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正文內(nèi)容

現(xiàn)代企業(yè)質(zhì)量管理常用的工具-文庫(kù)吧資料

2025-04-24 23:04本頁(yè)面
  

【正文】   三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差  隨機(jī)變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個(gè)重要的特征數(shù),用來表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小。連續(xù)隨機(jī)變量這一性質(zhì)普遍成立,它給計(jì)算帶來方便。實(shí)際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時(shí)間,或發(fā)生故障后需要維修的時(shí)間都服從指數(shù)分布,例如某廠生產(chǎn)的推土機(jī)發(fā)生故障后的維修時(shí)間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)。  地區(qū)(c)?! ?    地區(qū)(a)?!    瞉考試得分是一個(gè)隨機(jī)變量,下面是三個(gè)不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù)()?!   ∵@里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長(zhǎng)度上的頻率”,由于頻率的穩(wěn)定性,可用概率代替頻率,從而縱軸就成為“單位長(zhǎng)度上的概率”,這是概率密度的概念,故最后形成的曲線稱為概率密度曲線,它一定位于x軸上方(即p(x)≥0),并且與x軸所夾面積恰好為1。    概率密度函數(shù)p(x)有多種形式,有的位置不同,有的散布不同,有的形狀不同。當(dāng)累積到很多x值時(shí),就形成一定的圖形,為了使這個(gè)圖形得以穩(wěn)定,把縱軸改為單位長(zhǎng)度上的頻率,由于頻率的穩(wěn)定性,隨著被測(cè)質(zhì)量特性值x愈多,這個(gè)圖形愈穩(wěn)定,其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線。下面再將上述過程用另一種形式來進(jìn)行表述。在第一節(jié)中,已經(jīng)詳細(xì)介紹過根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。還可計(jì)算有關(guān)事件的概率,譬如:  P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=  〔]某廠生產(chǎn)的三極管,每100支裝一盒?! ?duì)同樣問題,若用放回抽樣,則從10個(gè)產(chǎn)品(其中有2個(gè)不合格品)中隨機(jī)取出4個(gè),其中不合格品數(shù)Y是另一個(gè)隨機(jī)變量,它可取0,1,2,3,4等五個(gè)值?!  瞉設(shè)在10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)不合格品,若從中隨機(jī)取出4個(gè),則其中不合格品數(shù)X是離散隨機(jī)變量,它僅可取0,1,2等三個(gè)值。滿足這兩個(gè)條件的分布稱為離散分布,這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)?! ?一)離散隨機(jī)變量的分布  離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示,譬如,隨機(jī)變量X僅取n個(gè)值:x1,x2,…xn,X取x1的概率為p1,取x2的概率為p2,…,取xn的概率為pn。認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布,分布包含如下兩方面內(nèi)容:  (1)X可能取哪些值,或在哪個(gè)區(qū)間上取值。更一般的,在n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是可能取0,1,2,…,n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量。“X=0”表示合格品,“X=  1”表示不合格品?! ?3)檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品,結(jié)果可能是合格品,也可能是不合格品。類似地,一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺(tái)車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù){0,1,2,3,…}的離散隨機(jī)變量。這些事件有可能發(fā)生,也可能不發(fā)生。例如:  (1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù),則X是一個(gè)離散隨機(jī)變量,它可以取0,1,2,…等值?! 〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間(a,b)(),則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量,或連續(xù)型隨機(jī)變量,其中a可以是∞,b可以是+∞。常用大寫字母X,Y,Z等表示隨機(jī)變量,而它們的取值用相應(yīng)的小寫字母x,y,z等表示。第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布要求的概率為P(A1 A2 A3),由于三個(gè)標(biāo)本相互獨(dú)立,所以:  P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個(gè)概率是很小的?! ⌒再|(zhì)7:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立,則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為:  P(AB)=P(A)P(B)()  性質(zhì)8:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立,則在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)。  這里談?wù)摰氖菫觚數(shù)膲勖?,假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表,那么就可計(jì)算,存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人的壽命表,就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險(xiǎn)公司正是利用這個(gè)條件概率對(duì)30歲的投保人計(jì)算人身保險(xiǎn)費(fèi)率的。    現(xiàn)要尋求下列事件的條件概率: ?、?0歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?  要求的概率是條件概率P(A80|A20),按公式應(yīng)為:    由于活到80歲的烏龜一定要先活到20歲,這意味著A80A20,從而交事件A20 A80=A80,故上述條件概率為:  即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲?! ☆愃频?,利用這個(gè)解釋,可得P(B|A)=5/15=1/3。