【正文】 ()Xs 0s?0l i m ( ) l i m ( )tsx t s X s? ? ??—— 終值定理 000 0()()( ) ( )s t s ts t s td x te d t e d x tdtx t e s e x t d t??? ??????? ? ???????是因果信號，且在 無奇異函數(shù) , ()xt 0t ?證 : 63 的實部 可以大于零，因此 s ?0( ) (0 )stx t e x?? ? ??? 除了在 可以有一階極點外，其它極點均在 S平面 的左半平面（即 保證 有終值 ）。 ()Hs()Hs( ) ( )X j H j??? ste( ) ( )X s H s? ； 而以 為基底分解信號時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)就是 。因此 必存在。 ()Hs72 例 2. 若有 ( ) ,1seHs s? ? R e [ ] 1s ?? 的 ROC是最右邊極點的右邊，但 是非有理函數(shù)， ，系統(tǒng)是非因果的。 ()Hs2）如果 LCCDE具有一組全部為零的初始條件，即初始松弛條件，則系統(tǒng)是因果的， 的ROC必是最右邊極點的右邊。 設(shè) n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 式中， m≤n， ai(i=0, 1, 2, …, n)、 bj(j=0, 1, 2, …, m)是實常數(shù)。 82 若 n為偶數(shù)，則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上。 若 A(s)的系數(shù) ai無缺項并且符號相同 ， 則 A(s)滿足霍爾維茲多項式的必要條件 ，然后 進(jìn)一步再利用羅斯 霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 。 根據(jù)以上條件 ， 當(dāng) 0 K ＜ 110 時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng) 。此時的判決準(zhǔn)則除了要審查羅斯陣列是否變號外，還要看虛軸上極點的階數(shù)。 已知特定輸入產(chǎn)生的特定響應(yīng)，根據(jù) 的橋梁作用求出 已知微分方程，兩邊同時做雙邊 LT，求出 ( ) ( ) ( )Y s X s H s??)()()(sXsYsH ?)()()(sXsYsH ?97 已知電路模型，利用電路分析知識找到輸入輸出滿足的微積分方程，利用 3。 104 21( ) ( )NNkkNbH s H sa ??? ?210210() kkkkkssHsss?????????其中 如果 N為奇數(shù)，則有一個一階系統(tǒng)出現(xiàn)。 設(shè)加法器的輸出為 X1(s), 子系統(tǒng) H1(s)的輸出為X2(s)， 則有 )()()()( 221 sXsHsFsX ??)()()( 112 sXsHsX ?)()()( 23 sXsHsY ?111 例 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 (a)所示 。 (6)簡單通路 (開路 )：沿途節(jié)點和支路只經(jīng)過一次的通路。 (11)前向通路的子圖 ：去掉某條前向通路后剩余的圖形。 118 例 已知連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖如下圖所示 。 系統(tǒng)模擬的方式 卡爾曼形式 （直接型）、級聯(lián)（串聯(lián)）形式、并聯(lián)形式 125 （ 1） 卡爾曼形式 (直接型 )：將傳遞函數(shù)理解為 將前向通路和環(huán)路設(shè)計成通過同一個節(jié)點，為了保證此條件，常常將前向通路和環(huán)路都通過的這個節(jié)點設(shè)計為從信源開始的第一個加法器，或者是信宿之前的最后一個加法器。 匯節(jié)點之前的最后一個加法器 129 解 將 H(s)改寫為 )353(142)(32132???????????ssssssH根據(jù)梅森公式，可畫出上式的信號流圖如圖 130 （ 2）級聯(lián)（ 串聯(lián)）形式 通常各子系統(tǒng) Hi(s)選用一階函數(shù)和二階函數(shù)，分別稱為一階節(jié)、二階節(jié)。上述分析方法可推廣到更高階情形。圖中有兩條前向通路，對于前向通路 F ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? Y ,其增益為 由于各環(huán)路都與該通路有接觸，故 Δ 1=1 對于前向通路 F ? x1 ? x4 ? Y ，其增益為 123 最后，按梅森公式得： 222 11 HGLjj ????? ?31314321332211225453211)1(HHGGHGGGHGHGHGHGHHHHHHFYH?????????不與 P2接觸的環(huán)路有 x2? x3 ? x2，所以 124 四、利用梅森公式對系統(tǒng)的模擬 系統(tǒng)模擬的概念 連續(xù)系統(tǒng)的模擬：將已知的傳遞函數(shù)用加法器、放大器、積分器按照一定的方式實現(xiàn)。 P510— 511：簡單的串聯(lián)、并聯(lián)、反饋。 (10)環(huán)路之間的關(guān)系 —— 接觸 ：環(huán)路之間有公共的支路或節(jié)點。寫在支路旁邊的函數(shù)稱為支路的增益或傳輸函數(shù)。 畫出系統(tǒng)的信號流圖 。 00( ) ( )kkNNkkkkkkd y t d x tabd t d t?????對其進(jìn)行拉氏變換有： 00( ) ( )NNkkkkkka s Y s b s X s?????00( ) ( )()( ) ( )NkkkNkkkbsY s N sHsX s D sas??? ? ???是一個有理函數(shù) ()Hs103 (1) 級聯(lián)結(jié)構(gòu)： 將 的分子和分母多項式因式分解 ()Hs? ?? ?221011221011()()()P N Pk k kN k kQ N QNk k kkks s sbHsas s s? ? ?? ? ???????? ? ?? ? ?? ? ????? 這表明： 一個 N階的 LTI系統(tǒng)可以分解為若干個二階系統(tǒng)和一階系統(tǒng)的級聯(lián)。 j*sqrt(2)， 這說明該系統(tǒng)在虛軸上有四個單極點，故系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。對此作如下的處理，以全 0行前一行的元素組成一個輔助多項式，用此多項式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)代替全 0行，則可繼續(xù)排出羅斯陣列。 