【正文】 (1)對立事件，在一個隨機(jī)現(xiàn)象中，Ω是樣本空間，A為事件，由在Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱為A的對立事件，記為。　　兩個事件間的互不相容性可推廣到三個或更多個事件間的互不相容，例如在檢查三個產(chǎn)品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒有不合格品”是四個互不相容事件。如擲一顆骰子，事件A=“出現(xiàn)4點(diǎn)”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的發(fā)生，故AB?！　‖F(xiàn)在我們轉(zhuǎn)入考察“檢查三件產(chǎn)品”這個隨機(jī)現(xiàn)象，它的樣本空間Ω含有23=8個樣本點(diǎn)。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間Ω由下列四個樣本點(diǎn)組成。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過6”就是一個必然事件。在概率論中常用一個長方形示意樣本空間Ω，用其中一個圓(或其他幾何圖形)示意事件A，這類圖形稱為維恩(Venn)圖。這里的基本結(jié)果是指今后的抽樣單元，故又稱樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱為這個隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點(diǎn)到6點(diǎn)中某一個，至于哪一點(diǎn)出現(xiàn)，事先也并不知道?！　∫?、事件與概率　　(一)隨機(jī)現(xiàn)象　　在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。在實(shí)際使用中還可以利用計算器來計算，特別是許多科學(xué)計算用的計算器，都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計算功能。　　樣本方差正的算術(shù)平方根稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即:　　　　注意標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致?！　?二)樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　數(shù)據(jù)的分散程度可以用每個數(shù)據(jù)xi離其均值的差xi來表示，xi稱為xi的離差。也有一些用來表示數(shù)據(jù)內(nèi)部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本變異系數(shù)。樣本眾數(shù)的主要缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性影響比較大，而且對大的n，也很難確定，有時也不惟一，此時較多地采用分組數(shù)據(jù)?！　∨c均值相比，中位數(shù)不受極端值的影響。　　(二)樣本中位數(shù)　　樣本中位數(shù)是表示數(shù)據(jù)集中位置的另一種重要的度量，用符號Me或表示?！　∪?、數(shù)據(jù)集中位置的度量　　對一組樣本數(shù)據(jù)，可以用一些量表示它們的集中位置。以累積頻率直方圖為例，首先要計算累積頻率Fi，F(xiàn)i是將這一組的頻率與前面所有組的頻率累加，也即第1組的F1=f1，第2組的F2=f1+f2，一般的，F(xiàn)i=fj。這是因?yàn)榉纸M是等距的。在等距分組時，a1=a0+h，a2=a1+h，…，ak=ak1+h，而每一組的組中值　　　　在本例中取a0=。對于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個整數(shù)值?！　　　∵x擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過多，但也不能太少。　　〔]食品廠用自動裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重數(shù)據(jù)如下:　　　　為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對數(shù)據(jù)作如下整理:　　(1)找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值xmin，計算它們的差R=xmaxxmin，R稱為極值，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。為此，從這批產(chǎn)品(總體)中抽取一個樣本(設(shè)樣本量為n)，對每個樣本產(chǎn)品進(jìn)行該特性的測量(觀測)后得到一組樣本觀測值，記為x1，x2，…，xn，這便是我們通常說的數(shù)據(jù)?！　]從一個工廠一個月內(nèi)生產(chǎn)的一批燈泡中抽取n=8個燈泡，進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到這8個燈泡的使用壽命為(單位為小時):　　325，84，1244，870，645，1423，1071，992　　這8個燈泡或相應(yīng)的使用壽命即為一個樣本，樣本量n=8。抽出來的這一部分個體組成一個樣本，樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本量。在上例中，這批燈泡中的每個特定的燈泡都是一個個體?！　≡谫|(zhì)量管理中，通常研究一個過程中生產(chǎn)的全體產(chǎn)品。第一節(jié)質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計規(guī)律　　一、總體、個體與樣本　　產(chǎn)品的質(zhì)量可以用一個或多個質(zhì)量特性來表示。在統(tǒng)計中，將研究、考察對象的全體稱為總體。如果總體中包含的個體數(shù)不大，而對產(chǎn)品質(zhì)量特性的觀測(例如測量)手段不是破壞性的，工作量也不大，那么有可能對總體中的每個個體都進(jìn)行觀測，以得到每個個體的質(zhì)量特性值。通過對樣本的觀測來對總體特性進(jìn)行研究，是統(tǒng)計的核心。　　從總體中抽取樣本的方法稱為抽樣?！　榱搜芯繑?shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。在本例中xmax=356，xmin=332，從而R=356332=24?！　∶恳唤M的區(qū)間長度，稱為組距。　　在本例中，=100，取k=9，R/k=24/9=，故取組距h=3?！　