【正文】 ()gx的 (A)等價無窮小 (B)同價但非等價的 無窮小 (C)高階無窮小 (D)低價無窮小 (2)雙紐線 2 2 2 2 2()x y x y? ? ?所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為 (A) 402 cos2 d? ??? (B) 404 cos2 d? ??? (C) 402 cos 2 d? ??? (D) 2401 (cos 2 )2 d? ??? (3)設有直線1 1 5 8: 1 2 1x y zl ? ? ????與 2:l 623xyyz????則 1l 與 2l 的夾角為 (A)6? (B)4? (C)3? (D)2? (4)設曲線積分 [ ( ) e ] sin ( ) c o sxL f t y d x f x y d y???與路徑無關 ,其中 ()fx具有一階連續(xù)導數(shù) ,且 (0) 0,f ? 則 ()fx等于 (A) ee2xx?? (B) ee2xx?? (C) ee12xx?? ? (D) ee1 2xx??? (5)已知 1 2 32 4 ,3 6 9t?????????QP為三階非零矩陣 ,且滿足 0,?PQ 則 (A) 6t? 時 P 的秩必為 1 (B) 6t? 時 P 的秩必為 2 (C) 6t? 時 P 的秩必為 1 (D) 6t? 時 P 的秩必為 2 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)求 21lim (si n cos ) .xx xx?? ? (2)求 e .e1xxx dx?? (3)求微分方程 22,x y xy y???滿足初始條件 1 1xy ? ? 的特解 . 四、 (本題滿分 6分 ) 計算22,x zd y d z y zd zd x z d x d y? ????其中 ? 是由曲面 22z x y??與222z x y? ? ? 所圍立體的表面外側 . 五、 (本題滿分 7分 ) 求級數(shù) 20( 1) ( 1)2n nnnn??? ? ?? 的和 . 六、 (本題共 2小題 ,每小題 5分 ,滿分 10分 ) (1)設在 [0, )?? 上函數(shù) ()fx 有連續(xù)導數(shù) ,且 ( ) 0 , ( 0) 0 ,f x k f? ? ? ?證明()fx在 (0, )?? 內有且僅有一個零點 . (2)設 ,bae?? 證明 .baab? 七、（本題滿分 8分） 已知二次型 2221 2 3 1 2 3 2 3( , , ) 2 3 3 2 ( 0 )f x x x x x x a x x a? ? ? ? ?通過正交變換化成標準形 2 2 21 2 32 5 ,f y y y? ? ?求參數(shù) a 及所用的正交變換矩陣 . 八、（本題滿分 6分） 設 A 是 nm? 矩陣 ,B 是 mn? 矩陣 ,其中 ,nm? I 是 n 階單位矩陣 ,若,?AB I 證明 B 的列向量組線性無關 . 九、（本題滿分 6分） 設物體 A 從點 (0,1) 出發(fā) ,以速度大小為常數(shù) v 沿 y 軸正向運動 .物體 B 從點 ( 1,0)? 與 A 同時出發(fā) ,其速度大小為 2,v 方向始終指向 ,A 試建立物體 B 的運動軌跡所滿足的微分方程 ,并寫出初始條件 . 十、填空題 (本題共 2小題 ,每小題 3分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)一批產品共有 10個正品和 2個次品 ,任意抽取兩次 ,每次抽一個 ,抽出后不再放回 ,則第二次抽出的是次品的概率為 ____________. (2)設隨機變量 X 服從 (0,2) 上的均勻分布 ,則隨機變量 2YX? 在 (0,4) 內的概率分布密度 ()Yfy=____________. 十一、（本題滿分 6分） 設隨機變量 X 的概率分布密度為 1( ) e , .2 xf x x?? ?? ? ? ?? (1)求 X 的數(shù)學期望 EX 和方差 .DX (2)求 X 與 X 的協(xié)方差 ,并問 X 與 X 是否不相關 ? (3)問 X 與 X 是否相互獨立 ?為什么 ? 1994 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學 (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)0 11lim cot ( )si nx xx?? ?= _____________. (2)曲面 e 2 3xz xy? ? ? 在點 (1,2,0) 處的切平面方程為 _____________. (3)設 e sin ,x xuy??則 2uxy???在點 1(2, )? 處的值為 _____________. (4)設區(qū)域 D 為 2 2 2,x y R?? 則 2222()D xydxdyab???=_____________. (5) 已知 11[1, 2 , 3 ], [1, , ],23??α β 設 ,??A αβ 其中 ?α 是 α 的轉置 , 則nA =_____________. 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內 ) (1) 設4 3 4 2 3 42 2 222 2 2s in c o s , ( s in c o s ) , ( s in c o s ) ,1 xM x d x N x x d x P x x x d xx? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ??? ? ?則有 (A) N P M?? (B) M P N?? (C) N M P?? (D) P M N?? (2)二元函數(shù) ( , )f xy 在點 00( , )xy 處兩個偏導數(shù) 00( , )xf x y? 、 00( , )yf x y? 存在是 ( , )f xy 在該點連續(xù)的 (A)充分條件而非必要條件 (B)必要條件而非充分條件 (C)充分必要條 件 (D)既非充分條件又非必要條件 (3)設常數(shù) 0,?? 且級數(shù) 21 nn a???收斂 ,則級數(shù)21 ( 1) nnnan ??? ? ?? (A)發(fā)散 (B)條件收斂 (C)絕對收斂 (D)收斂性與 ? 