【正文】 375 / 376第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)第一節(jié)質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律　　一、總體、個(gè)體與樣本　　產(chǎn)品的質(zhì)量可以用一個(gè)或多個(gè)質(zhì)量特性來表示。這里的特性可以是定量的，也可以是定性的。例如燈泡的壽命，鋼的成分等都是定量特性；而按規(guī)范判定產(chǎn)品為“合格”或“不合格”，則是一種定性特征?！　≡谫|(zhì)量管理中，通常研究一個(gè)過程中生產(chǎn)的全體產(chǎn)品。在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對(duì)象的全體稱為總體。例如某個(gè)工廠在一個(gè)月內(nèi)按照一定材料及一定工藝生產(chǎn)的一批燈泡?？傮w是由個(gè)體組成的。在上例中，這批燈泡中的每個(gè)特定的燈泡都是一個(gè)個(gè)體。如果總體中包含的個(gè)體數(shù)不大，而對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量特性的觀測(cè)(例如測(cè)量)手段不是破壞性的，工作量也不大，那么有可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)，以得到每個(gè)個(gè)體的質(zhì)量特性值。但是如果總體中的個(gè)體數(shù)N很大，甚至是無限的，或者觀測(cè)是破壞性的或觀測(cè)的費(fèi)用很大，那么不可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)。通常的做法是從總體中抽取一個(gè)或多個(gè)個(gè)體來進(jìn)行觀測(cè)。抽出來的這一部分個(gè)體組成一個(gè)樣本，樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本量。通過對(duì)樣本的觀測(cè)來對(duì)總體特性進(jìn)行研究，是統(tǒng)計(jì)的核心?！　∩鲜隹傮w、個(gè)體和樣本的概念是統(tǒng)計(jì)的基本概念，從上面的敘述中，這些概念都可以是具體的產(chǎn)品。但有時(shí)為了表達(dá)的方便，當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體，而把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值x視為個(gè)體，把從總體中抽出的由n個(gè)產(chǎn)品的特性值x1，x2，…，xn看做為一個(gè)樣本。　　[]從一個(gè)工廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)的一批燈泡中抽取n=8個(gè)燈泡，進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到這8個(gè)燈泡的使用壽命為(單位為小時(shí)):　　325，84，1244，870，645，1423，1071，992　　這8個(gè)燈泡或相應(yīng)的使用壽命即為一個(gè)樣本，樣本量n=8?！　目傮w中抽取樣本的方法稱為抽樣。為使抽取的樣本對(duì)總體有代表性，樣本不能是有選擇的，最好應(yīng)是隨機(jī)抽取的，關(guān)于這一點(diǎn)，以后我們還要詳細(xì)解釋。　　二、頻數(shù)(頻率)直方圖及累積頻數(shù)(頻率)直方圖　　為研究一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，需要研究它的某個(gè)質(zhì)量特性(這里為了敘述簡單起見，僅討論一個(gè)質(zhì)量特性，有必要時(shí)也可以同時(shí)討論多個(gè)質(zhì)量特性)X的變化規(guī)律。為此，從這批產(chǎn)品(總體)中抽取一個(gè)樣本(設(shè)樣本量為n)，對(duì)每個(gè)樣本產(chǎn)品進(jìn)行該特性的測(cè)量(觀測(cè))后得到一組樣本觀測(cè)值，記為x1，x2，…，xn，這便是我們通常說的數(shù)據(jù)?！　榱搜芯繑?shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。下面用一個(gè)例子來說明直方圖的概念及其作法?！　　瞉食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下:　　　　為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)作如下整理:　　(1)找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值xmin，計(jì)算它們的差R=xmaxxmin，R稱為極值，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。在本例中xmax=356，xmin=332，從而R=356332=24。　　(2)根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)k及組距h。　　一批數(shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過這也不是絕對(duì)的。　　　　選擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少?！　∶恳唤M的區(qū)間長度，稱為組距。組距可以相等，也可以不相等。組距相等的情況用得比較多，不過也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的組距。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個(gè)整數(shù)值?！　≡诒纠?，=100，取k=9，R/k=24/9=，故取組距h=3?！　?3)確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的:　　(a0，a1]，(a1，a2]，…，(ak1，ak]通常要求a0xmin，akxmax。在等距分組時(shí)，a1=a0+h，a2=a1+h，…，ak=ak1+h，而每一組的組中值　　　　在本例中取a0=。　　(4)計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率　　確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)ni以及頻率fi=ni/n，列出每組的頻數(shù)、頻率表。　　　　(5)作頻數(shù)頻率直方圖　　在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)(頻率)為高畫一個(gè)矩形，所得的圖形稱為頻數(shù)(頻率)直方圖。到在本例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致的。這是因?yàn)榉纸M是等距的?！　≡诜纸M不完全等距的情形，在作頻率直方圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每個(gè)組的頻率與組距的比值fi/hi為高作矩形。