【正文】 – 1945: Gabor ?開發(fā)了 STFT (short time 傅里葉變換 ) ( , ) ( ) ( ) s ig n a l ( ( ) = w in d o w in g f u n c tio)njtS TF T s t e d tstgtgt ???? ???? ?這里： 小波技術(shù)發(fā)展史 – 1980： Morlet ? 20世紀 70年代 ， 在法國石油公司工作的年輕地球物理學家 Jean Morlet提出小波變換 (wavelet transform，WT)的概念； ? 20世紀 80年代 , 開發(fā)了連續(xù)小波變換 (continuous wavelet transform， CWT) – 1986： ?法國科學家 定衰減性的光滑函數(shù) ， 用于分析函數(shù)； ?用縮放 (dilations)與平移 (translations)均為 2 j(j≥0的整數(shù) )的倍數(shù)構(gòu)造了 L2(R)空間的規(guī)范正交基 ， 使小波分析得到發(fā)展 。 小波技術(shù)發(fā)展史 – 1988： Mallat算法 ? 法國科學家 Stephane Mallat提出多分辨率 概念 ， 從空間上形象說明小波的多分辨率的特性 ， 并提出了正交小波的構(gòu)造方法和快速算法 ，稱為 Mallat算法 ； ? 該算法 統(tǒng)一了在此之前構(gòu)造正交小波基的所有方法 ， 包括語音識別中的鏡向濾波 ， 圖象處理中的金字塔方法 ， 地震分析中短時波形處理等 。 ? 其地位 相當于快速傅里葉變換在經(jīng)典傅里葉分析中的地位 。 小波技術(shù)發(fā)展史 – 小波理論與工程應(yīng)用 ? Inrid Daubechies于 1988年最先揭示了 小波變換和濾波器組之間的內(nèi)在關(guān)系 ， 使離散小波分析變成為現(xiàn)實； ? Ronald Coifman 和 Victor Wickerhauser等著名科學家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻； ? 自從發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系之后 ， 小波分析在信號處理中得到極其廣泛的應(yīng)用 。 小波變換： 逆小波變換： 連續(xù)小波變換 ? ? , 1, , ( ) ( )f a b tbW a b f t f t d taa?? ??? ????? ?????2011( ) ( , )ftbf t W a b da dbC a a? ???????????????2? ()Cd? ?? ?????? ? ??其中： 一、什么是連續(xù)小波變換 是 卷積 嗎？ 含義： 類似于用鏡頭觀察信號 。 代表鏡頭 。 則 b相當于使鏡頭相對于目標的平行移動 ， 而 a相當于鏡頭向目標推進或遠離 。 ()t?()ft1. 物理意義： ① 時域上的意義： 數(shù)學顯微鏡， 一組有效寬度不同的窗口 傅里葉變換的匯集。 連續(xù)小波變換 ② 頻域上的意義： 若 f(t)的傅里葉變換為 F(?)， 根據(jù) Parseval定理 。 連續(xù)小波變換 連續(xù)小波變換 若設(shè) 的 中心 為 ， 半徑 為 ， 則有： ()t?*t ??同理： 的 中心 為 ， 半徑 為 ， ?()??*? ??? 的 中心 為 ： 半徑 為 ： , ()ab t? *,abt,ab??**,abt b a t??,ab a??? ? ?,? ()ab?? **, 1aba???的 中心 為 ， 半徑 為： ,1? ?ab a??? ? ?2. 恒 Q性質(zhì) （品質(zhì)因數(shù)） 連續(xù)小波變換 小波母函數(shù) 在 頻域具有帶通特性 ， 其伸縮和平移系列就可以看作是 一組帶通濾波器 。 ()t?**0,1ab a? ? ???所研究頻帶的的中心為： 通帶的寬度為： 2 ?Ba ??? 通常，將通帶寬度與中心頻率的比值稱為 帶通濾波器的品質(zhì)因數(shù) （ Q），即 0 *2Q ????,0**2 / 2/abaa??????? ? ?即帶寬與中心頻率的比與中心頻率的位置無關(guān) Q恒定 21)。2()( ?? attf ?1)。()( ?? attf ? 