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在ΩB中所占比率為5/7。即中18個(gè)樣本點(diǎn)可不予考慮,可能的情況是事件B中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一。  []設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn),又設(shè)事件A含有其中15個(gè)樣本點(diǎn),事件B含有7個(gè)樣本點(diǎn),交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)。條件概率的計(jì)算公式為:  這表明:條件概率可用兩個(gè)特定的(無條件)概率之商來計(jì)算,在舉例說明之前,先導(dǎo)出概率的乘法公式。另外由于事件A1與A2是可能同時(shí)發(fā)生的,故A1與A2不是互不相容事件,應(yīng)用性質(zhì)(4)來求,即:  這表明在未來兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率為2/3。  〔]某足球隊(duì)在未來一周中有兩場(chǎng)比賽,在第一場(chǎng)比賽中獲勝概率為1/2,在第二場(chǎng)比賽中獲勝概率是1/3,如果在兩場(chǎng)比賽中都獲勝概率是1/6,那么該隊(duì)在這兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率是多少?  解:設(shè)事件Ai=“第i場(chǎng)比賽獲勝”,i=1,2。據(jù)A0的定義,從100件產(chǎn)品隨機(jī)抽出10件的所有樣本點(diǎn)共有)個(gè)。再由性質(zhì)1,立即可得:  P(A3)=1P()=11/8=7/8=  []一批產(chǎn)品共100件,其中5件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件,其中最多有2件不合格品的概率是多少?  解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”,于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:  A=A0∪A1 U A2并且A0,A1,A2為三個(gè)互不相容事件,由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)?!  瞉拋三枚硬幣,至少一個(gè)正面出現(xiàn)(記為事件A3)的概率是多少?  解:在拋三枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中,諸如(正,反,正)這樣的樣本點(diǎn)共有8個(gè)?!       ∪⒏怕实男再|(zhì)及其運(yùn)算法則  (一)概率的基本性質(zhì)及加法法則  根據(jù)概率的上述定義,可以看出它具有以下基本性質(zhì):  性質(zhì)1:概率是非負(fù)的,其數(shù)值介于0與1之間,即對(duì)任意事件A,有:  0≤P(A)≤1  特別,不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1,即:  P(φ)=0,P(Ω)=1  性質(zhì)2:若是A的對(duì)立事件,則:  P(A)+P()=1  或  P()=1P(A)  性質(zhì)3:若AB,則:  P(AB)=P(A)P(B)  性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:  P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)  這個(gè)性質(zhì)稱為概率的加法法則。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定?! ?2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。也是正面出現(xiàn)的概率。歷史上有不少人做過更多次重復(fù)試驗(yàn)。在實(shí)際中人們無法把一個(gè)試驗(yàn)無限次地重復(fù)下去、只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似概率?! ∮谑侵TBm發(fā)生的概率為:  P(B0)==  P(B1)=4=    P(B4)==  可見,在放回抽樣中,B0和B1發(fā)生的可能性最大,而B4發(fā)生的可能性很小,B4在1000次中發(fā)生還不到二次?! 〖偃缃o定N=10,M=2,n=4,在放回抽樣場(chǎng)合來計(jì)算諸Bm的概率。故事件B1的概率為:    類似地,事件Bm共含有  個(gè)樣本點(diǎn)。這樣就有M(NM)n1種取法。由于每次都有N種可能,故在放回抽樣的問題中共有Nn種等可能的樣本點(diǎn)。這時(shí)要講究先后次序,現(xiàn)對(duì)上例采取放回抽樣方式討論事件Bm=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率。因此可不論其次序?! ](放回抽樣)抽樣有兩種形式:不放回抽樣與放回抽樣?! 〖偃缃o定N=10,M=2和n=4,下面來計(jì)算諸事件Am的概率:    而A3,A4等都是不可能事件。故事件Am的概率是:  其中r=min(n,M)是m的最大取值,這是因?yàn)閙既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n,也不可能超過不合格品總數(shù)M,即m≤n和m≤M。故事件A1的概率為:    最后,要使事件Am發(fā)生,必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè),而從NM個(gè)合格品中隨機(jī)抽取nm個(gè)。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè),共有  種取法;第二步從NM個(gè)合格品中隨機(jī)取出n1個(gè),共有  種取法。要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品,那必須從該批中NM個(gè)合格品中抽取,這有  種取法。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率,然后計(jì)算一般事件Am的概率。其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這  個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。這24種排列在組合中只算一種?! ?5)組合:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個(gè)組合,此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1,因而  =1。  例如,從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一個(gè)做檢驗(yàn),放回后再取下一個(gè),如此連續(xù)抽取4次,所得重復(fù)排列數(shù)為104。按乘法原理,此種重復(fù)排列共有n'個(gè)。按乘法原理,此種排列共有n(n1)…(nr+1)個(gè),記為P'n?! ±纾杉壮堑揭页侨ヂ糜斡腥惤煌üぞ?