【正文】 在 上應(yīng)用洛爾定理，可得至少存在一個(gè) ，使得 ，命題得證.4．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi) 一個(gè) ，使 .證明：設(shè) ， 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ，則 在 滿足柯西定理，于是有 ，使 即 所以 5．設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 ，證明： 一個(gè) ，使 證明：設(shè) ，則 在 上滿足拉格朗日中值定理，于是有 使 即 所以 6．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明： 一個(gè) ，使證明：設(shè) 則 在 上滿足洛爾定理，于是存在 ，使 ，即 7．設(shè)函數(shù) 在 上有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，證明：至少 一個(gè) 使 證明：設(shè) ，則 ，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,又 則 在 上，由洛爾定理可得，存在 ，使得 ,即8．設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 ，證明：在 內(nèi)至少 一個(gè) ，使 證明：設(shè) ，則在 內(nèi)，由柯西中值定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 即 所以 9．若 ，證明： 一個(gè) 或 ，使證明：設(shè) ，則在 上，由柯西中值定理可得，存在一個(gè) ，使得 即 化簡(jiǎn)可得 10．函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且 ， ，證明：至少 一個(gè) ，使 .證明：設(shè) ，由 ，可得 由洛爾定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 即 11．設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少 一個(gè) 使 證明：設(shè) ，則 ，由洛爾定理可得，至少存在一個(gè) ，使得 ，即習(xí) 題 五1. 設(shè) 在 上連續(xù)，且單調(diào)減少， ，證明：對(duì)于滿足 的任何 ， ，有 證明：由積分中值定律有 又 ，且單調(diào)遞減，故當(dāng) 時(shí)， 所以 即 2． 已知 在 連續(xù)，對(duì)任意 都有 證明： 證明： 在 連續(xù),則 ，又 所以 1． 若 在 上連續(xù)，證明：對(duì)于任意選定的連續(xù)函數(shù) ，均有 則在 上， 證明：假設(shè)在 上存在 使得 ，令 ，由于 在 上連續(xù)，故存在 在 上，使得 .又令 則 結(jié)論與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立.2．[解答] 原式 ⑸ [解答] 設(shè) 原式 ⑹ [解答] 設(shè) ，則 原式 ⑺ [解答] 設(shè) ， 原式 3．求下列不定積分. ⑴ [解答] 原式 ⑵ [解答] 設(shè) ，則 原式 4．求下列不定積分.⑴ [解答] 設(shè) ， 原式 ⑵ [解答] 設(shè) ， 設(shè) 是連續(xù)函數(shù)，且 ，則 [解答] ，所以應(yīng)該選 .3． 于是 在 處連續(xù).⑵ 分別求 在 處的左、右導(dǎo)數(shù) 所以 在 處連續(xù)且可導(dǎo).5．求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別類型.① [解答] 為函數(shù) 的間斷點(diǎn) 又 所以 為函數(shù) 第一類跳躍間斷點(diǎn).② [解答] 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 即 ，所以 為函數(shù) 第一類間斷點(diǎn).③ [解答] 當(dāng) 時(shí)， 所以 為第一類跳躍間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 不存在，所以 為第二類間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 所以 為第一類可去間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 所以 為第二類無窮間斷點(diǎn).6．試確定常數(shù) 的值，使極限 存在，并求該極限值.[解答] 原式 存在由 可得 ，即 則原式 同理由 可得 ，即 所以原式 7．設(shè) ，且 是 的可去間斷點(diǎn)，求 的值.[解答] 存在，由 可得 . 原式 存在，同理由 可得 .8．設(shè) 求 的值.[解答] 原式 ( ) 由 可得 原式 ，即 9．討論函數(shù) 在 處的連續(xù)性.[解答] 當(dāng) 時(shí)， 所以若 時(shí)， 在 連續(xù).若 時(shí)， 在 為第一類跳躍間斷點(diǎn).當(dāng) 時(shí)， 是 的第二類間斷點(diǎn).10．設(shè) 在 的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)，且 求 及 [解答] 由 可得所以 第二章一、填空題7．設(shè) ，則 __[解答] 原式 所以 8．已知 ，則 __[解答] 原式 即 令 ，則 9．設(shè) 為可導(dǎo)函數(shù)， ，則 __[解答] 原式 10．設(shè)函數(shù) 由方程 所確定，則曲線 在點(diǎn) 處的法線方程為__[解答] 兩邊求導(dǎo) 將 代入可得 故所求的方程為 二．選擇題1．2015版陳文登復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解高等數(shù)學(xué)習(xí) 題 一1． 填空題⑴ 設(shè) ，則常數(shù) __ [解答] 由題意可得 即 ⑵ __[解答] 且 又 由夾逼原則可得原式 ⑶ 已知極限 ，則 [解答]當(dāng) 時(shí)，由 可得 原式 同理可得 故原式 ⑷ 已知 則 __[解答] 原式 ⑸ 已知函數(shù) 則 __[解答] 又 所以 ⑹ __[解答] 原式 ⑺ 設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)， ， ,若 在 處連續(xù)，則常數(shù) ＿[解答] ⑻ 設(shè)當(dāng) 時(shí)， = 為 的 階無窮小，則 [解答] 由此可得 ， ⑼ __[解答] 原式 ⑽ 已知 ，則 ＿， ＿[解答] = 若極限存在 則 得 故 2．選擇題⑴ 設(shè) 和 在 內(nèi)有定義， 為連續(xù)函數(shù)，且 ， 有間斷點(diǎn)，則 必有間斷點(diǎn) 必有間斷點(diǎn) 必有間斷點(diǎn) 必有間斷點(diǎn)[解答]若 連續(xù)，則 也連續(xù)，與題設(shè)矛盾，所以應(yīng)該選 .⑵ 設(shè)函數(shù) 則 是偶函數(shù) 無界函數(shù) 周期函數(shù) 單調(diào)函數(shù)[解答]因?yàn)?，所以 ，又 為無界函數(shù)，當(dāng)任意給定一正數(shù) ，都存在 時(shí)，使得 ，于是 ，故 為無界函數(shù)，所以應(yīng)該選 .⑶ 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極限是 等于 等于 為 不存在但不為 [解答] 所以應(yīng)該選 .⑷ 若函數(shù) 在 處連續(xù)，則 的值是 [解答] ，則 ，所以應(yīng)該選 .⑸ 極限 的值是 不存在[解答] 原式 ，所以應(yīng)該選 .⑹ 設(shè) 則 值是 均不對(duì)[解答] 原式 解得 所以應(yīng)該選 .⑺ 設(shè) 則 的值為 ， ， ， 均不對(duì)[解答] 原式 ，由 可得 ，所以應(yīng)該選 .⑻ 設(shè) 則當(dāng) 時(shí)， 是 的等價(jià)無窮小 與是 同階但非等價(jià)無窮小 是比 較低階的無窮小 是比 較高階無窮小[解答] 原式 ，所以應(yīng)該選 .⑼ 設(shè) 則 的值是 [解答] 若原式極限存在，當(dāng) 時(shí)，由 可得 ，所以應(yīng)該選 .⑽ 設(shè) 其中 則必有 [解答] 原式 可得 ，所以應(yīng)該選 .