?4)計算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率　　確定分組后，統(tǒng)計每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個數(shù)ni以及頻率fi=ni/n，列出每組的頻數(shù)、頻率表。　　在分組不完全等距的情形，在作頻率直方圖時，應(yīng)當(dāng)用每個組的頻率與組距的比值fi/hi為高作矩形。　　如果以每組的累積頻率Fi為高作矩形，所得的直方圖稱為累積頻率直方圖。這些量中，常用的有樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)。在確定樣本中位數(shù)時，需要將所有樣本數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小從小到大重新排列成以下的有序樣本:　　x(1)，x(2)，…，x(n)其中x(1)=xmin，x(n)=xmax分別是數(shù)據(jù)的最小值與最大值。因此在某些場合，中位數(shù)比均值更能代表一組數(shù)據(jù)的中心位置。在本例中第5組(，]，是所有組中最高的，因而該組的組中值345可以作為眾數(shù)的估計?！　?一)樣本極差　　樣本極差即是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，用R表示。對離差不能直接取平均，因?yàn)殡x差有正有負(fù)，取平均會正負(fù)相抵，無法反映分散的真實(shí)情況。　　在具體計算時，離差平方和也可用以下兩個簡便的公式:　　　　因此樣本方差計算可用以下公式:　　　　，離差平方和、樣本方差及樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計算可列表進(jìn)行。(三)樣本變異系數(shù)　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比稱為樣本變異系數(shù)，有時也稱之為相對標(biāo)準(zhǔn)差，記為cv:　　，樣本變異系數(shù)cv=。從這個定義中可看出，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個特點(diǎn):　　(1)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個；　　(2)至于哪一個出現(xiàn)，人們事先并不知道?！　　瞉隨機(jī)現(xiàn)象的例子:　　(1)一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)；　　(2)一顧客在超市中購買的商品數(shù)；　　(3)一顧客在超市排隊等候付款的時間；　　(4)一顆麥穗上長著的麥粒個數(shù)；　　(5)新產(chǎn)品在未來市場的占有率；　　(6)一臺電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間；　　(7)加工機(jī)械軸的直徑尺寸；　　(8)一罐午餐肉的重量?！　　皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻gΩ={正面，反面}；　　“擲一顆骰子”的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}；　　“一顧客在超市中購買商品件數(shù)”的樣本空間Ω={0，1，2，…}；　　“一臺電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時間”的樣本空間Ω={t:t≥0}；　　“測量某物理量的誤差”的樣本空間Ω={x:∞x∞}?！　?2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生，若記ω1，ω2是Ω中的兩個樣本點(diǎn)():　　當(dāng)ω1發(fā)生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，則事件A發(fā)生；　　當(dāng)ω2發(fā)生，且ω2A(表示ω2不在A中)，則事件A不發(fā)生?！　?5)任一樣本空間Ω都有一個最小子集，這個最小子集就是空集，它對應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ。　　Ω={(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中樣本點(diǎn)(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點(diǎn)可類似解釋?！　ˇ?{(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}　　下面幾個事件可用集合表示，也可用語言表示。顯然，對任一事件A，有ΩAφ?！　　　?3)相等:在一個隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個事件A與B，若事件A與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等，記為A=B?？梢娋褪恰癆不發(fā)生”，例如在檢查一匹布中，事件“至少有一個疵點(diǎn)”的對立事件是“沒有疵點(diǎn)”。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與B中至少一個發(fā)生”?！　　　?4)事件A對B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為A對B的差，記為AB。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。　　上述正面出現(xiàn)的機(jī)會、市場占有率、中簽率以及常見的廢品率、命中率等都是用來度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　二、概率的古典定義與統(tǒng)計定義　　確定一個事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，相應(yīng)于概率的兩種定義，即古典定義及統(tǒng)計定義?！　?2)定義事件B=“點(diǎn)數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個樣本點(diǎn)，故P(B)=4/36=1/9?，F(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類計數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計數(shù)原理?！　±?