汽車、火車和飛機(jī),而汽車有5個(gè)班次,火車有3個(gè)班次,飛機(jī)有2個(gè)班次,那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個(gè)班次供旅游選擇?! ±?,甲城到乙城有3條旅游線路,由乙城到丙城有2條旅游線路,那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有32=6條旅游線路?,F(xiàn)概要介紹如下:  排列與組合是兩類計(jì)數(shù)公式,它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理?! ?4)定義事件D=“點(diǎn)數(shù)之和大于3,而小于7”={(1,3)(2,2),(3,1),(1,4)(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},它含有12個(gè)樣本點(diǎn),故它的概率P(D)=12/36 =1/3?! ?2)定義事件B=“點(diǎn)數(shù)之和為5”={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},它含有4個(gè)樣本點(diǎn),故P(B)=4/36=1/9。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:  Ω={(x,y),x,y=1,2,3,4,5,6}它共含36個(gè)樣本點(diǎn),并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都相同。特別,不可能事件的概率為0,必然事件的概率為1,即:  P(φ)=0,P(Ω)=1  二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義  確定一個(gè)事件的概率有幾種方法,這里介紹其中兩種最主要的方法,相應(yīng)于概率的兩種定義,即古典定義及統(tǒng)計(jì)定義。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)。  上述正面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)、市場(chǎng)占有率、中簽率以及常見的廢品率、命中率等都是用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。  (2)某廠試制成功一種新止痛片在未來市場(chǎng)的占有率是多少呢?市場(chǎng)占有率高,就應(yīng)多生產(chǎn),獲得更多利潤(rùn);市場(chǎng)占有率低,就不能多生產(chǎn),否則會(huì)造成積壓,不僅影響資金周轉(zhuǎn),而且還要花錢去貯存與保管。例如:  (1)拋一枚硬幣,出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性還是有大小之別,是可以設(shè)法度量的?!   ?4)事件A對(duì)B的差,由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對(duì)B的差,記為AB。交事件AB發(fā)生意味著“事件A與B同時(shí)發(fā)生”。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與B中至少一個(gè)發(fā)生”。特別,必然事件Ω與不可能事件φ互為對(duì)立事件,即=φ,=Ω。可見就是“A不發(fā)生”,例如在檢查一匹布中,事件“至少有一個(gè)疵點(diǎn)”的對(duì)立事件是“沒有疵點(diǎn)”。  (三)事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算有下列四種?!   ?3)相等:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B,若事件A與B含有相同的樣本點(diǎn),則稱事件A與B相等,記為A=B。這時(shí)事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生,如在電視機(jī)壽命試驗(yàn)里,“電視機(jī)壽命小于1萬小時(shí)”與“電視機(jī)壽命超過4萬小時(shí)”是兩個(gè)互不相容事件,因?yàn)樗鼈儫o相同的樣本點(diǎn),或者說,它們不可能同時(shí)發(fā)生。顯然,對(duì)任一事件A,有ΩAφ?! ?1)包含:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B,若事件A中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中,則稱A被包含在B中,或B包含A,記為AB,或BA,這時(shí)事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生?! ˇ?{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}  下面幾個(gè)事件可用集合表示,也可用語言表示?! =“至少有一件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0)};  B=“至少有一件不合格品”={(0,1),(1,0),(1,1)}C=“恰好有一件合格品”={(0,1)(1,0)};  Ω=“至多有兩件合格品”={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)};  φ=“有三件不合格品”。  Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}其中樣本點(diǎn)(0,1)表示第一件產(chǎn)品為合格品,第二件產(chǎn)品為不合格品,其他樣本點(diǎn)可類似解釋?!   ]若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格,并記合格品為“0”,不合格品為“1”。  (5)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最小子集,這個(gè)最小子集就是空集,它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件,記為φ。  (4)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最大子集,這個(gè)最大子集就是Ω,它對(duì)應(yīng)的事件稱為必然事件,仍用Ω表示?! ?2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生,若記ω1,ω2是Ω中的兩個(gè)樣本點(diǎn)():  當(dāng)ω1發(fā)生,且ω1∈A(表示ω1在A中),則事件A發(fā)生;  當(dāng)ω2發(fā)生,且ω2A(表示ω2不在A中),則事件A不發(fā)生?!   碾S機(jī)事件的定義可見,事件有如下幾個(gè)特征:  (1)任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集。  “拋一枚硬幣”的樣本空間Ω={正面,反面};  “擲一顆骰子”的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6};  “一顧客在超市中購(gòu)買商品件數(shù)”的樣本空間Ω={0,1,2,…};  “一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)
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