【正文】 1 第 9章 拉普拉斯變換 Signals and Systems . OPPENHEIM, et al. The Laplace Transform 2 1. 雙邊拉普拉斯變換； 2. 雙邊拉普拉斯變換的收斂域； 3. 零極點圖； 4. 雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)； 5. 系統(tǒng)函數(shù)； 6. 單邊拉普拉斯變換； 本章基本內(nèi)容： 3 引言 Introduction 傅里葉分析方法之所以在信號與 LTI系統(tǒng)分析中如此有用，很大程度上是因為相當(dāng)廣泛的信號都可以表示成復(fù)指數(shù)信號的線性組合，而 復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切 LTI 系統(tǒng)的特征函數(shù)。 傅里葉變換是以復(fù)指數(shù)函數(shù)中的特例，即以 和 為基底分解信號的。對于更一般的復(fù)指數(shù)函數(shù) 和 ，也理應(yīng)能以此為基底對信號進行分解。 jte?jne?ste nz4 通過本章及下一章，會看到拉氏變換和 Ｚ 變換不僅具有很多與傅里葉變換相同的重要性質(zhì)，不僅能適用于用傅里葉變換的方法可以解決的信號與系統(tǒng)分析問題，而且還能解決傅里葉分析方法不適用的許多方面。 拉氏變換與 Ｚ 變換的分析方法是傅里葉分析法的推廣，傅里葉分析是它們的特例。 將傅里葉變換推廣到更一般的情況就是本章及下一章要討論的中心問題。 5 拉普拉斯變換 復(fù)指數(shù)信號 是一切 LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 如果 LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為 ，則系統(tǒng)對 產(chǎn)生的響應(yīng)是 : ste()htste( ) ( ) sty t H s e? ( ) ( ) stH s h t e dt? ???? ?，其中 顯然當(dāng) 時，就是傅里葉變換。 sj??The Laplace Transform 6 一 .雙邊拉氏變換的定義： ( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?稱為 的 雙邊拉氏變換 ，其中 。 ()xt sj????若 ， 則有 : 0? ? sj??( ) ( ) jtX j x t e dt?? ? ???? ? 這就是 的傅里葉變換。 ()xt表明： 連續(xù)時間傅里葉變換是雙邊拉普拉斯變換在 或是在 軸上的特例。 0? ?j?7 ( ) ( ) [ ( ) ]t j t t j tX s x t e e dt x t e e dt? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?????[ ( ) ]tx t e ??? F[由于 所以 拉氏變換是對傅里葉變換的推廣 ， 的 拉氏變換就是 的傅里葉變換。只要有合適的 存在，就可以使某些本來不滿足狄里赫利條件的信號在引入 后滿足該條件。即有些信號的傅氏變換不收斂而它的拉氏變換存在。 拉氏變換比傅里葉變換有更廣泛的適用性。 ()xtte ??() tx t e ???8 ( ) ( )atx t e u t??例 1. ()001() a t s t s a tX s e e d t e d tsa??? ? ? ?? ? ????R e [ ]sa??在 時收斂 當(dāng) 時， 的傅里葉變換存在 ()xt0a ?01() a t j tX j e e dtaj???? ??????( 0)a ?顯然，在 時，拉氏變換收斂的區(qū)域 ，包括了 （即 軸）。 0a ?R e [ ]sa?? 0? ? j?9 比較 和 ，顯然有 ()Xj?()Xs( ) ( )sjX s X j? ?? ?當(dāng) 時， ( ) ( ) ( )atx t e u t u t???0a ?1()uts?可知 R e [ ] 0s ?例 2. ( ) ( )atx t e u t?? ? ?00 () 1() a t s t s a tX s e e d t e d tsa? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??? R e [ ]sa??與例 ，區(qū)別僅在于收斂域不同。 10 由以上例子，可以看出 : 1. 拉氏變換與傅里葉變換一樣存在收斂問題。 并非任何信號的拉氏變換都存在，也不是 S 平面上的任何復(fù)數(shù)都能使拉氏變換收斂。 2. 使拉氏變換積分收斂的那些復(fù)數(shù) S的集合，稱為拉氏變換的收斂域 ROC ， 拉氏變換的 ROC （ Region of Convergence） 是非常重要的概念。 11 3. 不同的信號可能會有完全相同的拉氏變換表達式，只是它們的收斂域不同。 4. 只有拉氏變換表達式連同相應(yīng)的收斂域，才能和信號建立一一對應(yīng)的關(guān)系 。 5. 如果拉氏變換的 ROC包含 軸 ，則有 j?( ) ( ) sjX j X s ?? ??12 二 . 拉氏變換的 ROC及零極點圖： 2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t????例 3. 200()t st t stX s e e d t e e d t??? ? ? ?????1( ) ,1te u ts? ??R e [ ] 1s ??2 1( ) ,2te u ts? ??R e [ ] 2s ??1? ??j2? ??j13 可見： 拉氏變換的收斂域是各個收斂域的公共部分。 ROC總是以平行于 軸的直線作為邊界的，ROC的邊界總是與 的分母的根對應(yīng)的。 j?()XsR e [ ] 1s ??