【正文】 ( 50 0) { 2. 75 }2001 2 .7 5 1 0. 99 7 02 0. 00 29 8P X P ZФ?? ? ? ??=－ ＝ － ＝? ? ? ?85 0 10 50 14 50 10 50( 85 0 14 50 ) { }20 0 20 02 1 0. 97 72 5 0. 15 86 5 0. 81 86 P X P ZФ Ф??? ? ? ???=－ ＝ － ＝| 1 0 5 0 |{ | | 1 . 9 6 } { | 1 0 5 0 | 3 9 2 } 0 . 9 5200XP Z P X? ? ? ?= = = 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 52 3σ原則 ?|X－ μ| 3σ 的概率很小，因此可認為正態(tài)隨機變量的取值幾乎全部集中在 [μ 3σ， μ+ 3σ ]區(qū)間內(nèi)。 ?其概率密度 φ(x)， 分布函數(shù) Ф(x) ?X～ N (μ, σ 2 ), 則 Z～ N (0,1 ) ?若 Z～ N (0， 1 )，則有： ?Ф(a)=1－ Ф(a) ?P（ | Z| ≤ a）＝ 2Ф(a)－ 1 ???? XZ標(biāo)準(zhǔn)化 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 a 0 a φ(z) z Φ(a) 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 50 ?【 例 】 某廠生產(chǎn)的某種節(jié)能燈管的使用壽命服從正態(tài)分布，對某批產(chǎn)品測試的結(jié)果，平均使用壽命為 1050小時，標(biāo)準(zhǔn)差為 200小時。 ∞時， f(x)→0 。 ( ) d x x???? ?? 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 45 ?隨機變量 X落在區(qū)間 [a， b）上的概率： ?即軸上方，概率密度曲線下方，直線 X=a和X=b之間的面積。 ?概率密度函數(shù)滿足下述兩個條件： ?f(x)≥0。 ? 分布函數(shù)滿足下述兩個條件： ? 0≤F(x)≤1； ? F(x)是一個單調(diào)非減的函數(shù)。 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 40 二項分布 ?在 n重伯努利試驗中，“成功”的次數(shù) X服從參數(shù)為 n、 p的二項分布，記為 X ～ B(n , p) ?二項分布的概率函數(shù)： ?二項分布的數(shù)學(xué)期望和方差： ?n＝ 1時，二項分布就成了二點分布（ 01分布）。 ?每次試驗中“成功”的概率都是 p。 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 37 離散型概率分布的表示 概率函數(shù)： P(X= xi)= pi 分布列： 分布圖： X = xi x1 x2 … xn P(X =xi)=pi p1 p2 … pn }{ xX ?事件 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 38 離散型隨機變量的數(shù)字特征 ?數(shù)學(xué)期望： ?方差： ?性質(zhì)： ,iiiE X x p? ?? ?222()()iiiDX E Xxp???? ? ????( ) ,E a X b Y a E X b E Y? ? ?2( ) .D a X b a D X?? 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 39 伯努利試驗 ?伯努利試驗： 每次試驗有且僅有兩種可能結(jié)果。 ? 解：設(shè) A＝“甲廠產(chǎn)品”， B＝“一級品”，則： P(A)＝ ， P(B) ＝ ， P(AB)＝ ① 所求概率為事件 B發(fā)生條件下 A發(fā)生的條件概率 P(A|B)＝ ② 所求概率為事件 A發(fā)生條件下 B發(fā)生的條件概率 P(B|A)＝ 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 33 ?【 例 】 對例 31中的問題（從這 50件中任取2件產(chǎn)品，可以看成是分兩次抽取，每次只抽取一件，不放回抽樣） ?解： A1＝第一次抽到合格品 A2＝第二次抽到合格品 A1A2＝抽到兩件產(chǎn)品均為合格品 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )4 5 4 4 1 9 8 00 . 8 0 8 25 0 4 9 2 4 5 0P A A P A P A A== ? ? 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 34 6. 事件的獨立性 ?兩個事件獨立 ?一個事件的發(fā)生與否并不影響另一個事件發(fā)生的概率 ?P(A|B)＝ P(A)，或 P(B|A)＝ P(B) ?獨立事件的乘法公式： ? P(AB) ＝ P(A)甲廠生產(chǎn)400件，其中一級品為 280件；乙廠生產(chǎn) 600件，其中一級品有 360件。 ?即在樣本空間 ?中考慮的條件概率 P(A|B)，就變成在新的樣本空間 B中計算事件 AB的概率問題了。P(B|A) ? 