連續(xù)小波變換 分析高頻成分 分析低頻成分 （ 1） 伸縮 在時間軸上對信號進行壓縮和伸展 ， 如圖所示 。 （ 2） 平移： 小波函數(shù)在時間軸上的波形平行移動 。 如圖所示 。 連續(xù)小波變換 時刻 1 時刻 2 原始信號 二 、 基本步驟 ① 選擇一個小波函數(shù) ， 并將其與要分析的 信號起始點對齊 ； ② 計算在 這一時刻信號與小波函數(shù)的逼近程度 ， 即 計算變換系數(shù) C。 C越大 ， 就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近 。 連續(xù)小波變換 變換系數(shù)依賴于所選擇的小波 。 因此 ， 為了檢測某些特定波形的信號 ， 應(yīng)該 選擇波形相近的小波 進行分析 。 ③ 調(diào)整參數(shù) b， 調(diào)整信號的分析時間段 ， 向右平移小波 ， 重復 ① ～ ② 步驟 ， 直到分析時段已經(jīng)覆蓋了信號的整個區(qū)間 。 連續(xù)小波變換 b是位移因子。 ④ 調(diào)整參數(shù) a， 尺度伸縮 ， 重復 ① ～ ③ 步驟 。 ⑤ 重復 ① ～ ④ 步驟 ， 計算完所有尺度的連續(xù)小波變換系數(shù) 。 連續(xù)小波變換 a是尺度因子。 連續(xù)小波變換 112112112( , ) ( ) d( ) d( ) d dkfkkkkkkkktbW a b f t a tatbf k a tat b t ba f k t taa??????????????? ? ? ?????????????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ?? ?? ??以上 5步表示了下式的求解過程： 連續(xù)小波變換 示意圖： 三、分析 （ 1）尺度與頻率的關(guān)系 ① 小尺度 ： 壓縮 的小波 ?快速變化 的細節(jié) ? 高頻 部分 ② 大尺度 ： 拉伸 的小波 ?緩慢變化 的粗部 ? 低頻 部分 連續(xù)小波變換 連續(xù)小波變換 （ 2） 計算復雜性 小波變換比快速傅里葉變換還要快一個數(shù)量級 。 信號長度為 M時 ， 傅里葉變換和小波變換的計算復雜性分別如下公式： MATLAB函數(shù) ? COEFS=cwt(S, SCALES, ‘wname’) ：在尺度 SCALES下計算向量一維小波系數(shù)； ? COEFS=cwt(S, SCALES, ‘wname’, ‘plot’)：計算小波系數(shù) ， 并以圖形顯示； ? COEFS=cwt(S, SCALES, ‘wname’, ‘PLOTMODE’) ：計算并畫出連續(xù)小波變換的系數(shù) ， 并使用 PLOTMODE對圖形著色 。 PLOTMODE值的含義： ① lvl: scalebyscale著色模式 ② glb: 考慮所有尺度的著色模式 ③ abslvl或 lvlabs:使用系數(shù)絕對值的 scalebyscale著色模式 ④ absglb或 glbabs:使用系數(shù)絕對值并考慮所有尺度的著色模式 MATLAB函數(shù) 【 例如 】 COEFS=cwt(S, SCALES, 39。wname39。, 39。plot39。) 相當于： COEFS=cwt(S, SCALES, 39。wname39。, 39。absglb39。) ? COEFS=cwt(S, SCALES, ‘wname’, ‘PLOTMODE’, XLIM) 能夠計算并畫出連續(xù)小波變換的系數(shù) 。 系數(shù)使用 PLOTMODE和 XLIM進行著色 。 其中： XLIM=[x1,x2]， 并且有如下關(guān)系： 1=x1=x2=length(S) 例 2 【 例 】 已知一信號 f(t)＝ 3sin(100?t)＋ 2sin(68?t)＋ 5cos(72?t)， 且該信號混有白噪聲 ， 請對該信號進行連續(xù)小波變換 。 【 解 】 clear all。 t=0:0,01:1。 f=3*sin(100*pi*t)+2*sin(68*pi*t)+5*cos(72*pi*t)+randn(1,length(t))。 coefs=cwt(f,[1::3],39。db339。,39。plot39。)。 title(39。對不同的尺度小波變換系數(shù)值 39。)