【正文】 }；　　　　實際中，在一個隨機現(xiàn)象中常會遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系?！　?1)包含:在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A中任一個樣本點必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A，記為AB，或BA，這時事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生。如擲一顆骰子，事件A=“出現(xiàn)4點”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點”的發(fā)生，故AB。顯然，對任一事件A，有ΩAφ?！　?2)互不相容:在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B沒有相同的樣本點，則稱事件A與B互不相容。這時事件A與B不可能同時發(fā)生，如在電視機壽命試驗里，“電視機壽命小于1萬小時”與“電視機壽命超過4萬小時”是兩個互不相容事件，因為它們無相同的樣本點，或者說，它們不可能同時發(fā)生?！　蓚€事件間的互不相容性可推廣到三個或更多個事件間的互不相容，例如在檢查三個產(chǎn)品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒有不合格品”是四個互不相容事件?！　　　?3)相等:在一個隨機現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B含有相同的樣本點，則稱事件A與B相等，記為A=B。如在擲兩顆骰子的隨機現(xiàn)象中，其樣本點記為(x，y，其中x與y分別為第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，定義如下兩個事件:　　A={(x，y):x+y=奇數(shù)}　　B={(x，Y):x與y的奇偶性不同}可以驗證A=B。　　(三)事件的運算事件的運算有下列四種?！　?1)對立事件，在一個隨機現(xiàn)象中，Ω是樣本空間，A為事件，由在Ω中而不在A中的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記為。可見就是“A不發(fā)生”，例如在檢查一匹布中，事件“至少有一個疵點”的對立事件是“沒有疵點”。對立事件是相互的，A的對立事件是，的對立事件必是A。特別，必然事件Ω與不可能事件φ互為對立事件，即=φ，=Ω?！　　　?2)事件A與B的并，由事件A與B中所有樣本點(相同的只計入一次)組成的新事件稱為A與B的并，記為AUB。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與B中至少一個發(fā)生”?！　?3)事件A與B的交，由事件A與B中公共的樣本點組成的新事件稱為事件A與B的交，記為A∩B或AB。，交事件AB發(fā)生意味著“事件A與B同時發(fā)生”?！　∈录牟⒑徒豢赏茝V到更多個事件上去()?！　　　?4)事件A對B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點組成的新事件稱為A對B的差，記為AB?！　　　?四)概率——事件發(fā)生可能性大小的度量　　隨機事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的。但隨機事件發(fā)生的可能性還是有大小之別，是可以設(shè)法度量的。而在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟活動中，人們很關(guān)心一個隨機事件發(fā)生的可能性大小。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。足球裁判就是用拋硬幣的方法讓雙方隊長選擇場地，以示機會均等。　　(2)某廠試制成功一種新止痛片在未來市場的占有率是多少呢?市場占有率高，就應(yīng)多生產(chǎn)，獲得更多利潤；市場占有率低，就不能多生產(chǎn)，否則會造成積壓，不僅影響資金周轉(zhuǎn)，而且還要花錢去貯存與保管?！　?3)購買彩券的中獎機會有多少呢?如1993年7月發(fā)行的青島啤酒股票的認購券共出售287347740張，其中有180000張認購券會中簽，(見1993年7月30日上海證券報)。　　上述正面出現(xiàn)的機會、市場占有率、中簽率以及常見的廢品率、命中率等都是用來度量隨機事件發(fā)生的可能性大小。一個隨機事件A發(fā)生可能性的大小用這個事件的概率P(A)來表示。概率是一個介于0到1之間的數(shù)。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　二、概率的古典定義與統(tǒng)計定義　　確定一個事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，相應(yīng)于概率的兩種定義，即古典定義及統(tǒng)計定義。　　(一)古典定義　　用概率的古典定義確定概率方法的要點如下:　　(1)所涉及的隨機現(xiàn)象只有有限個樣本點，設(shè)共有n個樣本點；　　(2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性是相同的(等可能性)；　　(3)若被考察的事件A含有k個樣本點，則事件A的概率定義為:　　　　〔]擲兩顆骰子，其樣本點可用數(shù)對(x，y表示，其中x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)。