【正文】 g2=dyaddown(sig2)。)。title(39。 subplot(2,2,4)。分解信號 1頻譜 39。plot(abs(fft(sig1)))。)。title(39。 subplot(2,2,2)。分解信號 1：低通 39。plot(real(sig1))。 % 高通 (高頻分量 ) figure(3)。 例 5：小波濾波器 sig1=ifft(fft(y).*fft(h))。高通頻響 G(w)39。plot(abs(fft(g)))。)。title(39。 subplot(2,2,3)。低通 g(n)39。plot(h)。)。title(39。 subplot(2,2,1)。 % 補零 g=[g,zeros(1,Nlength(g))]。)。,39。 % 低通 g=wfilters(39。l39。db3039。)。title(39。 subplot(2,1,2)。兩個疊加的正弦信號 39。plot(y)。 y=sin(2*pi*f1*n*Ts)+sin(2*pi*f2*n*Ts)。 % 采樣間隔 N=120。 % 頻率 2 fs=2*(f1+f2)。 f1=50。)。 title(39。 plot(s1)。 figure(1)。db139。)。 title(39。 subplot(224)。第二層高頻系數(shù) 39。plot(cd2)。)。 title(39。 subplot(222)。第三層低頻系數(shù) 39。plot(ca3)。 % 提取第 1層高頻 （ 近似 ） 系數(shù) figure(2)。 % 提取第 3層高頻 （ 近似 ） 系數(shù) cd2=detcoef(c,l,2)。 % 多層小波分解 ca3=appcoef(c,l,‘db1’,3)。db139。)。 title(39。 subplot(211)。 t=0:pi/100:4*pi。wname39。type39。type39。 else y(i)=0。 % 讀取輸入序列長度 M=2*N1。 % y 等于平均部分系數(shù)序列 cA 函數(shù) —— 升采樣 function y=upspl(x) % 對輸入序列 x進(jìn)行升抽樣 ， 即對序列 x每個元素之間插零 ， 例如 x=[x1,x2,x3,x4],上抽樣后為 y=[x1,0,x2,0,x3,0,x4]。 lcd=length(cD)。 % 用本層重構(gòu)的序列更新 cA cD=cD(1:lcdlca)。 % 對細(xì)節(jié)部分系數(shù)進(jìn)行升抽樣 cvh=conv(uph,hpr)。 % 低通卷積 cD_up=cD(lcdlca+1:lcd)。 while (lcd)=(lca) % 若 lcd小于 lca， 則重構(gòu)停止 upl=upspl(cA)。 函數(shù) —— 逆離散小波變換 function y = myidwt(cA,cD,lpr,hpr) % 逆離散小波變換 % lpr、 hpr：重構(gòu)所用的低通 、 高通濾波器 lca=length(cA)。 小波重構(gòu) ③ 重構(gòu)濾波器 在信號的分解期間 ， 降采樣引進(jìn)了畸變 ， 這就需要在分解和重構(gòu)階段精心選擇關(guān)系緊密但不一定一致的濾波器以盡量 消除這種畸變 。 ① 包含 升采樣 和濾波兩個過程 ， 見下圖 。 % 顯示 例 3：小波包樹 查看顏色表示的小波包系數(shù) wpviewcf(t,1)。 % 獲取新的樹 newt=wpjoin(newt,3)。read39。 ? 在菜單 ? Node Action”下選擇 ? Split/Merge”， 然后點擊某節(jié)點可合并節(jié)點 ， 再在菜單 ? Node Action”下選擇 ? Visualize”， 再點擊節(jié)點 ， 以顯示其信號波形 。 % 3層小波包分解 fig=plot(t)。db239。 % 讀信號 x=noisbump。 小波分解樹 小波分解樹 二 、 小波 包 分解樹 不僅對信號的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解 ， 而且對高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解 ， 這樣 不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量 ， 而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量 。 信號的分解過程可以迭代 ， 即可進(jìn)行多級分解 。 ? [C,L]=wavedec(X,N,’wname’) 利用小波 ’ wname’對信號 X進(jìn)行多層分解 [cA,cD]=dwt(X,’wname’)和 [C,L]=wavedec(X,1,’wname’)功能是等效的 ，但是返回的結(jié)果不一樣 。type39。type39。 y(i)=x(2*i)。 % 讀取輸入序列長度 M=floor(N/2)。 例如 % x=[x1,x2,x3,x4,x5]， 則 y=[x2,x4]。 % 降抽樣后的平均部分系數(shù)進(jìn)入下一層分解 cD=[cD,dnh]。 % 高通濾波 dnh=downspl(cvh)。 % 低通濾波 dnl=downspl(cvl)。 % 初始化 cD=[]。,2) % 提取第 2級近似系數(shù) cd2=detcoef(c,l,2) % 提取第 2級細(xì)節(jié)系數(shù) cd1=detcoef(c,l,1) % 提取第 1級細(xì)節(jié)系數(shù) 結(jié)果如下： ca3 = cd2 = cd1 = 結(jié)果基本相同。 % 多層小波分解 ca3=appcoef(c,l, 39。haar39。 例如： 01[ 1 1 ][ 1 1 ]HqHq????低 頻 ：高 頻 ：Haar小波 ， 例子： 16點信號 : [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9] ① 小波正變換：小波系數(shù) I. 小波近似系數(shù) （ 加 ） II. 小波細(xì)節(jié)系數(shù) （ 減 ） ② 小波反變換：可以由分解信號恢復(fù)原始信號 I. 近似分解 II. 