有關 (4)20ta n (1 c o s )l im 2 ,l n (1 2 ) (1 )xxa x b xc x d e???? ?? ? ?其中 220,ac??則必有 (A) 4bd? (B) 4bd?? (C) 4ac? (D) 4ac?? (5)已知向量組 1 2 3 4, , ,α α α α 線性無關 ,則向量組 (A) 1 2 2 3 3 4 4 1,? ? ? ?α α α α α α α α線性無關 (B) 1 2 2 3 3 4 4 1,? ? ? ?α α α α α α α α線性無關 (C) 1 2 2 3 3 4 4 1,? ? ? ?α α α α α α α α線性無關 (D) 1 2 2 3 3 4 4 1, , ,? ? ? ?α α α α α α α α線性無關 三、 (本題共 3小題 ,每小題 5分 ,滿分 15分 ) (1)設 2221c os ( )1c os ( ) c os2txty t t ud uu??? ?,求 dydx 、 22dydx在2t ??的值 . (2)將函數(shù) 1 1 1( ) l n a r c ta n4 1 2xf x x xx?? ? ?? 展開成 x 的冪級數(shù) . (3)求 .sin (2 ) 2 sindxxx?? 四 、 (本題滿分 6分 ) 計算曲面積分 22 2 2 ,S xdydz z dxdyx y z?????其中 S 是由曲面 2 2 2x y R?? 及, ( 0)z R z R R? ? ? ?兩平面所圍成立體表面的外側 . 五、 (本題滿分 9分 ) 設 ()fx 具 有 二 階 連 續(xù) 函 數(shù) , (0) 0, (0) 1,ff???且2[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] 0x y x y f x y dx f x x y dy?? ? ? ? ?為一全微分方程 ,求 ()fx及此全微分方程的通解 . 六、 (本題滿分 8分 ) 設 ()fx在點 0x? 的某一鄰域內具有二階連續(xù)導數(shù) ,且0 ()lim 0,x fxx? ?證明級數(shù)11()n f n???絕對收斂 . 七、（本題滿分 6分） 已知點 A 與 B 的直角坐標分別為 (1,0,0) 與 (0,1,1). 線段 AB 繞 x 軸旋轉一周所成的旋轉曲面為 .S 求由 S 及兩平面 0, 1zz??所圍成的立體體積 . 八、（本題滿分 8分） 設四元線性齊次方程組 (Ⅰ )為 122400xxxx????, 又已知某線性齊次方程組 (Ⅱ )的通解為 12( 0 ,1,1, 0) ( 1, 2 , 2 ,1 ) .kk?? (1)求線性 方程組 (Ⅰ )的基礎解析 . (2)問線性方程組 (Ⅰ )和 (Ⅱ )是否有非零公共解 ?若有 ,則求出所有的非零公共解 .若沒有 ,則說明理由 . 九、（本題滿分 6分） 設 A 為 n 階非零方陣 *,A 是 A 的伴隨矩陣 , ?A 是 A 的轉置矩陣 ,當* ??AA時 ,證明 0.?A 十、填空題 (本題共 2小題 ,每小題 3分 ,滿分 6分 .把答案填在題中橫線上 ) (1)已知 A 、 B 兩個事件滿足條件 ( ) ( ),P AB P AB? 且 ( ) ,P A p? 則()PB =____________. (2)設相互獨立的兩個隨機變量 ,XY具有同一分布率 ,且 X 的分布率為 X 0 1 P 12 12 則隨機變量 max{ , }Z X Y? 的分布率為 ____________. 十一 、（本題滿分 6分） 設隨機變量 X 和 Y 分別服從正態(tài)分布 2(1,3)N 和 2(0,4 ),N 且 X 與 Y 的相關系數(shù) 1,2xy? ??設 ,32XYZ ?? (1)求 Z 的數(shù)學期望 EZ 和 DZ 方差 . (2)求 X 與 Z 的相關系數(shù) .xz? (3)問 X 與 Y 是否相互獨立 ?為什么 ? 1995 年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試 數(shù)學 (一 )試卷 一、填空題 (本題共 5小題 ,每小題 3分 ,滿分 15分 .把答案填在題中橫線上 ) (1) 2sin0lim(1 3 ) xx x? ?=_____________. (2)20 2cosxd x t dtdx ?= _____________. (3)設 ( ) 2,??a b c 則 [( ) ( )] ( )? ? ? ?a b b c c a=_____________. (4)冪級數(shù) 211 2 ( 3)nnnnn x? ?? ???的收斂半徑 R =_____________. (5)設三階方陣 ,AB滿足關系式 1 6,? ??A B A A B A且1 00310 0 ,41007?????????????A則 B =_____________. 二、選擇題 (本題共 5 小題 ,每小題 3 分 ,滿分 15 分 .每小題給出的四個選項中 ,只有一個符合題目要求 ,把所選項前的字母填在題后的括號內 ) (1)設有直線 :L 3 2 1 02 1 0 3 0x y zx y z? ? ? ?? ? ? ?,及平面 : 4 2 2 0 ,x y z? ? ? ? ?則直線 L (A)平行于 ? (B)在 ? 上 (C)垂直于 ? (D)與 ? 斜交 (2)設在 [0,1] 上 ( ) 0,fx?? ? 則 ( 0) , (1), (1) ( 0)f f f f?? ?或 (0) (1)ff? 的大小順序是 (A) (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f??? ? ? (B) (1 ) (1 ) ( 0) ( 0)f f f f? ? ? (C) (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f??? ? ? (D) (1 ) ( 0) (1 ) ( 0)f f f f??? ? ? (3)設 ()fx 可導 , ( ) ( ) (1 sin ) ,F x f x x??則 (0) 0f ? 是 ()Fx在 0x? 處可導的 (A)充分必要條件 (B)充分條件但非必要條件 (C)必要條件但非充分條件 (D)既非充分條件又非必要條件 (4)設 1( 1) ln (1 ),nnu n? ? ?則級數(shù) (A)1 nn u???與 21