【正文】 x第四章 ?不穩(wěn)定的判別定理 和一切 ，滿足如下的條件： 結(jié)論 ：對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)或定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)具有連續(xù) ( , )V x t一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) 或 ， 和 x??0tt??判別定理只給出了充分條件，多次試取都得不到答案，可能 為不穩(wěn)定。 ( , )V x t第四章 結(jié)論 2 [ 定常系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理 ] 對(duì)一切 和一切 ，滿足如下的條件： 對(duì)于定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) ( ) , (0 ) 0V x V ? ，和圍繞原點(diǎn)的一個(gè)吸引區(qū) ，使 （ 1） 為正定； x??()Vx?0t ?（ 2） 為負(fù)半定。 , 0 ) ) 0x X V t x??第四章 ?李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的判別定理 結(jié)論 1 [ 時(shí)變系統(tǒng)穩(wěn)定的判別定理 ] 一個(gè)吸引區(qū) ，使對(duì)一切 和一切 ，滿足 對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)，如果存在一個(gè)對(duì) 和 具有連續(xù)一階偏 x( , ) , (0 , ) 0V x t V t ?t導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) 和圍繞原點(diǎn)的 （ 1） 正定且有界； x??如下的條件： ( , )V x t?0tt?（ 2） 為負(fù)半定且有界。 ()() dV xVx dt（ 4）當(dāng) 時(shí)，有 ()Vx ??則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。 2221 2 3? ? ? ?? ? ?第四章 結(jié)論 3 [ 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ] 定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) ，并且對(duì)狀態(tài)空間 中的一切非 X( ) , (0 ) 0V x V ?零點(diǎn) 滿足如下的條件： x（ 1） 為正定。 ()Vx 為負(fù)定。 2 0x ?()Vx現(xiàn)取 為狀態(tài)的一個(gè)二次型 2212()V x x x??即 ()Vx 為正定。 ()() dV xVx dt（ 3）當(dāng) 時(shí)，有 ()Vx ??則系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定。 ( , )V x t第四章 結(jié)論 2 [ 定常系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定判別定理 ] 對(duì)于定常系統(tǒng)，如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函 數(shù) ，并且對(duì)狀態(tài)空間 中的一切非 X( ) , (0 ) 0V x V ?零點(diǎn) 滿足如下的條件： x（ 1） 為正定。 0( , ) ,x f x t t t??結(jié)論 1 [ 大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理 ] (0 , ) 0ft ?李亞普諾夫主穩(wěn)定性定理 如果存在一個(gè)對(duì) 和 具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù) x( , ) , ( 0 , ) 0V x t V t ?t第四章 （ 1） 正定且有界，即兩個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù) ()x?且滿足如下的條件： 和 ，其中 和 ， ( , )V x t使對(duì)一切 和一切 成立， ()x?0tt?(0 ) 0? ? (0 ) 0? ?（ 2） 對(duì)時(shí)間 的導(dǎo)數(shù) 負(fù)定且有界， ( ) ( , ) ( ) 0x V x t x?? ? ? ?0x ?即存在一個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù) ，其中 0x ?( , )V x t使對(duì)一切 和一切 成立， ()x?t0tt?(0 ) 0? ?( , )V x t( , ) ( ) 0V x t x?? ? ?第四章 （ 3）當(dāng) 時(shí)，有 即， ()x? ??則系統(tǒng)原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍一致漸近穩(wěn)定。 第一法，間接法 ：運(yùn)動(dòng)方程 一次近似的線性化方程 ? ? 其一次導(dǎo)數(shù)的定號(hào)性 分析穩(wěn)定性。 , )t x t?0x ex第四章 李亞普諾夫第二方法的主要定理 由常微分方程組所描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的方法歸納 分析穩(wěn)定性 原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 , ) et x t x?? ??00 ( , )ex x t???? 取得多么大， 取得如何小，必存在一個(gè)非零 0xex點(diǎn) 使得由 出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌線越出 。 第四章 相應(yīng)的實(shí)數(shù) ，使得由滿足不等式： 0( , ) 0t?? ??不穩(wěn)定 如果對(duì)于不管取多么大的有限實(shí)數(shù) ，都不可能找到 ()S ?的任一初態(tài) 出發(fā)的運(yùn)動(dòng)滿足不等式 0? ?()S ?平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的。 , ) 0t t x t??? ?小范圍漸近穩(wěn)定為局部漸近穩(wěn)定。 0ex ?衡點(diǎn)。 , )t x t?大范圍漸近穩(wěn)定，除了原點(diǎn)平衡狀態(tài)外，不存在其它孤立平 大范圍漸近穩(wěn)定為全局漸近穩(wěn)定。 ()S ? ex李氏意義下的穩(wěn)定是工程意義下的臨界不穩(wěn)定，漸近穩(wěn)定 的最大區(qū)域 稱為平衡狀態(tài) 的吸引區(qū)。 T ex當(dāng) 為漸近穩(wěn)定時(shí)，必成立 0? ? T ??隨著 ，則有 ex0 0 0l i m ( 。 , )t x t?0xex第四章 ()S ?()S ?()S ?00( 。 , ) et x t x?? ??00 ( , )ex x t????運(yùn)動(dòng)都同時(shí)滿足不等式： 0x運(yùn)動(dòng)的有界性。 0t時(shí)變系統(tǒng) ：穩(wěn)定 一致穩(wěn)定。 , )t x t?0xex第四章 ?如果 只依賴于 而和初始時(shí)刻 無(wú)關(guān)，則稱 是一 致