抽屜原理典型習(xí)題-文庫吧資料
2025-03-31 02:31本頁面
【正文】 7棋盤的每個(gè)方格染紅藍(lán)兩色之一. 證明：存在一個(gè)由若干方格構(gòu)成的矩形，其4個(gè)角上的方格同色.證法一：每一列中2格同色，用一條相同顏色的線段連結(jié)這2格的中心，得到7條線段，必有4條同色，設(shè)為紅色. 由于連線方式只有3種（3格中選兩格），必有兩條紅色線段連線方式相同，其所對(duì)應(yīng)的4格構(gòu)成4角都是紅色的矩形. 證法二：第一行至少有4格同色，不妨設(shè)前4格是紅色，若第二行前4格中有兩格紅色，則找到4角同是紅色的矩形；否則至少有3格是藍(lán)色，不妨設(shè)是前3格. 此時(shí)第三行的前3個(gè)必有兩格同色，若是紅色，則其與第一行相同列的兩個(gè)紅格組成4角同是紅色的矩形；若是藍(lán)色，則其與第二行相同列的兩個(gè)藍(lán)格組成4角同是藍(lán)色的矩形. ，其中任何3點(diǎn)都不共線，任意兩點(diǎn)間連一條紅色線段或藍(lán)色線段，證明：一定存在一個(gè)同色三角形（三邊顏色相同的三角形）. 證：由某點(diǎn)A出發(fā)的5條線段中必有3條同色，不妨設(shè)ABABAB3是紅色，考慮線段B1BB1BB2B3，若其中有紅色線段BiBj，則△ABiBj是紅色三角形；若全是藍(lán)色，則△B1B2B3是藍(lán)色三角形. 評(píng)注：如果把點(diǎn)看成元素，染紅色看成是元素間有關(guān)系A(chǔ)，染藍(lán)色看成是元素間沒有關(guān)系A(chǔ)，那么本題可表述為：給定6個(gè)元素，任意2個(gè)元素間或者有關(guān)系A(chǔ)或者沒有關(guān)系A(chǔ)，則一定可以選出3個(gè)元素，它們兩兩間有關(guān)系A(chǔ)或者兩兩間沒有關(guān)系A(chǔ). 比如把元素改成人，2個(gè)元素間的關(guān)系改成彼此認(rèn)識(shí)，則可得到如下有趣命題：世界上任意選6個(gè)人，證明：一定可以從中找出3個(gè)人，他們兩兩認(rèn)識(shí)或兩兩不認(rèn)識(shí). 四.“連續(xù)”問題，他每天至少做一道題，每星期至多做12道題. 證明：一定存在連續(xù)的若干天，他恰好做了21道題. （教程P295/7）證：設(shè)此學(xué)生前i天做xi道題（i=1，2，…，77），則x1x2…x77≤1211=132，令yi=xi+21，則y1y2…y77≤132+21=153，于是x1，x2，…，x77，y1，y2，…，y77這154個(gè)數(shù)都≤153，其中必有兩數(shù)相同，設(shè)xi=yj，則xi=xj+21，xi?
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