【正文】 ,),( ghht? 1g)(t?)12(~0 ?? Nt )(t? NN ~)1( ? )(t?)(?? 0??4?N )(t? )(t? )(?? )(??圖 時 db小波 (a) ， (b) ， (c) ， (d) 4?N )(t? )(t?)(?? )(??? 對稱小波 ? 對稱小波簡記為 symN， ，它是 db小波的改進，也是由 Daubechies提出并構造的。但 db小波是非對稱的，其相應的濾波器組屬共軛正交鏡像濾波器組（ CQMFB）。 的支撐范圍在 ? ， 的支撐范圍在 。在 ， N的階次還可以擴展。因此，前述的 Haar小波應歸于“正交小波”類。 ? dbN中的表示 db小波的階次， 。它是由法國學者 Ingrid Dauechies于 90年代初提出并構造的。 MATLAB中的Wavelet Toolbox中有相關的軟件來產(chǎn)生各類正交小波及其相應的濾波器。這些內(nèi)容構成了小波變換的多分辨率分析的理論基礎。尺度函數(shù)是小波變換的又一個重要概念。 ? 圖 高斯小波（取 ） (a)時域波形， (b)頻譜 2tkk 2edtdct /)( ??? 821k , ??1t 2 ?)(?k)(t? k )(t? 4k? )(t?4?k? ? 目前提出的正交小波大致可分為四種，即 Daubechies小波，對稱小波， Coiflets小波和 Meyer小波。當 取偶數(shù)時 ? 正對稱，當 取奇數(shù)時， 反對稱。 ? 圖 墨西哥草帽小波， (a)時域波形， (b)頻譜 2/2 22)( ?????? ec?0??? Gaussian小波 ? 高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導而得到的，定義為： ? ， () ? 式中定標常數(shù)是保證 。 ? 該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對稱的，可用于連續(xù)小波變換。它定義為 () ? 式中 ，其傅里葉變換為 2/2 2)1()( tetct ????4/132 ??c? () ? 該小波是由一高斯函數(shù)的二階導數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。但該小波是對稱的，是應用較為廣泛的一種小波。但是當 ，或再取更大的值時， 和 在時域和頻域都具有很好的集中，如圖 。考慮到待分析的信號一般是實信號，所以在 MATLAB中將式（ ）改造為： ? （ ） ? 并取 。但由于 Haar小波有上述的多個優(yōu)點，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。 Haar小波是目前唯一一個既具有對稱性又是有限支撐的正交小波； ? Haar小波僅取＋ 1和－ 1，因此計算簡單。所以 Haar小波屬正交小波； ? Haar波是對稱的。 ? ? Haar小波 ? Haar小波來自于數(shù)學家 Haar于 1910年提出的 Haar正交函數(shù)集，其定義是： ? （ ） ? 其波形如圖 （ a）所示。在下面的分類中，第一類是所謂地“經(jīng)典類小波”，在 MATLAB中把它們稱作“原始（ Crude）小波”。在時域和頻域的有限支撐方面我們往往只能取一個折中。然而，當 離散取值時，則有可能得到一族正交小波基 ?？梢韵胂?，若 連續(xù)取值，要想找到這樣的母小波 使 兩兩正交，那將是非常困難地。若能保證 ? ，則 平面上各點小波變換的值將互不相關。 ),( ba ),( ?aWTx)(tx),( ba),( baWT x )(tx)(tx ),( ?tS T F T x)(tx ),( ?t ),( ?t),( ?tS T F T x),。有關離散小波變換及小波標架的內(nèi)容將在后面予以討論。 ? 我們知道，當用 的短時傅里葉變換 來重建 ? 時， 平面上的信息也是有冗余的，即 平面上各點的 是相關的，因此引出了離散柵格上的STFT，進一步的發(fā)展即是信號的 Gabor展開與 Gabor變換。 dtttxbaWT bax )()(),( ,? ?? ?dttdadbtbaWTac 1baWT 00 babax0 200x )(])(),([),( , ????? ? ???? ???d a d bdtttcbaWTa babax ])()(1)[,( 00 ,0 2 ????? ? ? ??? ???d a d bttcbaWTa babax ])(),(1)[,( 00 ,0 2 ??? ?? ??? ? ?? ???),( baWT x )(tx ),( ba),( 00 ba ),( 00 baWT x ),( RbRa ?? ?),( baWT x ),( 00 baWT x ),( ?aWT x? 既然 平面上各點的 可由式（ ）互相表示，因此這些點上的值是相關的，也即式（ ）對 的重建是存在信息冗余的。