細(xì)節(jié)分解 四、一維信號小波變換的例子 補充 1： 一維 Mallat算法 原始信號： 補充 1： 一維 Mallat算法 小波變換 2 級近似系數(shù) 1 級近似系數(shù) 1 級細(xì)節(jié)系數(shù) 2 級細(xì)節(jié)系數(shù) 兩兩相加 兩兩相減 補充 1： 一維 Mallat算法 序號 信號 s 1級小波 w1=[wa1 ,wd1 ] 2級小波 w2=[wa2 , wd2 , wd1 ] 1 6 2 5 3 9 4 8 5 3 6 7 7 8 8 5 9 6 10 5 11 9 12 8 13 1 14 3 15 3 16 9 wd1 wa1 wa2 wd2 wd1 補充 1： 一維 Mallat算法 代碼實現(xiàn)： x=[6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]。結(jié)果為 M/L個元素 。 于是 ， 根據(jù) Nyquist采樣定理提出 降采樣 方法 ， 即在每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)中取一個 ，得到的 離散小波變換的系數(shù) 分別用 cD和 cA表示 。 離散小波變換 特別注意： 在使用濾波器對真實的數(shù)字信號進(jìn)行變換時 ， 得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍 。 ? ? 離散化 ? 要解決的核心問題 ① 尺度和平移參數(shù)要怎樣離散化？ ② 尺度和平移參數(shù)離散化后，要想重構(gòu)信號對小波函數(shù)應(yīng)有什么樣的要求？ 離散小波變換 ? 參數(shù)的離散化 ① 尺度參數(shù) a的離散化 a = a0j , j ? Z 通常取 a0的值為 2， 稱為 二進(jìn)小波 ② 平移參數(shù) b的離散化 取決于尺度參數(shù) b = k a0j , j, k ? Z 離散小波變換 ? 離散小波變換 （ Discrete Wavelet Transform， DWT） 縮放因子和平移參數(shù)都選擇 （ j 0， 整數(shù) ） 的倍數(shù) ， 這種變換稱為雙尺度小波變換 。 例 2 ? 橫坐標(biāo)：變換的系數(shù) 縱坐標(biāo)：尺度 灰度顏色越深， 表示系數(shù)的值越大。時間 39。)。 Ylabel(39。對不同的尺度小波變換系數(shù)值 39。)。,39。 coefs=cwt(f,[1::3],39。 t=0:0,01:1。 其中： XLIM=[x1,x2]， 并且有如下關(guān)系： 1=x1=x2=length(S) 例 2 【 例 】 已知一信號 f(t)＝ 3sin(100?t)＋ 2sin(68?t)＋ 5cos(72?t)， 且該信號混有白噪聲 ， 請對該信號進(jìn)行連續(xù)小波變換 。) ? COEFS=cwt(S, SCALES, ‘wname’, ‘PLOTMODE’, XLIM) 能夠計算并畫出連續(xù)小波變換的系數(shù) 。, 39。) 相當(dāng)于： COEFS=cwt(S, SCALES, 39。, 39。 PLOTMODE值的含義： ① lvl: scalebyscale著色模式 ② glb: 考慮所有尺度的著色模式 ③ abslvl或 lvlabs:使用系數(shù)絕對值的 scalebyscale著色模式 ④ absglb或 glbabs:使用系數(shù)絕對值并考慮所有尺度的著色模式 MATLAB函數(shù) 【 例如 】 COEFS=cwt(S, SCALES, 39。 連續(xù)小波變換 112112112( , ) ( ) d( ) d( ) d dkfkkkkkkkktbW a b f t a tatbf k a tat b t ba f k t taa??????????????? ? ? ?????????????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ?? ?? ??以上 5步表示了下式的求解過程： 連續(xù)小波變換 示意圖： 三、分析 （ 1）尺度與頻率的關(guān)系 ① 小尺度 ： 壓縮 的小波 ?快速變化 的細(xì)節(jié) ? 高頻 部分 ② 大尺度 ： 拉伸 的小波 ?緩慢變化 的粗部 ? 低頻 部分 連續(xù)小波變換 連續(xù)小波變換 （ 2） 計算復(fù)雜性 小波變換比快速傅里葉變換還要快一個數(shù)量級 。 ⑤ 重復(fù) ① ～ ④ 步驟 ， 計算完所有尺度的連續(xù)小波變換系數(shù) 。 連續(xù)小波變換 b是位移因子。 因此 ， 為了檢測某些特定波形的信號 ， 應(yīng)該 選擇波形相近的小波 進(jìn)行分析 。 C越大 ， 就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近 。 如圖所示 。()( ?? attf ? 連續(xù)小波變換 分析高頻成分 分析低頻成分 （ 1） 伸縮 在時間軸上對信號進(jìn)行壓縮和伸展 ， 如圖所示 。 ()t?**0,1ab a? ? ???所研究頻帶的的中心為： 通帶的寬度為： 2 ?Ba ??? 通常，將通帶寬度與中心頻率的比值稱為 帶通濾波器的品質(zhì)因數(shù) （ Q），即 0 *2Q ????,0**2 / 2/abaa??????? ? ?即帶寬與中心頻率的比與中心頻率的位置無關(guān) Q恒定 21)。 連續(xù)小波變換 ② 頻域上的意義： 若 f(t)的傅里葉變換為 F(?)， 根據(jù) Parseval定理 。 則 b相當(dāng)于使鏡頭相對于目標(biāo)的平行移動 ， 而 a相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離 。 小波變換： 逆小波變換： 連續(xù)小波變換 ? ? , 1, , ( ) ( )f a b tbW a b f t f t d taa?? ??? ????? ?????2011( ) ( , )ftbf t W a b da dbC a a? ???????????????2? ()Cd? ?? ?????? ? ??其中： 一、什么是連續(xù)小波變換 是 卷積 嗎？