20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-高等數(shù)學(xué)ch3-展示頁(yè)
2024-09-02 18:50本頁(yè)面
【正文】 = ? ? ???? dtttadtta )2co s2co s21(24 )2co s1(8 2222 12 = ctatatadttatata ??????? ? 4s i n42s i n232 4c o s122s i n22 422222 = ctttattata ???? )s i n21(c o ss i nc o ss i n43 2222 = cttattata ??? c oss in2c oss in33 3222 = ca xaaxaxaa xaaxaaxa ????? 2222222232a r c s i n3 222 = cxaxxaaxa ???? )2(232a r c s in3 2 十四 . 求下列不定積分 : 1. ?? xx dx co s1sin 解 . ?? ??? ?????????? x xdxx xdxx dxxxx dx 222 c o s1 c o s12c o s1s i n )c o s1(c o s1s i n s i nc o s1s i n ?????????? )2(2)1(12c o s1 2222 uu duuduux令 ? ????????? cuuuduuu |22|ln22 11)2 11( 22 cxxx ??? ????? |c os12 c os12|ln22 1c os1 1 2. ? ?? dxxxcos2 sin2 解 . ??? ??????? xxddxxdxxx c o s2 )c o s2(c o s2 12c o s2 s i n2 tx ?2tan令 ?? ?????????? |c o s2|ln322|c o s2|ln112122 2222 xtdtxtttdt = cxxcxt ??????? |co s2|ln)2( t an31ar c t an34|co s2|ln3ar c t an34 3. ? ? dxxx xx c ossin c ossin 解 . ?? ? ???? dxxx xxdxxx xx c o ss i n 1c o ss i n2121c o ss i n c o ss i n 13 = ? ? ? ????? ?? dxxxdxxxdxxxx co ss i n 121)co s( s i n21co ss i n 1co s )( s i n21 2 = ?????)4s in ()4(42)c o s( s in21??xxdxx = cxxx ???? |)82t a n (|ln42)c o s( s in21 ? 十五 . 求下列不定積分 : 1. dxxxx? ?1 解 . ctttddttttxdxxxx ??????????? ??? 33332 1341 )1(32121 令 cx ???? 23134 2. ??? dxeexx11 解 . ???? ????????? dttdtttttedxeedxee xxxxx )1( s e ct a nt a n 1s e cs e c1111 2 令 ceeectttxxx ????????? 1a r c c o s)1l n (|t a ns e c|ln 2 3. dxx xx? ?? 1a r c ta n1 解 . 令 ttdxtxxtxt t a ns e c2,s e c,1t a n,1a r c t a n 22 ?????? ???? ?????? dtt ttdtttdttttttdxx xx22222 c o sc o s12ta n2ta ns e c2s e cta n1a r c ta n1 ? ? ? ? ??????? 222 t a n2t a n2t a n22c o s2 tdttttttdtdttdttt ctttt ???? 2|c o s|ln2t a n2 cxxxx ??????? 2)1( a r c t a n||ln1a r c t a n12 第三章 一元函數(shù)積分學(xué) (定積分 ) 14 一．若 f(x)在 [a， b]上連續(xù) , 證明 : 對(duì)于任意選定的連續(xù)函數(shù) ?(x), 均有 0)()( ???ba dxxxf, 則 f(x) ? 0. 證明 : 假設(shè) f(?)? 0, a ? b, 不妨假設(shè) f(?) 0. 因?yàn)?f(x)在 [a， b]上連續(xù) , 所以存在 ? 0, 使得在 [?－ ?, ? + ?]上 f(x) 0. 令 m = )(min xfx ???? ????. 按以下方法定義 [a， b]上 ?(x): 在 [?－ ?, ? + ?]上 ?(x) = 22 )( ?? ?? x , 其它地方 ?(x) = 0. 所以 02)()()()( 2 ????? ?? ???????? mdxxxfdxxxfba. 和 0)()( ???ba dxxxf矛盾 . 所以 f(x) ? 0. 二 . 設(shè) ?為任意實(shí)數(shù) , 證明 : ??? 20 )(tan1 1?? dxxI=4)( c o t1 120 ??? ??? dxx. 證明 : 先證 : 4)( c o s)( s in )( s in20 ?? ??? dxxfxf xf=??20 )( c os)( s in )( c os? dxxfxf xf 令 t = x?2? , 所以 ??? 20 )( c os)( s in )( s in? dxxfxf xf ? ??02 )()( s in)( c o s )( c o s? tdtftf tf = ??? 20 )( s in)( c o s )( c o s? dttftf tf ? ?20 )( s in)( c os )( c os? dxxfxf xf 于是 ??? 20 )( c o s)( s in )( s in2 ? dxxfxf xf ??? 20 )( c os)( s in )( s in? dxxfxf xf ? ?20 )( s in)( c os )( c os? dxxfxf xf =2)( c os)( s in )( c os)( s in 2020 ??? ???? ?? dxdxxfxf xfxf 所以 4)( c o s)( s in )( s in20 ?? ??? dxxfxf xf=??20 )( c os)( s in )( c os? dxxfxf xf. 所以 ??? 20 )( tan1 1?? dxxI 4)( s i n)( c o s)( c o sc o ss i n11 2020??????? ??????????? ?? xx xdxxx 同理 4)( c ot1 120 ??? ??? ? dxxI. 15 三．已知 f(x)在 [0， 1]上連續(xù) , 對(duì)任意 x, y都有 |f(x)－ f(y)| M|x－ y|, 證明 nMnkfndxxf nk 21)( 110 ???????? ?? ? 證明 : ? ??? ??nknknkdxxfdxxf 1 110 )()( , ???nk nkfn 1 )(1 dxnkfnk nknk??? ?1 1)( nMnMdxxnkMdxnkxMdxnkfxfdxnkfxfnkfndxxfnknknknknknknknknknknknknknk212)()()(|)()(|)(1)(1211111111110???????? ???????????? ????? ?? ??
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