,(),(),( 000 200 ??? ? ??? ??),( 00 baWT x ),( baWTxdtttCbabaK baba )()(1),。 ? 設 是 平面上的任一點， 上的二維函數(shù) 欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必須滿足如下的重建核方程，即 ? （ ） ? 式中 是 在 處的值， ? （ ） ? 稱為重建核。與此結論相類似，并不是 平面上的任一二維函數(shù) 都 a ja 2? Zj?bjj2j e22 ???? )(/),( baWT x )(tx 2)2( ?? jj ???? ~BAjj ???? ?????2)2(???? BA0)(t?),( ba ),( baWT? 對應某一函數(shù)的小波變換。 ? ? 我們在上一節(jié)指出，并不是時域任一函數(shù)都可以用作小波 。該式稱為小波變換的穩(wěn)定性條件，它是在頻域?qū)π〔ê瘮?shù)提出的又一要求。 由上述討論， 自然應和一般的窗函數(shù)一樣滿足： ? （ ） ???c 0)0( ?? ?c)(t?0)( 0 ??? ??? ? 0)( dtt?)(t?)(t?)(t?)(t???? dtt )(?? 并且由后面的討論可知，尺度因子 常按 來離散化， ? 。此外，從時－頻定位的角度，我們總希望 是有限支撐的，因此它應是快速衰減的。這等效地告訴我們，小波函數(shù) 必然是帶通函數(shù)； ? ，因此必有 ? () ? 這一結論指出， 的取值必然是有正有負，也即它是振蕩的。該容許條件含有多層的意思： ? 都可以充當小波。 ? 設 ，記 為 的傅里葉變換，若 ? 則 可由其小波變換 來恢復，即 ? () a ?~0a 2?aa/1 a?c)()(),( 2 RLttx ?? )(?? )(t??????? ??02)(?c)(tx ),( baWTxd a d btbaWTactx bax )(),(1)( ,0 2 ???? ???? ??? 證明：設 ， ,則 ? 將它們分別代入式（ ）的兩邊，再令 ，于是有 ? ? 于是定理得證。但小波變換的 Parseval定理稍為復雜，它不但要有常數(shù)加權，而且以 的存在為條件。這兩個式子中出現(xiàn)的 是由于定義小波變換時在分母中出現(xiàn)了 ，而式中又要對 作積分所引入的。該式又可寫成更簡單的形式 ,即 ? () ? 進一步，如果令 ，有 ? () ?cadaa ?? ?? ??????? ?? ??0202 )()()(?????? ????? )(),()()(2 1 2121 txtxcdXXc ?? ?????? )(),(),(),( 2121 txtxcbaWTbaWT xx ?)()()( 21 txtxtx ??d a d bbaWTacdttx x 2022 ),(1)( ? ?? ? ?????????? 該式更清楚地說明，小波變換的幅平方在尺度－位移平面上的加權積分等于信號在時域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號能量時－頻分布的一種表示形式。 ? 證明：由式（ ）關于小波變換的頻域定義，式（ ）的左邊有： ????? ? ? dC 0 2)(? )(?? )(t?dbadadeaXdeaXa bjbj 2210 2 )()()()(4 ? ?? ??? ????? ??? ? ? ?? ? ????? ?? ?? ? ?? ?dbeddaaXXada bj??? ? ? ????? ?? ?? ? ?? ? ??? ????? ??? )(210 2 )()()()(4 ?? ??? ???? ????? ??? ?? ?? ?? ? ?? ?? ? ddaaXXada )()()()()(2 210 ???????? ?? ? ??? ?? ??? daXXa2 da 2210 )()()(????????? ?? ???? ? dXXadaa2 1 2102)()()()(?? 假定積分 ? 存在，再由 Parseval定理，上述的推導最后為 ? 于是定理得證。 ),()(),( baWTtxbaWT hby ??),()( baWTth xb??b? bdta btdthxabaWT y )(])()([1),( ??? ?????? ? ???????? ddta btthax ])()(1)[( ??? ?? ???????? dbaWTxbaWT hy ),()(),( ?? ? ??????? dbaWThbaWT xy ),()(),( ?? ? ????? 5． 兩個信號和的 CWT ? 令 的 CWT分別是 ，且 ? ，則 ? （ ） ? 同理，如果 ，則 ? （ ） ? 式（ ），（ ）說明兩個信號和的 CWT等于各自 CWT的和，也即小波變換滿足疊加原理。 ? 3． 微分性質(zhì) 如果 的 CWT是 ，令 ，則 （ ） dta bttxabaWT y )()(1),( ? ?? ??? tt ???td1a bttxa1baWT y ????? ? ? ??? )()(),(dta b