，由甲城到乙城去旅游有三類交通工具:汽車、火車和飛機(jī)，而汽車有5個班次，火車有3個班次，飛機(jī)有2個班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個班次供旅游選擇。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有n＇個?！　?5)組合:從n個不同元素中任取r(r≤n)個元素并成一組(不考慮其間順序)稱為一個組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1。其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這　　個樣本點(diǎn)是等可能的。要使取出的n個產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個合格品中抽取，這有　　種取法。故事件A1的概率為:　　　　最后，要使事件Am發(fā)生，必須從M個不合格品中隨機(jī)抽取m個，而從NM個合格品中隨機(jī)抽取nm個?！　〖偃缃o定N=10，M=2和n=4，下面來計算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件。因此可不論其次序。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問題中共有Nn種等可能的樣本點(diǎn)。故事件B1的概率為:　　　　類似地，事件Bm共含有　　個樣本點(diǎn)?！　∮谑侵TBm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次。歷史上有不少人做過更多次重復(fù)試驗(yàn)?！　?2)在英語中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母?！　　　　　　　∪?、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則　　(一)概率的基本性質(zhì)及加法法則　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):　　性質(zhì)1:概率是非負(fù)的，其數(shù)值介于0與1之間，即對任意事件A，有:　　0≤P(A)≤1　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　性質(zhì)2:若是A的對立事件，則:　　P(A)+P()=1　　或　　P()=1P(A)　　性質(zhì)3:若AB，則:　　P(AB)=P(A)P(B)　　性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:　　P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)　　這個性質(zhì)稱為概率的加法法則。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個互不相容事件，由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)?！　　瞉某足球隊在未來一周中有兩場比賽，在第一場比賽中獲勝概率為1/2，在第二場比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊在這兩場比賽中至少有一場獲勝的概率是多少?　　解:設(shè)事件Ai=“第i場比賽獲勝”，i=1，2。條件概率的計算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個特定的(無條件)概率之商來計算，在舉例說明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式。即中18個樣本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個樣本點(diǎn)之一。　　類似地，利用這個解釋，可得P(B|A)=5/15=1/3?！　∵@里談?wù)摰氖菫觚數(shù)膲勖偃缥覀兡塬@得彈藥的貯存壽命表，那么就可計算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個國家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險公司正是利用這個條件概率對30歲的投保人計算人身保險費(fèi)率的。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個標(biāo)本相互獨(dú)立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個概率是很小的。常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，而它們的取值用相應(yīng)的小寫字母x，y，z等表示。例如:　　(1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個離散隨機(jī)變量，它可以取0，1，2，…等值。類似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺車床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機(jī)變量?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。認(rèn)識一個隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內(nèi)容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個區(qū)間上取值。滿足這兩個條件的分布稱為離散分布，這一組pi也稱為分布的概率函數(shù)?！　ν瑯訂栴}，若用放回抽樣，則從10個產(chǎn)品(其中有2個不合格品)中隨機(jī)取出4個，其中不合格品數(shù)Y是另一個隨機(jī)變量，它可取0，1，2，3，4等五個值。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細(xì)介紹過根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。當(dāng)累積到很多x值時，就形成一定的圖形，為了使這個圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測質(zhì)量特性值x愈多，這個圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線。　　　　這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的