。 Ylabel(39。尺度 39。)。 Xlabel(39。時間 39。)。 例 2 ? 橫坐標：變換的系數(shù) 縱坐標：尺度 灰度顏色越深， 表示系數(shù)的值越大。 離散小波變換 ? 連續(xù)小波變換存在的不足 ① 連續(xù)小波變換中含有很多冗余信息，冗余信息不利于對信號的分析和處理； ② 另外，由于連續(xù)小波變換中有冗余信息，可能對尺度和平移參數(shù)進行離散化后仍可重構(gòu)信號； ③ 連續(xù)小波變換的計算量也大。 ? ? 離散化 ? 要解決的核心問題 ① 尺度和平移參數(shù)要怎樣離散化？ ② 尺度和平移參數(shù)離散化后，要想重構(gòu)信號對小波函數(shù)應(yīng)有什么樣的要求？ 離散小波變換 ? 參數(shù)的離散化 ① 尺度參數(shù) a的離散化 a = a0j , j ? Z 通常取 a0的值為 2， 稱為 二進小波 ② 平移參數(shù) b的離散化 取決于尺度參數(shù) b = k a0j , j, k ? Z 離散小波變換 ? 離散小波變換 （ Discrete Wavelet Transform， DWT） 縮放因子和平移參數(shù)都選擇 （ j 0， 整數(shù) ） 的倍數(shù) ， 這種變換稱為雙尺度小波變換 。 )()()( 002/00002/0, kbtaaabkatat jjjjjkj ???? ??? ???離散小波變換 ? ???????? )()( , tCCtf kjkj ?重構(gòu)公式： ???? ? ??? kjkjkj fdtttfC ,* , ,)()( ??變換系數(shù)： 離散小波變換 ? 執(zhí)行 DWT的有效方法 ： —— Mallat算法 Mallat在 1988年開發(fā)出一種濾波器 ， 如下圖所示 ， 其中 ，S表示原始的輸入信號 ， 通過兩個互補的濾波器產(chǎn)生 A和 D兩個信號 。 離散小波變換 特別注意： 在使用濾波器對真實的數(shù)字信號進行變換時 ， 得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍 。 例如 ， 如果原始信號的數(shù)據(jù)樣本為 1000個 ， 通過濾波之后每一個通道的數(shù)據(jù)均為 1000個 ， 總共為 2022個 。 于是 ， 根據(jù) Nyquist采樣定理提出 降采樣 方法 ， 即在每個通道中每兩個樣本數(shù)據(jù)中取一個 ，得到的 離散小波變換的系數(shù) 分別用 cD和 cA表示 。 （ a） “ 近似 ” 基函數(shù) A （ b） “ 細節(jié) ” 基函數(shù) D 低頻濾波 系數(shù) 高頻濾波 系數(shù) 其中： 7 0 21 ??q一、 Haar小波基函數(shù) 0 [1 1 ][ ]Hqqq???1 [1 1 ][ ]Hqqq???補充 1： 一維 Mallat算法 信號 s可表示為小波 近似分解 a 與小波 細節(jié)分解 d之和： s = a+d 其中： ? 近似分解 a： = 小波近似系數(shù) wa 基函數(shù) A ? 細節(jié)分解 d： = 小波細節(jié)系數(shù) wd 基函數(shù) D 二、信號分解 小波基 D 小波基 A 原始信號 S 小波系數(shù) wd 小波系數(shù) wa 補充 1： 一維 Mallat算法 正變換：原始信號在小波基上 ， 獲得 ? 小波系數(shù) ? 分量 反變換：所有 ? 小波分解 ? 合成原始信號 例如： 小波分解 a=小波系數(shù) wa 小波基 A 小波變換就是將原始信號 s變換成小波系數(shù) W： w=[wa , wd] ? 近似系數(shù) wa：平均成分 （ 低頻 ） ? 細節(jié)系數(shù) wd ：變化成分 （ 高頻 ） 補充 1： 一維 Mallat算法 信號 s 有 M個樣本 ， J 級小波變換： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11JJJ i a J J d j jjjs n a n d n w A n w D n??? ? ? ???小波分解 小波系數(shù) 三、離散小波變換公式 11 , , . [ , , , ]J a J d J dn M w w w w??? ? ? ?? ?