【正文】 要條件 ，然后 進(jìn)一步再利用羅斯 霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 。 85 綜上所述 ， 根據(jù) H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先 ， 根據(jù)霍爾維茲多項式的必要條件檢查 A(s)的系數(shù) ai(i=0, 1, 2, … , n)。 根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多項式的定義 ， 若羅斯陣列第一列元素值的符號相同 (全為正值 )， 則 H(s)的極點全部在左半平面 ， 因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng) 。羅斯陣列共有 n+1行 (以后各行均為零 )， 第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計算： 84 羅斯判據(jù) (羅斯準(zhǔn)則 ) 指出：多項式 A(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值 。 82 若 n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準(zhǔn)則 ， 稱為 羅斯 霍爾維茲準(zhǔn)則 (RH準(zhǔn)則 )。若 ai全為負(fù)實數(shù) ， 可把負(fù)號歸于 H(s)的分子 B(s)， 因而該條件又可表示為 ai＞ 0。 若 A(s)=0的根全部在左半平面 ， 則 A(s)稱為霍爾維茲多項式 。 設(shè) n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 式中， m≤n， ai(i=0, 1, 2, …, n)、 bj(j=0, 1, 2, …, m)是實常數(shù)。 因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的三種情況 : 0)]([lim ???tht79 極點在 S平面的分布與終值的關(guān)系 80 對于三階以上的高階 因果 系統(tǒng)，求解系統(tǒng)的極點比較繁瑣。 ?不穩(wěn)定系統(tǒng)： H(s)有極點在右半平面，或在虛軸上有二階或者二階以上的重極點，則在足夠長的時間以后， h(t) 仍然增長，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 ()Hs j?1）如果已知 LCCDE描述的系統(tǒng)是因果的，則 的 ROC必是最右邊極點的右邊。 ()Hs2）如果 LCCDE具有一組全部為零的初始條件，即初始松弛條件，則系統(tǒng)是因果的， 的ROC必是最右邊極點的右邊。 2. 如果 LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC必然包括 軸。 1. 如果 LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是有理函數(shù)，且系統(tǒng)因果，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC是最右邊極點的右邊。 j?而對系統(tǒng) ( ) ,1seHs s?? ? R e [ ] 1s ?? 仍是非有理函數(shù)， ROC是最右邊極點的右邊， 但由于 ，系統(tǒng)是因果的。 ()Hs72 例 2. 若有 ( ) ,1seHs s? ? R e [ ] 1s ?? 的 ROC是最右邊極點的右邊，但 是非有理函數(shù)， ，系統(tǒng)是非因果的。 ROC包括 軸 j? ? 系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。 ()Hs71 例 1. 某系統(tǒng)的 顯然該系統(tǒng)是因果的，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ()h t d t??? ???()Hs()Hj?j?()Hs只有 當(dāng) 是有理函數(shù)時，逆命題才成立。因此 必存在。 ROC是最右邊極點的右邊并不一定系統(tǒng)因果。由于 反因果系統(tǒng) 的 是左邊信號， 的 ROC必是最左邊極點的左邊。 0t? ( ) 0ht ?69 如果 時 ，則 系統(tǒng)是反因果的 。 ()Hs()Hs( ) ( )X j H j??? ste( ) ( )X s H s? ； 而以 為基底分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是 。當(dāng)以 為基底分解信號時， LTI系統(tǒng) 對輸入信號的響應(yīng)就是 jte ?()Xs68 連同相應(yīng)的 ROC也能完全描述一個 LTI系統(tǒng)。 即是系統(tǒng)的 頻率響應(yīng) 。表明： ()Xs 0s?()xt()sX s j?0() ( 0 ) ( )std x t e d t x sX sdt?? ??? ? ? ?? 當(dāng) 時， 0s?00() ( ) l im ( ) ( 0 )sttd x t e d t d x t x t xdt???? ????? ? ???0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ???Page498：例 64 極點在 S平面的分布與終值的關(guān)系 65 Some Laplace Transform Pairs S1()ate u t? as ?1()nt u t 1!?nsn)(t? 1)( 0tt ?? 0ste? 常用拉氏變換對 ()ut66 Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform 一 . 系統(tǒng)函數(shù)的概念： 以卷積特性為基礎(chǔ)，可以建立 LTI系統(tǒng)的拉氏變換分析方法，即 ( ) ( ) ( )Y s X s H s?? 其中 是 的拉氏變換，稱為 系統(tǒng)函數(shù)或 轉(zhuǎn)移函數(shù) 。 0t?Proof: 將 在 展開為 Taylor級數(shù)有： ()xt 0t ?? 10. 初值與終值定理 : （ The Initial and Final Value Theorems) 61 2()( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( )2!nnttx t x x t x x u tn? ? ? ???? ??? ? ? ? ? ?????