20xx陳文燈考研數學復習指南習題詳解(理工)-高等數學ch10-文庫吧資料
2024-09-11 22:30本頁面
【正文】 xzx dyzyxfdzdzdyzyxfdzdx x2 由于 x, y的輪換對稱性 , 立即可得 ??? ? 2202010 ),(yx dzzyxfdydx 0 1 y =? ? ? ??? ?????? ? ? ?10 10 1 1100 22 22 ),(),( yy yzy dxzyxfdzdydxzyxfdzdy 該題的積分區(qū)域如下圖 : 13 z 1 y 1 x 對于 22 yxz ?? , 當 x = 0, y = 1時 , z = 1。3239。 ayx ?? 正 交變換不改變面積 , 所以 23239。21zyxzzyyzyxx 代入曲面方程后得到 222 3239。3139。3139。6139。 ???? 反解變換式可得 ???????????????????39。39。 上式是正交變換 , 所以 39。61626139。1),(),( ?????yxyxvvuuvuyx . 所以 dudvufdu dvufdx dyyxf uvuyx ? ????? ?????? ????????? 22202122222)(21)()( =?? ?22 2 )(2 duufu 八 . 設 f(t)是半徑為 t的圓周長 , 試證 : ??? ????? ? a tayxyx dtetfdydxe0 22222222 )(2 12 1 ?? 證明 : 左 = ???? ????? ? aayxyx deddydxe0 22022222222 12 1 ??????? ? ?? a de0 22221 ????? ? ?? a def0 22)(21 ????=右 九 . 設 m, n均為正整數 , 其中至少有一個是奇數 , 證明 : 0222????? dydxyxayx nm 證明 : 區(qū)域 D既對 x軸對稱 , 又對 y軸對稱 . 當 m為奇數時 nmyx 為對于 x的奇函數 , 所以二重 積分為 0。39。 ?? 4. ???? ??D dx dyyx yx 222211, D: x2 + y2 ? 1, x ? 0, y ? 0. 解 . ??? ????D dx dyyx yx 222211 ??? ????? 102211411, dtttxddD ???????? utt ???11令 ??10 222 )1( duuu? ?tan?u令 ?? ??? ? d? 40 422se c se ctan = )2(8s in40 2 ??? ?????? d . 六 . 求證 : ??? ? 21 )(2ln)( duufdx dyxyfD, 其中 D是由 xy = 1, xy = 2, y = x及 y = 4x(x 0, y 0)所圍成之區(qū)域 . 證明 : 令 u = xy, y = vx. 即vux?, uvy? . vvu yx 21),( ),( ???. 所以 5 ?? ????? ??? 212141 )(2ln21)(2 1)()(,duufdvvduufdudvvufdx dyxyfvuDD 七 . 求證 : ?????? ???22 21 )(2)(22 duufudx dyyxfyx 證明 : 令 yxu ?? , yxv ?? . 2139。 2020 = ?? ??????????????????aa fafdyyfdyyayayaxyf 00 ))0()(()(39。 000 = ????????????????ayaayayaxyayaxddyyfxxyaaydxdyyf)2(4 )()2()(39。 解 . ????????? ayaxa yxxa dxdyyfdyyxxa yfdx ))(()(39。39。39。39。 1 第十章 重積分 一 . 將二重積分 ???D dyxfI ?),(化為累次積分 (兩種形式 ), 其中 D給定如下 : 1. D: 由 xy 82? 與 yx 82? 所圍之區(qū)域 . 2. D: 由 x = 3, x = 5, x－ 2y + 1 = 0及 x－ 2y + 7 = 0所圍之區(qū)域 . 3. D: 由 122 ??yx , y ? x及 x 0所圍之區(qū)域 . 4. D: 由 |x| + |y| ? 1所圍之區(qū)域 . 解 . 1. ? ????? ??? 40 8820 22 ),(),(),(yyxxD dxyxfdydyyxfdxdyxfI ? 2. ? ??? ???? 53 272 1),(),( xxDdyyxfdxdyxfI ? ? ?? ?? ??? ??? 65 5 7253 5332 123 ),(),(),( yy dxyxfdydxyxfdydxyxfdy 3. ? ??? ??? 22 201 ),(),( xxD dyyxfdxdyxfI ? ? ?? ? ??? 12210220 02 ),(),( yy dxyxfdydxyxfdy 4. ? ?? ??? ?????? ???1011111
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