20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-線代ch2-文庫(kù)吧資料
2024-08-29 18:51本頁(yè)面
【正文】 1112116 ?? ??? EAAAAEA ，??????????????21232321 16. 已知 A, B是 n階方陣 , 且滿足 A2 = A, B2 = B, 與 (A－ B)2 = A + B, 試證 : AB = BA = 0. 解 . 因?yàn)?(A－ B)2 = A + B, 所以 ))(())(()( 3 BABABABABA ??????? 于是 2222 BABBAABABBAA ??????? , 所以 BAAB? BABBAABABABA ???????? 222 ,)( 因?yàn)? A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以 0?? BAAB . 。 1 第二章 矩陣 一 . 填空題 1. 設(shè) ?1, ?2, ?3, ?, ?均為 4維向量 , A = [?1, ?2, ?3, ?], B = [?1, ?2, ?3, ?], 且 |A| = 2, |B| = 3, 則|A－ 3B| = ______. 解 . ????? 3222|3| 321 ?????? BA = ????? 38 321 ??? = ???? 321(8 ?? 56|)|3|(|8)3 321 ????? BA??? 2. 若對(duì)任意 n 1矩陣 X, 均有 AX = 0, 則 A = ______. 解 . 假設(shè) ? ?mA ?? ?1? , ?i是 A的列向量 . 對(duì)于 j = 1, 2, … , m, 令?????????????????010??jX , 第 j個(gè)元素不為 0. 所以 ? ?m?? ?10010??????????????????j???(j = 1, 2, … , m). 所以 A = 0. 3. 設(shè) A為 m階方陣 , 存在非零的 m n矩陣 B, 使 AB = 0的充分必要條件是 ______. 解 . 由 AB = 0, 而且 B為非零矩陣 , 所以存在 B的某個(gè)列向量 bj為非零列向量 , 滿足 Abj = 0. 即方程組 AX = 0有非零解 . 所以 |A| = 0。 反之 : 若 |A| = 0, 則 AX = 0有非零解 . 則存在非零矩陣 B, 滿足 AB = 0. 所以 , AB = 0的充分必要條件是 |A| = 0. 4. 設(shè) A為 n階矩陣 , 存在兩個(gè)不相等的 n階矩陣 B, C, 使 AB = AC的充分條件是 ______. 解 . 0||0)( ???????? ACBCBAACABCB 非零且且 5. ? ?42121bbbaaan?????????????? = ______. 解 . ? ??????????????????????????nnnnnnn babababababababababbbaaa?????????21222121211142121 6. 設(shè)矩陣 12 ,23,32 11 ?????????? ?? BEAABA 則= ______. 2 解 . ?2A ?????? ?32 11 ?????? ?32 11= ?????? ?? 78 41 EAAB 232 ??? = ?????? ?? 78 41－ ?????? ?96 33 + ?????? 20 02= ?????? ?? 02 12 21|| *1 ??? BBB ?????? ?? 22 10=?????????? 11 210 7. 設(shè) n階矩陣 A滿足 12 ,032 ???? AEAA 則= ______. 解 . 由 ,0322 ??? EAA 得 EEAA 3)2( ??? . 所以 0|3||2||| ???? EEAA , 于是 A可逆 . 由 ,0322 ??? EAA 得 )2(31,032 11 EAAAEA ?????? ?? 8. 設(shè) )9()3(,10002010121 EAEAA ????????????? ?則=______. 解 . ?2A??????????100020101??????????100020101 =??????????100040201 ?? EA 92?????????????800050208 , ?? EA 3??????????400050104 ???????????100010001400050104??? ?????????????4100 010001100050104???????????????? ?41000104101100050004??? ???????????????? ?41000510161041100010001???, ???????????????? ??? ?41000510161041)3( 1EA )9()3( 21 EAEA ?? ? =???????????????? ?41000510161041?????????????800050208 =?????????????200010102 3 9. 設(shè) ._ _ _ _ _ _])2[(_ _ _ _ _ _ ,)(_ _ _ _ _ _ _ ,3342122111*1*1 ?????????
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