或 P(AB) ＝ P(B) 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 29 概率的公理化定義 ? 概率的以上三種定義，各有其特定的應(yīng)用范圍，也存在局限性，都缺乏嚴密性 ?古典定義要求試驗的基本事件有限且具有等可能性 ?統(tǒng)計定義要求試驗次數(shù)充分大，但試驗次數(shù)究竟應(yīng)該取多大、頻率與概率有多么接近都沒有確切說明 ?主觀概率的確定又具有主觀隨意性 ? 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 柯爾莫哥洛夫 于 1933年提出了概率的公理化定義 ?通過規(guī)定應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率 ? 公理化定義為概率論嚴謹?shù)倪壿嬐评泶蛳铝藞詫嵉幕A(chǔ) 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 30 5. 條件概率 ?條件概率：在某些附加條件下計算的概率 ?在已知事件 B已經(jīng)發(fā)生的條件下 A發(fā)生的條件概率 —— P(A|B) ?條件概率的一般公式： ?其中 P(B) 0。 ? 例如某經(jīng)理認為新產(chǎn)品暢銷的可能性是 80％ ?人們的經(jīng)驗、專業(yè)知識、對事件發(fā)生的眾多條件或影響因素的分析等等，都是確定主觀概率的依據(jù)。 試驗者 試驗次數(shù) 正面出現(xiàn)的頻率 蒲豐 4040 12022 24000 羅曼諾夫斯基 80640 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 26 ?【 例 】 某地區(qū)幾年來新生兒性別的統(tǒng)計資料如下表所示，由此可判斷該地區(qū)新生兒為男嬰的概率是多少？ 觀察年份 新生兒數(shù)（個） 男嬰數(shù)（個） 男嬰比例（％） 2022 1624 827 2022 1205 622 2022 1512 774 2022 1407 715 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 27 主觀概率 ?有些隨機事件發(fā)生的可能性，既不能通過等可能事件個數(shù)來計算，也不能根據(jù)大量重復(fù)試驗的頻率來近似。 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 23 概率的古典定義 ?前提：古典概型 ?定義（公式） ?【 例 】 設(shè)有 50件產(chǎn)品，其中有 5件次品，現(xiàn)從這 50件中任取 2件，求抽到的兩件產(chǎn)品均為合格品的概率是多少？抽到的兩件產(chǎn)品均為次品的概率又是多少？ () AmPA n= 事 件 中 包 含 的 基 本 事 件 數(shù) ＝樣 本 空 間 中 基 本 事 件 總 數(shù) 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 24 概率的統(tǒng)計定義 ?若在相同的條件下重復(fù)進行的 n次試驗中，事件 A發(fā)生了 m次，當(dāng)試驗次數(shù) n 很大時，事件 A發(fā)生頻率 m/n 穩(wěn)定地在某一常數(shù) p 上下波動，而且這種波動的幅度一般會隨著試驗次數(shù)增加而縮小，則定義 p 為事件 A發(fā)生的概率 ? 當(dāng) n相當(dāng)大時，可用事件發(fā)生的頻率 m/n作為其概率的一個近似值 —— 計算概率的統(tǒng)計方法（頻率方法） ( ) .P A p m n=? 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 25 ?【 例 】 根據(jù)古典概率定義可算出，拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的概率都是 。 ?不可能事件是一個空集（ Φ） 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 22 3. 隨機事件的概率 ?概率：用來度量隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值。 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 21 兩個特例 ?必然事件 ：在一定條件下，每次試驗都必然發(fā)生的事件。 ?復(fù)合事件：由簡單事件組合而成的事件。 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 20 2. 隨機事件 ?隨機事件 （ 簡稱 事件 ）：隨機試驗的某一個可能結(jié)果，常用大寫英文字母 A、B、 … … 來表示。 十五的夜晚能看見月亮？ 十五的月亮比初十圓！ 統(tǒng)計學(xué)STATISTICS 1 19 1. 隨機試驗 ?嚴格意義上的隨機試驗 滿足三個條件 ： ?試驗可以在系統(tǒng)條件下重復(fù)進行； ?試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的； ?每次試驗前不能肯定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。