20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-高等數(shù)學(xué)ch7-展示頁(yè)
2024-09-16 10:08本頁(yè)面
【正文】 ??????? ???? nnn nn , 所以 ??? ?????? ??1 1312nnnn收斂 , 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 4. ??? ???????1 )13(852)12(753)1(nn nn?? 解 . 因?yàn)?13223 32l i m)13(52)12(53)23)(13(52)32)(12(53l i ml i m 1 ??????????????????????? nnnnnnnnuunnnnn???? 所以 ??? ??????1 )13(852)12(753n nn?? 收斂 , 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 5. ?????11 1tan)1(nn nn 解 . ??nlimnnnn11tan=1, ???11n nn收斂 , 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . 7 6. ??? ?1 )sin(n nn?? 解 . ?? ???? ??? 11 s i n)1()s i n( nnn nnn??? . 因?yàn)??????nnn 1sinlim , 又因?yàn)???? ?11)1(nn n , 條件收斂 , 所以原級(jí)數(shù)條件收斂 . 四 . }{na 單調(diào)下降 , 且 ??? ?1 )1(n nna 發(fā)散 , 證明 : 級(jí)數(shù) ?????11 )1(n nnaa 收斂 . 2. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列 }{na , }{nb 滿足 0(11 ??? ?? ??nnnn baab為常數(shù) ), 證明 : 級(jí)數(shù) ???1n na收斂 . 證明 : 1. 因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列 }{na 單調(diào)下降 , 且 ??? ?1 )1(n nna 發(fā)散 , 由萊布尼茲判別法 , aann ???lim 存在 , 且 0?a . 容易證明 : aan n ?? , .(反設(shè)存在 N, 使得 aaN? . 則 kNNN aaaa ?? ???? ?1 , 令 ??k , 得到 aaa N ?? , 矛 盾 ). 所以 a aaa aaaa nnn nnnn 1111 ??? ?????. 因?yàn)??????11nnn aaa 收斂 , 所以 ?????11 )1(n nnaa 收斂 . 2. 考 察 數(shù) 列 }{ nnab , 因?yàn)?0(11 ??? ?? ??nnnn baab為 常 數(shù) ), 所以0111 ??? ??? nnnnn aabab ?, 即該數(shù)列遞減有下界 , 于是 nnn ab??lim 存在 . 由此推出??? ???1 11 )(n nnnn abab 收斂 . ? 111 ??? ?? nnnnn ababa , 所以級(jí)數(shù) ???1n na 收斂 . 五 . 求下列級(jí)數(shù)的收斂域 : 1. ??? ??123 )1)(3(nnn xn 8 解 . ??? ?????? ?????? 12312123 )1()1(3)1)(3(nnnnnnnn xnxxn 第一個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑為31, 第二個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1. 所以它們的共同收斂區(qū)域?yàn)?311,311( ?? . 考察端點(diǎn) : 當(dāng)311??x時(shí) , 得 ?? ???? ? 131 31 n nnn 第一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散 , 第二個(gè)級(jí)數(shù)收斂 . 所以該級(jí)數(shù)發(fā)散 . 原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)?)311,311( ??. 2. ??????112 12)1(nnn nx 解 . 1||12 ||lim 212 ?????? xnxn nn, 于是 1|| ?x . 當(dāng) 1?x 時(shí) , 得 ??? ??1 121)1(nn n , 收斂 。 1 第七章 無(wú)窮級(jí)數(shù) 一 . 選擇題 1. 設(shè) ?為常數(shù) , 則級(jí)數(shù) ??? ?????? ?1 21sinn nnn? (A) 絕對(duì)收斂 . (B) 發(fā)散 . (C) 條件收斂 . (D) 斂散性與 ?取值有關(guān) . 解 . ???1 2sinn nn? 絕對(duì)收斂 , ???11n n發(fā)散 , 所以 ??? ?????? ?1 21sinn nnn? 發(fā)散 . (B)是答案 2. 設(shè) )11ln()1(nu nn ???, 則 (A) ???1n nu與 ???12n nu都收斂 . (B) ???1n nu與 ???12n nu都發(fā)散 . (C) ???1n nu收斂 , 而 ???12n nu發(fā)散 . (D) ???1n nu發(fā)散 , ???12n nu收斂 . 解 . 由 萊 布 尼 茲 判 別 法 ???1n nu收斂 , ?? ???? ?? 1212 )11(lnnn n nu. 因?yàn)?)11(lnlim2???? n nn , ???11n n發(fā)散 , 所以 ???12n nu發(fā)散 . ( C)是答案 . 3. 設(shè)函數(shù) 10,)( 2 ??? xxxf , 而 ??? ??????? 1 ,s i n)( n n xxnbxs ?. 其中 ? ?? 10 ),2,1(,s i n)(2 ?nx dxnxfb n ?, 則 )21(?s 等于 (A) 21? , (B) 41? , (C) 41 , (D) 21 解 . ? ??????? xxnbxsn ,s i n)( ?是 10,)( 2 ??? xxxf 進(jìn)行奇展拓后展成的富氏級(jí)數(shù) . 所以 )21(?s = 41)21()21( ????? fs . (B)是答案 .
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