【正文】 種全局的變換 ，要么完全在時(shí)間域 ，要么完全在頻率域 ，因此無法表述信號(hào)的時(shí)頻局部性質(zhì) ， 而 時(shí) 頻局部性質(zhì) 恰好是非平穩(wěn)信號(hào)最基本和最關(guān)鍵的性質(zhì) 。 引言 ① 在音樂信號(hào)中人們關(guān)心的是什么時(shí)刻演奏什么樣的音符； ② 對(duì)地震波的記錄人們關(guān)心的是什么位置出現(xiàn)什么樣的反射波； ③ 圖像識(shí)別中的邊緣檢測(cè)關(guān)心的是信號(hào)突變部分的位置 ， 即紋理結(jié)構(gòu) 。 引言 實(shí)質(zhì)： 任何信號(hào)在一定程度上均可表示為一些列正弦波之和 。 雖然傅里葉分析自誕生以來 ， 在科學(xué)與工程領(lǐng)域發(fā)揮了巨大的作用 ，但也有明顯的不足 。 這些，傅里葉變換都不能完成，需要引入 時(shí) 頻 局部化分析。 一葉障目 不見泰山 引言 需要注意的是： 線性系統(tǒng)理論中的傅里葉變換是以在 兩個(gè)方向上都無限伸展的正弦曲線波作為基函數(shù) 的 。 為了克服上述缺陷 ， 使用 有限寬度基函數(shù)的變換方法 逐步發(fā)展起來了 。 2? ()dC ? ?? ?????? ? ??均值為 0 假設(shè) 的傅里葉變換為 ，若滿足下式： 例如： ()t? ?()??則稱 為 基小波 或 母小波 。 而且由于對(duì)高頻成分采用 逐漸精細(xì) 的時(shí)域或頻域取樣步長(zhǎng) ， 從而可以聚焦到對(duì)象的任何細(xì)節(jié) ， 所以被稱為 “ 數(shù)學(xué)顯微鏡 ” 。haar39。)。Daubechies系中的小波基記為dbN， N為序號(hào) ， 且 N＝ 1，2， … ， 10。 什么是小波 4. Morlet小波 2 0/2() ittt e e ?? ?? 20( ) / 2? ( ) 2 e ??? ? ? ???Morlet小波不存在尺度函數(shù) 。 6. Marr小波 ?()??這是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，在信號(hào)與圖象的邊緣提取中具有重要的應(yīng)用。具體定義如下： ? ? ? ?1223 2 4sin 1 2 2 3 33 4 8? 1 2 4 3 3280 ,332 c o sivve?? ? ????? ? ?? ? ? ???????? ? ?? ? ? ??? ??????????????? ????? ?????????? ??? ?????? ? ? ? ? ?4 2 33 5 8 4 7 0 2 0 0 , 1v t t t t t t? ? ? ? ?? ?? ?? ?121222 33 2 42 c os 1 2 2 3 340 3? v???? ? ?? ? ? ????????? ? ? ????? ????? ???????????????t??()?? 什么是小波 8. Shannon小波 ? ? ? ? ? ?? ?s in 1 / 2 s in 2 1 / 21 / 2ttt t??? ?? ? ?? ?? ? /2 1 , 2?0 , ie ? ? ? ??? ? ? ??? ?? 其 它在時(shí)域， Shannon小波是 無限次可微的 ，具有無窮階消失矩，不是緊支的，具有漸近衰減性但較緩慢；在頻域， Shannon小波是頻率帶限函數(shù)，具有好的局部化特性。 小波技術(shù)發(fā)展史 – 1945: Gabor ?開發(fā)了 STFT (short time 傅里葉變換 ) ( , ) ( ) ( ) s ig n a l ( ( ) = w in d o w in g f u n c tio)njtS TF T s t e d tstgtgt ???? ???? ?這里： 小波技術(shù)發(fā)展史 – 1980： Morlet ? 20世紀(jì) 70年代 ， 在法國(guó)石油公司工作的年輕地球物理學(xué)家 Jean Morlet提出小波變換 (wavelet transform，WT)的概念； ? 20世紀(jì) 80年代 , 開發(fā)了連續(xù)小波變換 (continuous wavelet transform， CWT) – 1986： ?