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率?！　?6)累積頻數(shù)和累積頻率直方圖　　還有另一種直方圖使用的是累積頻數(shù)和累積頻率。以累積頻率直方圖為例，首先要計(jì)算累積頻率Fi，F(xiàn)i是將這一組的頻率與前面所有組的頻率累加，也即第1組的F1=f1，第2組的F2=f1+f2，一般的，F(xiàn)i=fj?！　∪绻悦拷M的累積頻率Fi為高作矩形，所得的直方圖稱為累積頻率直方圖?！　】梢詮闹狈綀D獲得數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，其中包含數(shù)據(jù)取值的范圍，以及它們的集中位置和分散程度等信息?！　　　　　?yīng)當(dāng)引起注意的是，如果我們觀測(cè)的數(shù)據(jù)量(即樣本量)n很大，而分組又很細(xì)，那么從頻率直方圖及累積頻率直方圖可以分別得到一根光滑曲線，關(guān)于這一點(diǎn)我們將在本章第三節(jié)詳細(xì)討論?！　∪?、數(shù)據(jù)集中位置的度量　　對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，可以用一些量表示它們的集中位置。這些量中，常用的有樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)?！　?一)樣本均值　　樣本均值也稱樣本平均數(shù)，記為，它是樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的算術(shù)平均數(shù):　　　　[]軸直徑的一個(gè)n=5的樣本觀測(cè)值(單位:cm)為:，，，則樣本均值為:　　=++++)= 對(duì)于n較大的分組數(shù)據(jù)，可利用將每組的組中組x＇i用頻率fi加權(quán)計(jì)算近似的樣本均值:　　〔]，100個(gè)罐頭的凈量的均值按分組計(jì)算為:　　=333+…+357 =34508/100=　　樣本均值是使用最為廣泛的反映數(shù)據(jù)集中位置的度量。它的計(jì)算比較簡單，但缺點(diǎn)是它受極端值的影響比較大。　　(二)樣本中位數(shù)　　樣本中位數(shù)是表示數(shù)據(jù)集中位置的另一種重要的度量，用符號(hào)Me或表示。在確定樣本中位數(shù)時(shí)，需要將所有樣本數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小從小到大重新排列成以下的有序樣本:　　x(1)，x(2)，…，x(n)其中x(1)=xmin，x(n)=xmax分別是數(shù)據(jù)的最小值與最大值?！　颖局形粩?shù)定義為有序樣本中位置居于中間的數(shù)值，具體地說:　　　　〔]，得到如下有序樣本:　　，， 這里n=5為奇數(shù)，(n+1)/2=3，因而樣本中位數(shù)Me=x(3)=?！　∽⒁猓诖死??！　∨c均值相比，中位數(shù)不受極端值的影響。因此在某些場合，中位數(shù)比均值更能代表一組數(shù)據(jù)的中心位置。　　(三)樣本眾數(shù)　　樣本眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值，常記為Mod。，100個(gè)數(shù)據(jù)中，344出現(xiàn)的次數(shù)最多，為12次，因此Mod=344。樣本眾數(shù)的主要缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性影響比較大，而且對(duì)大的n，也很難確定，有時(shí)也不惟一，此時(shí)較多地采用分組數(shù)據(jù)。在本例中第5組(，]，是所有組中最高的，因而該組的組中值345可以作為眾數(shù)的估計(jì)。注意到該數(shù)與前面定的344相差不大?！　∷摹?shù)據(jù)分散程度的度量　　一組數(shù)據(jù)總是有差別的，對(duì)一組質(zhì)量特性數(shù)據(jù)，大小的差異反映質(zhì)量的波動(dòng)。也有一些用來表示數(shù)據(jù)內(nèi)部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本變異系數(shù)。　　(一)樣本極差　　樣本極差即是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，用R表示。對(duì)于有序樣本，極差R為:　　R=x(n)x(1)()　　，5個(gè)軸直徑數(shù)據(jù)的極差R==?！　颖緲O差只利用了數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值，因此它對(duì)數(shù)據(jù)信息的利用不夠充分，極差常用于n不大的情況?！　?二)樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　數(shù)據(jù)的分散程度可以用每個(gè)數(shù)據(jù)xi離其均值的差xi來表示，xi稱為xi的離差。對(duì)離差不能直接取平均，因?yàn)殡x差有正有負(fù)，取平均會(huì)正負(fù)相抵，無法反映分散的真實(shí)情況。當(dāng)然可以先將其取絕對(duì)值，再進(jìn)行平均，這就是平均絕對(duì)差:　　　　但是由于對(duì)絕對(duì)值的微分性質(zhì)較差，理論研究較為困難，因此平均絕對(duì)差使用并不廣泛。使用最為廣泛的是用離差平方來代替離差的絕對(duì)值，因而數(shù)據(jù)的總波動(dòng)用離差平方和　　來表示，樣本方差定義為離差平方和除以n1，用s2表示:　　　　因?yàn)閚個(gè)離差的總和為0，所以對(duì)于n個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有n1個(gè)，稱n1為離差(或離差平方和)的自由度，因此樣本方差是用n1而不是用n除離差平方和?！　颖痉讲钫乃阈g(shù)平方根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即:　　　　注意標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致。　　在具體計(jì)算時(shí)，離差平方和也可用以下兩個(gè)簡便的公式:　　　　因此樣本方差計(jì)算可用以下公式:　　　　，離差平方和、樣本方差及樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算可列表進(jìn)行?！　　　　　橛?jì)算方便，可以將數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)，這樣不影響樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果。例如，在本例中，將每個(gè)數(shù)據(jù)減去15，即可大大減少計(jì)算量。在實(shí)際使用中還可以利用計(jì)算器來計(jì)算，特別是許多科學(xué)計(jì)算用的計(jì)算器，都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算功能。(三)樣本變異系數(shù)　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比稱為樣本變異系數(shù)，有時(shí)也稱之為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，記為cv:　　，樣本變異系數(shù)cv=。