若 是有理函數(shù) ()Xs ()()()( ) ( )iiiisNsX s MD s s??????????j2? 1?14 分子多項式的根稱為 零點 ，分母多項式的根稱為 極點 。 將 的全部零點和極點表示在 S 平面上就構(gòu)成了 零極點圖 。零極點圖及其收斂域可以表示一個 ，最多與真實的 相差一個常數(shù)因子 。 因此， 零極點圖是拉氏變換的圖示方法 。 ()Xs()Xs()XsM15 拉氏變換的收斂域 ? 可以歸納出 ROC的以下性質(zhì)： 1. ROC是 S 平面上平行于 軸的帶狀區(qū)域。 2. 在 ROC內(nèi)無任何極點。 3. 時限信號的 ROC是整個 S 平面。 4. 右邊信號的 ROC是 S 平面內(nèi)某一條平行于 軸的直線的右邊。 j?j?The Region of Convergence for Laplace Transforms 16 0() tT x t e dt?? ? ???若 ，則 10??? 1() tT x t e dt?? ??0 1 01 0 0()()()()ttTTtTx t e e d te x t e d t? ? ?? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???1?表明 也在收斂域內(nèi)。 若 是右邊信號 , , 在 ROC內(nèi) ， 則有 絕對可積，即： 0?0() tx t e ??()xt Tt? ? ?17 5. 左邊信號的 ROC是 S平面內(nèi)的一條平行于 軸的直線的左邊。 j? 若 是左邊信號，定義于 , 在 ROC 內(nèi)， ，則 10???0?()xt ?(,T??0 1 01 ()( ) ( )TT tttx t e d t x t e e d t? ? ?? ? ? ??? ? ? ????1 0 0() ()TTte x t e dt? ? ?? ? ???? ? ??1?表明 也在收斂域內(nèi)。 18 6. 雙邊信號的 ROC如果存在，一定是 S 平面內(nèi)平行于 軸的帶形區(qū)域。 j?例 1. 0( ) ( )0()1[ 1 ]Ta t s tTs a t s a TX s e e d te d t esa??? ? ? ??? ? ?????()xt ?ate?0 其它 19 有極點 sa??考查零點，令 () 1s a Te ?? ?2s a j kT?? ? ?得 例 2. () btx t e ??( ) ( ) ( )b t b tx t e u t e u t?? ? ?sa?? 顯然 在 也有一階零點，由于零極點相抵消，致使在整個 S平面上無極點。 20 當(dāng) 時，上述 ROC有公共部分， 0b?11()Xss b s b????R e [ ]b s b? ? ?當(dāng) 時，上述 ROC 無公共部分，表明 不存在。 0b? ()Xs1( ) ,bte u tsb? ? ? ?R e [ ]sb??1( ) ,bte u tsb? ?? R e [ ]sb??b? ??jb21 當(dāng) 是有理函數(shù)時，其 ROC總是由 的極點分割的。 ROC必然滿足下列規(guī)律： 1. 右邊信號的 ROC一定位于 最右邊極點的右邊。 2. 左邊信號的 ROC一定位于 最左邊極點的左邊。 3. 雙邊信號的 ROC可以是任意兩相鄰極點之間的 帶狀區(qū)域 。 ()Xs()Xs ()Xs()Xs22 例 3. 21()321112Xsssss???????可以形成三種 ROC： 1) ROC： 此時 是右邊信號。 2) ROC： 此時 是左邊信號。 3) ROC： 此時 是雙邊信號。 R e [ ] 2s ??R e [ ] 1s ??2 R e [ ] 1s? ? ? ?()xt()xt()xt??j1?2?23 The Inverse Laplace Transform 一 .定義： 由 ( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?若 在 ROC內(nèi)，則有 : sj????( ) ( ) [ ( ) ]t j t tX j x t e e dt x t e? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? F[1( ) ( )2t j tx t e X j e d?? ? ? ??????? ? ??11( ) ( ) ( )22t j t s tx t X j e e d X s e d??? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???9. 3 拉普拉斯反變換 24 當(dāng) 從 時 , 從 ? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?由 sj???? d s jd??得 拉氏反變換表明 : 可以被分解成復(fù)振幅為 的復(fù)指數(shù)信號 的線性組合。 ()xt 1 ()2 X s dsj?ste1( ) ( )2j stjx t X s e d sj ????????? ?的反變換 ()Xs25 二 .拉氏反變換的求法 : 對有理函數(shù)形式的 求反變換一般有兩種方法 ,即 部分分式展開法 和 留數(shù)法 。 ()Xs 1. 將 展開為部分分式。 2. 根據(jù) 的 ROC，確定每一項的 ROC 。 3. 利用常用信號的變換對與拉氏變換的性質(zhì) ,對每一項進行反變換。 ()Xs()Xs? 部分分式展開法： 26 1 , 2ss? ? ? ?極點： 確定其可能的收斂域及所對應(yīng)信號的屬性。 1()( 1 ) ( 2)Xs ss? ??例 1. 右邊信號 1?2? ?j?左邊信號 1?2? ?j?雙邊信號 1?2? ?j?27 例 2. 1() ( 1 ) ( 2)Xs ss? ?? R O C : 2 R e [ ] 1s? ?