(wú)窮大量。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系 ，函數(shù)的連續(xù)性的判定及函數(shù)的間斷點(diǎn)的求法。 【解】 6 ???????? ???????? nnnnn 222 12111lim ? 因?yàn)? 112111 22222 ?????????? n nnnnnnn n ? 又 nnnn ??? 2lim11lim 2 ??? ?? n nn 所以 ???????? ???????? nnnnn 222 12111lim ?＝１ 例 17 ： 求 ????????????????????nnnnnnnnn 1221212lim21? 【說(shuō)明】該題需要把兩邊夾法則與定積分的定義相結(jié)合方可解決問(wèn)題。 例 15 ：極限???????? ???????? 222222 12111lim nnnnn ? 【 說(shuō)明 】 用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算 , 是把)(xf 看成［ 0,1］定積分。 【解】考慮輔助極限 200c os ( 1 c os ( sin ) ) sin ( sin ) c osl im l im36xxx x x xxx?????0 sin 1lim 66x xx??? 6．用羅必塔法 則求極限 例 10 ：求極限220)s in1ln (2c o slnlim x xxx??? 【 說(shuō)明 】 ?? 或 00 型的極限 ,可通過(guò)羅必塔法則來(lái)求。 5．用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 【 說(shuō)明 】 (1)常見(jiàn)等價(jià)無(wú)窮小有： 當(dāng) 0?x 時(shí) ,~)1ln (~a r c t a n~a r c s in~t a n~s in~ xxxxxx ?1ex? , ? ? ab xaxxx b ~11,21~c os1 2 ???； (2) 等價(jià)無(wú)窮小量代換 ,只能代換極限式中的 因式． ． ； xxxx 30 tansinlim ?? ＝0lim0 ＝３x xxx ?? 是不正確的 (3)此方法在各種求極限的方法中 應(yīng)作為首選． ． ． ． ． 。 例 5：求極限 xx xx ?????? ????? 11lim 【 說(shuō)明 】 第二個(gè)重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊X1? ，最后湊指數(shù)部分。 例 9 ： 求極限13 )13)(13(lim)13(lim 22222222??? ?????????? ?????? xx xxxxxx xx 013 2lim 22 ????? ??? xxx 例 4 ：求極限30 s in1ta n1lim x xxx ???? 【 解 】xxx xxx xx xx s in1t a n1 s int a nlims in1t a n1lim 3030 ??? ????? ?? 41s int a nlim21s int a nlims in1t a n1 1lim 30300 ???????? ??? x xxx xxxx xxx 【 注 】本題除了使用 分子有理化方法外， 及時(shí)分離極限式中的非． ． ． ． ． ． ． ． ． ．零因子． ． ． 是解題的關(guān)鍵 4．應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限 兩個(gè)重要極限是1sinlim0 ?? x xx 和exnx xxnnxx ?????? ????? 10 )1(lim)11(lim)11(lim，第一個(gè)重要極限過(guò)于簡(jiǎn)單且可通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小來(lái)實(shí)現(xiàn)。 【解】6)1)(1(lim1 )1)(1)(1(lim 2121 ????? ??? ?? xxx xxx xx 2．分子分母同除求極限 例 2：求極限 13lim323