法國(guó)科學(xué)家 定衰減性的光滑函數(shù) ， 用于分析函數(shù)； ?用縮放 (dilations)與平移 (translations)均為 2 j(j≥0的整數(shù) )的倍數(shù)構(gòu)造了 L2(R)空間的規(guī)范正交基 ， 使小波分析得到發(fā)展 。 小波變換： 逆小波變換： 連續(xù)小波變換 ? ? , 1, , ( ) ( )f a b tbW a b f t f t d taa?? ??? ????? ?????2011( ) ( , )ftbf t W a b da dbC a a? ???????????????2? ()Cd? ?? ?????? ? ??其中： 一、什么是連續(xù)小波變換 是 卷積 嗎？ 含義： 類似于用鏡頭觀察信號(hào) 。 連續(xù)小波變換 ② 頻域上的意義： 若 f(t)的傅里葉變換為 F(?)， 根據(jù) Parseval定理 。()( ?? attf ? 連續(xù)小波變換 分析高頻成分 分析低頻成分 （ 1） 伸縮 在時(shí)間軸上對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮和伸展 ， 如圖所示 。 C越大 ， 就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近 。 連續(xù)小波變換 b是位移因子。 連續(xù)小波變換 112112112( , ) ( ) d( ) d( ) d dkfkkkkkkkktbW a b f t a tatbf k a tat b t ba f k t taa??????????????? ? ? ?????????????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ?? ?? ??以上 5步表示了下式的求解過程： 連續(xù)小波變換 示意圖： 三、分析 （ 1）尺度與頻率的關(guān)系 ① 小尺度 ： 壓縮 的小波 ?快速變化 的細(xì)節(jié) ? 高頻 部分 ② 大尺度 ： 拉伸 的小波 ?緩慢變化 的粗部 ? 低頻 部分 連續(xù)小波變換 連續(xù)小波變換 （ 2） 計(jì)算復(fù)雜性 小波變換比快速傅里葉變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí) 。, 39。, 39。 其中： XLIM=[x1,x2]， 并且有如下關(guān)系： 1=x1=x2=length(S) 例 2 【 例 】 已知一信號(hào) f(t)＝ 3sin(100?t)＋ 2sin(68?t)＋ 5cos(72?t)， 且該信號(hào)混有白噪聲 ， 請(qǐng)對(duì)該信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換 。 coefs=cwt(f,[1::3],39。)。 Ylabel(39。時(shí)間 39。 ? ? 離散化 ? 要解決的核心問題 ① 尺度和平移參數(shù)要怎樣離散化？ ② 尺度和平移參數(shù)離散化后，要想重構(gòu)信號(hào)對(duì)小波函數(shù)應(yīng)有什么樣的要求？ 離散小波變換 ? 參數(shù)的離散化 ① 尺度參數(shù) a的離散化 a = a0j , j ? Z 通常取 a0的值為 2， 稱為 二進(jìn)小波 ② 平移參數(shù) b的離散化 取決于尺度參數(shù) b = k a0j , j, k ? Z 離散小波變換 ? 離散小波變換 （ Discrete Wavelet Transform， DWT） 縮放因子和平移參數(shù)都選擇 （ j 0， 整數(shù) ） 的倍數(shù) ， 這種變換稱為雙尺度小波變換 。 于是 ， 根據(jù) Nyquist采樣定理提出 降采樣 方法 ， 即在每個(gè)通道中每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)中取一個(gè) ，得到的 離散小波變換的系數(shù) 分別用 cD和 cA表示 。 例如： 01[ 1 1 ][ 1 1 ]HqHq????