對上式兩邊做拉氏變換： ()211 1 1( ) (0 ) (0 ) (0 )nnX s x x xs s s? ? ???? ? ? ? ?()101( 0 )nnnx s????? ?l i m ( ) (0 )s s X s x ?????62 如果 是因果信號，且在 不包含奇異函數(shù)， 除了在 可以有單階極點外，其余極點均在 S平面的左半邊，則 ()xt 0t ?()Xs 0s?0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ??—— 終值定理 000 0()()( ) ( )s t s ts t s td x te d t e d x tdtx t e s e x t d t??? ??????? ? ???????是因果信號，且在 無奇異函數(shù) , ()xt 0t ?證 : 63 的實部 可以大于零，因此 s ?0( ) (0 )stx t e x?? ? ??? 除了在 可以有一階極點外，其它極點均在 S平面 的左半平面（即 保證 有終值 ）。 2()Xs1()Xs7. 時域微分 :（ Differentiation in the Time Domain） () ( ) ,d x t s X sdt ?( ) ( ) ,x t X s? R O C : RROC包括 R ,有可能擴(kuò)大。 ()xt ()Xs 0s()Xs 0s?當(dāng) 為實信號時，有： ()xt ( ) ( )x t x t? ?由此可得以下結(jié)論： 56 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x t x t X s X s?? ROC: 12RR包括 6. 卷積性質(zhì) :（ Convolution Property） 11( ) ( ) ,x t X s? 1RO C : R22( ) ( ) ,x t X s? 2RO C : R若 則 12 1RR ?? ? ?顯然有 : 例 . 11( ) ,1Xs s? ?? ? ? ?21( ) ,23sXsss????1R O C : 1R ?? ? ?2R O C : 2R ?? ? ?57 ? ? ? ?121( ) ( ) ,23X s X s ss? ??2,? ?? ROC擴(kuò)大 原因是 與 相乘時，發(fā)生了零極點相抵消的現(xiàn)象。 ( ) ( ) ,x t X s? ? ? R O C : R?特例 5. 共軛對稱（ Conjugation）性： ( ) ( ) ,x t X s? ? ?? R O C : R( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 則 55 ( ) ( )X s X s???? 如果 是實信號，且 在 有極點（或零點），則 一定在 也有極點或零點。 1R 2R ()Xs例 . ? ? ? ?1 () tx t t e u t? ??? ? ?2 () tx t e u t???Page492：例 51 2. 時移性質(zhì)（ Time Shifting） : ( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 00( ) ( ) ,stx t t X s e ???ROC不變 則 3. S域平移（ Shifting in the sDomain） : ( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 則 0 0( ) ( ) ,stx t e X s s?? 0ReR O C ]: [Rs? 表明 的 ROC是將 的 ROC平移了一個 。這里只著重于 ROC的討論。對系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，實質(zhì)上就是優(yōu)化其零、極點的位置。 j?47 當(dāng)工程應(yīng)用中要求實現(xiàn)一個非最小相位系統(tǒng)時，通常采用將一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)級聯(lián)來實現(xiàn)。因此將 零點僅位于左半平面或者 軸的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。 j?j? j?46 顯然這兩個系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。 ?j?45 例 4. 最小相位系統(tǒng)： 考查兩個系統(tǒng)，它們的極點相同，零點分布關(guān)于 軸對稱。 j?43 例 3. 全通系統(tǒng)： 考查零極點對稱分布的系統(tǒng) () saHs sa?? ?（一階全通 ） ? 該系統(tǒng)的 在任何時候都等于 1，所以 稱為 全通系統(tǒng) 。 0? ? j? nj?? 系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點圖得到。其峰點位于 處， 1/ 2? ?()Hj? 212n???41 m a x 21()21Hj ?????峰值為 在 時，若認(rèn)為 主極點矢量 增長 倍時，對應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時的系統(tǒng)帶寬約為 。 ?j?n?? 此時系統(tǒng)處于 欠阻尼狀態(tài) ，隨著 ，位于第 2象限的極點矢量比第 3 象限的極點矢量更短，因此它對系統(tǒng)特性的影響較大。 1? ? n??40 3. 進(jìn)一步減小，則二階 極點分裂為 共軛復(fù)數(shù) 極點， 且隨 的減小而逐步靠近 軸。 n???1c1? ? ()Hs?? 2. 當(dāng) 時，兩極點重合于 處，成為二階極點。 起主要作用。 ()Hj?()Hj?????/2??/2?則 趨向 。 1s1sj?j?()Xj?35 例 1. 一階系統(tǒng)： 1( ) ( ) ,th t e u t????1/( ) ,( 1 / )Hs s??? ?1R e [ ]s???() ( ) ( )d y t y t x tdt? ?? 隨著 ， 單調(diào)下降， ?? ()Hj?1???時 ,下降到最大值的 12最大值在 時取得。 1s1()Xs1()Xs1s 當(dāng) 取為 軸上的點時，即為傅里葉變換的 幾何求值。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢量的長度之積即為 。 1()Xs1()Xs1sa? 1||sa?1sa0 a?1s1sa?j??32 1( ) ,Xssa? ?極點 sa?111()Xssa??? ?11()X s s a? ? ? 直接由極點向 點作矢量（稱為 極點矢量 ），其長度的倒量為 ,幅角的負(fù)值為 。 ()Xsj? sj??()Xj?()Xj? 由零極點圖對傅里葉變換幾何求值 ()X