圖中 ，H1(s)為 圖 )10)(1()(1 ??? sssKsHK取何值時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。 85 綜上所述 ， 根據(jù) H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先 ， 根據(jù)霍爾維茲多項式的必要條件檢查 A(s)的系數(shù) ai(i=0, 1, 2, … , n)。 羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準(zhǔn)則 ， 稱為 羅斯 霍爾維茲準(zhǔn)則 (RH準(zhǔn)則 )。 因果系統(tǒng)穩(wěn)定性的三種情況 : 0)]([lim ???tht79 極點在 S平面的分布與終值的關(guān)系 80 對于三階以上的高階 因果 系統(tǒng)，求解系統(tǒng)的極點比較繁瑣。 2. 如果 LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC必然包括 軸。 ROC包括 軸 j? ? 系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。 ROC是最右邊極點的右邊并不一定系統(tǒng)因果。當(dāng)以 為基底分解信號時， LTI系統(tǒng) 對輸入信號的響應(yīng)就是 jte ?()Xs68 連同相應(yīng)的 ROC也能完全描述一個 LTI系統(tǒng)。 2()Xs1()Xs7. 時域微分 :（ Differentiation in the Time Domain） () ( ) ,d x t s X sdt ?( ) ( ) ,x t X s? R O C : RROC包括 R ,有可能擴(kuò)大。這里只著重于 ROC的討論。 j?j? j?46 顯然這兩個系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。其峰點位于 處， 1/ 2? ?()Hj? 212n???41 m a x 21()21Hj ?????峰值為 在 時，若認(rèn)為 主極點矢量 增長 倍時，對應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時的系統(tǒng)帶寬約為 。 起主要作用。所有零點矢量的長度之積除以所有極點矢量的長度之積即為 。 ()Xs() stX s e() stX s e()xt()xt? 留數(shù)法（當(dāng) 是有理函數(shù)時）： ()Xs29 例 3. ? ? ? ?1()12Xs ss? ??: R e [R O C ]2s ??21( ) R e s [ ( ) , ]st iix t X s e s??? ?12211()21( ) ( )s t s tsstteesse e u t? ? ? ???? ? ???? ? ? ?()Xs 的極點 均位于 ROC右邊 1 , 2 ,ss? ? ? ?30 Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the PoleZero Plot ? 可以用零極點圖表示 的特征 。 ()xt 1 ()2 X s dsj?ste1( ) ( )2j stjx t X s e d sj ????????? ?的反變換 ()Xs25 二 .拉氏反變換的求法 : 對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方法 ,即 部分分式展開法 和 留數(shù)法 。 0b? ()Xs1( ) ,bte u tsb? ? ? ?R e [ ]sb??1( ) ,bte u tsb? ?? R e [ ]sb??b? ??jb21 當(dāng) 是有理函數(shù)時，其 ROC總是由 的極點分割的。 3. 時限信號的 ROC是整個 S 平面。 5. 如果拉氏變換的 ROC包含 軸 ，則有 j?( ) ( ) sjX j X s ?? ??12 二 . 拉氏變換的 ROC及零極點圖： 2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t????例 3. 200()t st t stX s e e d t e e d t??? ? ? ?????1( ) ,1te u ts? ??R e [ ] 1s ??2 1( ) ,2te u ts? ??R e [ ] 2s ??1? ??j2? ??j13 可見： 拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。 拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。 5 拉普拉斯變換 復(fù)指數(shù)信號 是一切 LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)中的特例，即以 和 為基底分解信號的。 ()xt sj????若 ， 則有 : 0? ? sj??( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ? 這就是 的傅里葉變換。 10 由以上例子，可以看出 : 1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。 將 的全部零點和極點表示在 S 平面上就構(gòu)成了 零極點圖 。 若 是右邊信號 , , 在 ROC內(nèi) ， 則有 絕對可積，即： 0?0() tx t e ??()xt Tt? ? ?17 5. 左邊信號的 ROC是 S平面內(nèi)的一條平行于 軸的直線的左邊。 3. 雙邊信號的 ROC可以是任意兩相鄰極點之間的 帶狀區(qū)域 。 3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì) ,對每一項進(jìn)行反變換。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時有很大用處。 考查 在 軸上移動時所有零、極 點矢量的長度和幅角的變化 ，即可得出 的 特性。系統(tǒng)處于 臨界阻尼狀態(tài) 。此時，只需考察當(dāng)動點沿 軸移動時所有極點矢量和所有零點矢量的幅角變化，用所有零點矢量的幅角之和減去所有極點矢量的幅角之和，即可得到系統(tǒng)的相位特性。 工程應(yīng)用中設(shè)計的各種頻率選擇性濾波器，如： Butterworth 、 Chebyshev、 Cauer濾波器都是最小相位系統(tǒng)。 0()X s s? ()Xs0Re[ ]s52 例 . ? ?( ) ,tx t e u t??1( ) ,1Xs s? ?1? ??? ?23()1( 2 )3ttx t