這一隨機現(xiàn)象的樣本空間為:　　Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36個樣本點，并且每個樣本點出現(xiàn)的可能性都相同?！　?1)定義事件A=“點數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個樣本點，故P(A)=1/36?！　?2)定義事件B=“點數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個樣本點，故P(B)=4/36=1/9?！　?3)定義事件C=“點數(shù)之和超過9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6個樣本點，故P(C)=6/36 =1/6?！　?4)定義事件D=“點數(shù)之和大于3，而小于7”={(1，3)(2，2)，(3，1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，它含有12個樣本點，故它的概率P(D)=12/36 =1/3。　　　　用古典方法獲得概率常需要排列與組合的公式?，F(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類計數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計數(shù)原理。　　(1)乘法原理:如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1m2…mk種方法?！　±?，甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有32=6條旅游線路?！　?2)加法原理:如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法，在第二類方法中又有m2種完成方法，…，在第k類方法中又有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法。　　例如，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機，而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機有2個班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇?！　?3)排列:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素排成一列稱為一個排列。按乘法原理，此種排列共有n(n1)…(nr+1)個，記為P＇n。若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個，記為Pn，即:　　P＇n=n(n1)…(nr+1)，pn=n!　　(4)重復(fù)排列:從n個不同元素中每次取出一個作記錄，放回后再取下一個，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有n＇個。注意，這里的r允許大于n?！　±?，從10個產(chǎn)品中每次取一個做檢驗，放回后再取下一個，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為104。假如上述抽取不允許放回，列所得排列數(shù)為10987=5040?！　?5)組合:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1?！　±纾瑥?0個產(chǎn)品中任取4個做檢驗，所有可能取法是從10個中任取4個的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為:　　這是因為取出的4個產(chǎn)品的全排列有4!=24種。這24種排列在組合中只算一種。　　〔]一批產(chǎn)品共有N個，其中不合格品有M個，現(xiàn)從中隨機取出n個(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個不合格品”的概率是多少?　　從N個產(chǎn)品中隨機抽取n個共有　　個不同的樣本點，它們組成這個問題的樣本空間Ω。其中“隨機抽取”必導(dǎo)致這　　個樣本點是等可能的。以后對“隨機抽取”一詞都可作同樣理解。下面我們先計算事件A0、A1的概率，然后計算一般事件Am的概率?！　∈录嗀0=“恰好有0個不合格品”=“全是合格品”。要使取出的n個產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個合格品中抽取，這有　　種取法。故事件A0的概率為　　事件A1=“恰好有1個不合格品”，要使取出的n個產(chǎn)品只有一個不合格品，其他n1個是合格品，可分二步來實現(xiàn)。第一步從M個不合格品中隨機取出1個，共有　　種取法；第二步從NM個合格品中隨機取出n1個，共有　　種取法。依據(jù)乘法原則，事件A1共含　　個樣本點。故事件A1的概率為:　　　　最后，要使事件Am發(fā)生，必須從M個不合格品中隨機抽取m個，而從NM個合格品中隨機抽取nm個。依據(jù)乘法原則，事件Am共含有個樣本點。故事件Am的概率是:　　其中r=min(n，M)是m的最大取值，這是因為m既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n，也不可能超過不合格品總數(shù)M，即m≤n和m≤M。綜合這兩個不等式，可知m≤min(n，M)=r?！　〖偃缃o定N=10，M=2和n=4，下面來計算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件。