低 頻 ：高 頻 ：Haar小波 ， 例子： 16點(diǎn)信號(hào) : [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9] ① 小波正變換：小波系數(shù) I. 小波近似系數(shù) （ 加 ） II. 小波細(xì)節(jié)系數(shù) （ 減 ） ② 小波反變換：可以由分解信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào) I. 近似分解 II. 細(xì)節(jié)分解 四、一維信號(hào)小波變換的例子 補(bǔ)充 1： 一維 Mallat算法 原始信號(hào)： 補(bǔ)充 1： 一維 Mallat算法 小波變換 2 級(jí)近似系數(shù) 1 級(jí)近似系數(shù) 1 級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù) 2 級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù) 兩兩相加 兩兩相減 補(bǔ)充 1： 一維 Mallat算法 序號(hào) 信號(hào) s 1級(jí)小波 w1=[wa1 ,wd1 ] 2級(jí)小波 w2=[wa2 , wd2 , wd1 ] 1 6 2 5 3 9 4 8 5 3 6 7 7 8 8 5 9 6 10 5 11 9 12 8 13 1 14 3 15 3 16 9 wd1 wa1 wa2 wd2 wd1 補(bǔ)充 1： 一維 Mallat算法 代碼實(shí)現(xiàn)： x=[6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]。 % 多層小波分解 ca3=appcoef(c,l, 39。 % 初始化 cD=[]。 % 高通濾波 dnh=downspl(cvh)。 例如 % x=[x1,x2,x3,x4,x5]， 則 y=[x2,x4]。 y(i)=x(2*i)。type39。 信號(hào)的分解過程可以迭代 ， 即可進(jìn)行多級(jí)分解 。 % 讀信號(hào) x=noisbump。 % 3層小波包分解 fig=plot(t)。read39。 % 顯示 例 3：小波包樹 查看顏色表示的小波包系數(shù) wpviewcf(t,1)。 小波重構(gòu) ③ 重構(gòu)濾波器 在信號(hào)的分解期間 ， 降采樣引進(jìn)了畸變 ， 這就需要在分解和重構(gòu)階段精心選擇關(guān)系緊密但不一定一致的濾波器以盡量 消除這種畸變 。 while (lcd)=(lca) % 若 lcd小于 lca， 則重構(gòu)停止 upl=upspl(cA)。 % 對(duì)細(xì)節(jié)部分系數(shù)進(jìn)行升抽樣 cvh=conv(uph,hpr)。 lcd=length(cD)。 % 讀取輸入序列長(zhǎng)度 M=2*N1。type39。wname39。 subplot(211)。)。 % 多層小波分解 ca3=appcoef(c,l,‘db1’,3)。 % 提取第 1層高頻 （ 近似 ） 系數(shù) figure(2)。第三層低頻系數(shù) 39。 title(39。plot(cd2)。 subplot(224)。)。 figure(1)。 title(39。 f1=50。 % 采樣間隔 N=120。plot(y)。 subplot(2,1,2)。)。l39。,39。 % 補(bǔ)零 g=[g,zeros(1,Nlength(g))]。title(39。plot(h)。 subplot(2,2,3)。)。高通頻響 G(w)39。 % 高通 (高頻分量 ) figure(3)。分解信號(hào) 1：低通 39。title(39。plot(abs(fft(sig1)))。 subplot(2,2,4)。)。 % 2插值：升采樣 sig2=dyadup(sig2)。 % 重構(gòu)低通 gr=g(end:1:1)。,1)39。 % 源信號(hào) 例 5：小波濾波器 figure(4)。重構(gòu)低頻信號(hào) 39。title(39。plot(abs(fft(sig1)))。 subplot(2,2,4)。)。 這種方法比較簡(jiǎn)單 ， 重構(gòu)后的消噪信號(hào)也比較平滑 ， 但容易丟失信號(hào)的有用成份 。 在實(shí)際的消噪處理過程