【正文】 當 ＿時， 取最小值.[解答] 令 ，則 即 所以 ⑷ 繞 旋轉所成旋轉體體積__[解答] 令 ，則 當 時，當 時，所以 ⑸ 求心臟線 和直線 及 圍成的圖形繞極軸旋轉所成旋轉體體積__[解答] 將極坐標化為直角坐標形式為 ， 則 所以 　4．計算題⑴ 在直線 與拋物線 的交點上引拋物線的法線，求由兩法線及連接兩交點的弦所圍成的三角形的面積.[解答] 由題意可計算兩法線的方程為，即 ，即 兩直線的交點為 ，則 ⑵ 過拋物線 上的一點 作切線，問 為何值時所作的切線與拋物線 所圍成的面積最小.[解答] 直線的斜率 ，則直線方程為 ，與拋物線相交， 即 ，設方程的兩根為 且 ，則 ， 從而 又 ，所以 ⑶ 求通過點 的直線 中使得 為最小的直線方程.[解答] 設 ，則 則 由 可得 即 可得 又 則當 時 為最小，此時 方程為 ⑷ 求函數 的最大值與最小值.[解答] 令 ，可得 當 時， ，即 在 取最小值，此時 當 時， ，即 在 取最大值 此時 .⑸ 求曲線 與 所圍陰影部分面積 ，并將此面積繞 軸旋轉所構成的旋轉體體積，如圖所示.[解答] ⑹ 已知圓 ，其中 ，求此圓繞 軸旋轉所構成的旋轉體體積和表面積.[解答] 令 ，如圖所示，則 ⑺ 設有一薄板其邊緣為一拋物線，如圖所示，鉛直沉入水中， ① 若頂點恰好在水平面上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？ [解答] 拋物線方程為 ，則在水下 到 這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時受到的靜壓力為 要使 ，解得 .② 若將薄板倒置使弦恰好在水平面在上，試求薄板所受的靜壓力，將薄板下沉多深，壓力加倍？[解答] 建立如圖坐標系，則拋物線方程為 ，則在水下 到 這一小塊所受的靜壓力為 所以整塊薄板所受的靜壓力為 若下沉 ，此時受到的靜壓力為 要使 ，解得 .習 題 六一．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，則原微分方程可變化為 解其對應的齊次方程 ，可得 令 為原方程的解，代入方程有 ，解得 ，所以 故原方程的解為 ⑵ [解答] 原方程可變換為 解得 ，即 ，又 ，則 ，故 二．求解下列微分方程.⑴ [解答] 令 ，則 ，原方程可變換為 即 ，解得 ，將 代入可得 ⑵ [解答] 設 ，將方程右端同除 后可變換為 解得 即 由 可得 ，故所求方程為 三．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，又 ，則原方程式可變換為 解其對應的齊次方程，可得 令 為原方程的解，代入方程有 解得 所以 ⑵ [解答] 方程可變換為 其對應其次方程 可解為，積分可得 ，即 ，齊次方程的通解為 令 ，代入原式中有 ，積分可解得 故原方程的通解為 ⑶ [解答] 設 ，則 ， 所以原式可變換為 由貝努利方程，設 ，則方程變換為 其對應的齊次方程的解為 ， 令 ，代入原方程中可解得 所以 ，即 五．求解下列微分方程 ⑴ [解答] 原式可變換為 ，即 設 ，則原方程可變換為 其對應的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入原式中有，可解得 故 ⑵ [解答] 原式可變換為 由貝努利方程，設 ，則原式可變換為 其對應的齊次方程的通解為 令 為原方程的解，代入可得 解得 所以 六．函數 在實軸上連續(xù)， 存在，且具有性質 ，試求出 .[解答] 在實軸上連續(xù)，設 ，則 可得 又 存在，則對任意 ，有 即 處處可微且滿足 解得 又 故 八．求解下列方程 ⑴ [解答] 原式可變換為 ，即 令 ，則又變換為 ，即 解此方程可得 又 ，則 ，所以 ⑵ [解答] 令 ，則 ， 則原式可變換為 解此方程可得 ，即 又 ，則 ，所以 九．求解下列方程 ⑴ [解答] 令 ，則原方程可變換為 即 ，積分可得 即 解得 ⑵ [解答] 令 ，則原方程可變換為 解得 ，又 ，可得 所以 ，則 ，又 ，可得 故 ⑶ [解答] 令 ，則原方程可變換為 令 ，則原方程又可變換為 解此方程可得 ，當 時， ，可得 則 ，又 ，可得 所以 十二．求解下列微分方程. ⑴ [解答] 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應特征方程為 齊次方程通解 特解 所以原式的通解為 ⑵ [解答] 令 ，即 ，則原方程可變化為 即 相應特征方程為 12．設函數 在 上連續(xù)，在 內有二階導數，證明：至少 一個 使 證明： 在 處的泰勒展開式為 兩式相加得 又 在 內有連續(xù)二階導數，所以存在 ，使得 ，所以.13．設函數 在 上連續(xù) ，在 內可導，證明：在 ,使證明：設 ，由柯西中值定理，在 內至少存在 ，使得 即 對于 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 14．設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，且 ，證明： 使得 證明：設 ，由柯西中值定理可得，至少存在 ，使得，即 設 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 從而 ，即 15．設函數 在 上連續(xù)，在 內可導，且 ，證明： ，使得證明：設 ，由柯西中值定理可得，對于 ，存在 ，使對于 ，由拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得 由兩式可得 設函數在 在閉區(qū)間 上可微，對于 每一個 ，函數 的值都在開區(qū)間 內，且 ，證明：在 內有且僅有一個 ，使 .證明： 設 ，則 在 上連續(xù)，又 ，所以 ， ，由零值定理可知，在 內至少存在一個 ，使 ，即 . 利用反證法證明 在 內至多有一個零點.設 且 使得 ， ，則由拉格朗日中值定理可得，至少存在一個 ，使得 這與題設矛盾，綜上所述，命題得證.2．設函數 在 上連續(xù)， 內可導，且 ，證明：在 內 一個 ，使 .證明： 由積分中值定理，可知在 上存在一點 ，使 ， ，從而有 . 于是由洛爾定理可知，在 內存在一個 ，使 ， 3．設函數 在 上有二階導數，且 ，又 ，證明：在 內至少 一個 ，使 .證明：由題意可得 ，根據洛爾定理可得至少存在 ，使得 .又 當 時， .再對