因為10個產(chǎn)品中只有2個不合格品，而要從中抽出3個或4個不合格品是不可能的?！　](放回抽樣)抽樣有兩種形式:不放回抽樣與放回抽樣。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個，不放回，再抽下一個，這相當(dāng)于n個同時取出。因此可不論其次序。放回抽樣是抽一個，將其放回，均勻混合后再抽下一個。這時要講究先后次序，現(xiàn)對上例采取放回抽樣方式討論事件Bm=“恰好有m個不合格品”的概率?！　腘個產(chǎn)品中每次隨機抽取一個，檢查后放回再抽第二個，這樣直到抽出第n個產(chǎn)品為止。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問題中共有Nn種等可能的樣本點?！　∈录﨎0=“全是合格品”發(fā)生必須從NM個合格品中用放回抽樣方式隨機抽取n次，它共含有(NM)n種取法，故事件B0的概率為:　　　　事件B1=“恰好有一件不合格品”發(fā)生，必須從NM個合格品中用放回抽樣抽取n1次，而從M個不合格品中抽一次。這樣就有M(NM)n1種取法。再考慮到不合格品出現(xiàn)次序(不合格品可能在第一次抽樣出現(xiàn)，也可能在第二次抽樣中出現(xiàn)，…，也可能在第n次抽樣中出現(xiàn))故B1所含樣本點的個數(shù)共有nM(NM)n1。故事件B1的概率為:　　　　類似地，事件Bm共含有　　個樣本點。其中組合數(shù)　　是由于考慮到m個不合格品在n次放回抽樣中出現(xiàn)的次序所致，故Bm發(fā)生的概率為:　　特別，當(dāng)m=n時，P(Bn)=(M/N)n。　　假如給定N=10，M=2，n=4，在放回抽樣場合來計算諸Bm的概率。先計算:　　這是在一次抽樣中，抽出不合格品的概率；　　這是在一次抽樣中，抽出合格品的概率?！　∮谑侵TBm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次?！　?二)統(tǒng)計定義　　用概率的統(tǒng)計定義確定概率方法的要點如下:　　(1)與考察事件A有關(guān)的隨機現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗的；　　(2)若在n次重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為:　　頻率fn(A)確能反映事件A發(fā)生的可能性大??；　　(3)頻率fn(A)將會隨著重復(fù)試驗次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。在實際中人們無法把一個試驗無限次地重復(fù)下去、只能用重復(fù)試驗次數(shù)n較大時的頻率去近似概率?！　　瞉說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復(fù)試驗，(正面)的變化情況，在重復(fù)次數(shù)N較小時，f波動劇烈，隨著N的增大，f波動的幅度在逐漸變小。歷史上有不少人做過更多次重復(fù)試驗。其結(jié)果()表明。，也是正面出現(xiàn)的概率。這與用古典方法計算的概率是相同的?！　?2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠高于另外一些字母。人們對各類的英語書刊中字母出現(xiàn)的頻率進行了統(tǒng)計。發(fā)現(xiàn)各個字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定。這項研究在計算機鍵盤設(shè)計(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的?！　　　　　　　∪?、概率的性質(zhì)及其運算法則　　(一)概率的基本性質(zhì)及加法法則　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):　　性質(zhì)1:概率是非負的，其數(shù)值介于0與1之間，即對任意事件A，有:　　0≤P(A)≤1　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　性質(zhì)2:若是A的對立事件，則:　　P(A)+P()=1　　或　　P()=1P(A)　　性質(zhì)3:若AB，則:　　P(AB)=P(A)P(B)　　性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:　　P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)　　這個性質(zhì)稱為概率的加法法則。特別當(dāng)A與B不相容時，由于P(AB)=P(φ)=0，則:　　P(A U B)=P(A)+P(B)　　性質(zhì)5:對于多個互不相容事件A1，A2，A3，…，也有類似的性質(zhì):　　P(A1∪A2∪A3∪…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…　　下面的例子可幫助我們理解這些性質(zhì)。　　〔]拋三枚硬幣，至少一個正面出現(xiàn)(記為事件A3)的概率是多少?　　解:在拋三枚硬幣的隨機試驗中，諸如(正，反，正)這樣的樣本點共有8個。A3中所含這樣的樣本點較多，但其對立事件=“拋三枚硬幣，全是反面”={(反，反，反)}，只含一個樣本點，從等可能性可知P()=1/8。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個互不相容事件，由性質(zhì)(