第二節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)　　一、事件與概率　　(一)隨機(jī)現(xiàn)象　　在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。從這個(gè)定義中可看出，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn):　　(1)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；　　(2)至于哪一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道?！　佊矌?、擲骰子是兩個(gè)最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象。拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，至于哪一面出現(xiàn)，事先并不知道。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點(diǎn)到6點(diǎn)中某一個(gè)，至于哪一點(diǎn)出現(xiàn)，事先也并不知道?！　　瞉隨機(jī)現(xiàn)象的例子:　　(1)一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)；　　(2)一顧客在超市中購買的商品數(shù)；　　(3)一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間；　　(4)一顆麥穗上長著的麥粒個(gè)數(shù)；　　(5)新產(chǎn)品在未來市場的占有率；　　(6)一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間；　　(7)加工機(jī)械軸的直徑尺寸；　　(8)一罐午餐肉的重量?！　‰S機(jī)現(xiàn)象在質(zhì)量管理中到處可見?！　≌J(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首要的是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果。這里的基本結(jié)果是指今后的抽樣單元，故又稱樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω?！　　皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻gΩ={正面，反面}；　　“擲一顆骰子”的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}；　　“一顧客在超市中購買商品件數(shù)”的樣本空間Ω={0，1，2，…}；　　“一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間”的樣本空間Ω={t:t≥0}；　　“測(cè)量某物理量的誤差”的樣本空間Ω={x:∞x∞}。　　(二)隨機(jī)事件　　隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示，如在擲一顆骰子時(shí)，“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)事件，它由1點(diǎn)、3點(diǎn)、5點(diǎn)共三個(gè)樣本點(diǎn)組成，若記這個(gè)事件為A，則有A={1，3，5}?！　　　碾S機(jī)事件的定義可見，事件有如下幾個(gè)特征:　　(1)任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集。在概率論中常用一個(gè)長方形示意樣本空間Ω，用其中一個(gè)圓(或其他幾何圖形)示意事件A，這類圖形稱為維恩(Venn)圖?！　?2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生，若記ω1，ω2是Ω中的兩個(gè)樣本點(diǎn)():　　當(dāng)ω1發(fā)生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，則事件A發(fā)生；　　當(dāng)ω2發(fā)生，且ω2A(表示ω2不在A中)，則事件A不發(fā)生?！　?3)事件A的表示可用集合，也可用語言，但所用語言應(yīng)是明確無誤的?！　?4)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最大子集，這個(gè)最大子集就是Ω，它對(duì)應(yīng)的事件稱為必然事件，仍用Ω表示。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個(gè)必然事件?！　?5)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)7點(diǎn)”就是一個(gè)不可能事件?！　　　]若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間Ω由下列四個(gè)樣本點(diǎn)組成?！　ˇ?{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中樣本點(diǎn)(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點(diǎn)可類似解釋。下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語言表示。　　A=“至少有一件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)}；　　B=“至少有一件不合格品”={(0，1)，(1，0)，(1，1)}C=“恰好有一件合格品”={(0，1)(1，0)}；　　Ω=“至多有兩件合格品”={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}；　　φ=“有三件不合格品”?！　‖F(xiàn)在我們轉(zhuǎn)入考察“檢查三件產(chǎn)品”這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，它的樣本空間Ω含有23=8個(gè)樣本點(diǎn)。　　Ω={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}　　下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語言表示?！　=“至少有一件合格品”={Ω中剔去(1，1，1)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去(0，0，0)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　C1=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)}；　　C2=“恰有兩件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}；　　C3=“全是不合格品”={(1，1，1)}；　　C0=“沒有一件是不合格品”={(0，0，0)