【正文】 ? ?11()12Xs ss????1 : R e[ ] 1 ( )R1 OCts e u ts?? ? ? ? ? ??21 : R e [ ] 2R O C ()2ts e u ts?? ? ? ??2( ) ( ) ( )ttx t e u t e u t??? ? ? ?28 1. 求出 的全部極點(diǎn)。 2. 求出 在 ROC 左邊的所有極點(diǎn)處的留數(shù)之和，它們構(gòu)成了 的因果部分。 3. 求出 在 ROC 右邊的所有極點(diǎn)處的留數(shù)之和，并加負(fù)號(hào)，它們構(gòu)成了 的反因果部分。 ()Xs() stX s e() stX s e()xt()xt? 留數(shù)法（當(dāng) 是有理函數(shù)時(shí)）： ()Xs29 例 3. ? ? ? ?1()12Xs ss? ??: R e [R O C ]2s ??21( ) R e s [ ( ) , ]st iix t X s e s??? ?12211()21( ) ( )s t s tsstteesse e u t? ? ? ???? ? ???? ? ? ?()Xs 的極點(diǎn) 均位于 ROC右邊 1 , 2 ,ss? ? ? ?30 Geometric Evaluation of the Fourier Transform from the PoleZero Plot ? 可以用零極點(diǎn)圖表示 的特征 。當(dāng) ROC包括 軸時(shí)，以 代入 ，就可以得到 。以此為基礎(chǔ)可以用幾何求值的方法從零極點(diǎn)圖求得 的特性。這在定性分析系統(tǒng)頻率特性時(shí)有很大用處。 ()Xsj? sj??()Xj?()Xj? 由零極點(diǎn)圖對(duì)傅里葉變換幾何求值 ()Xs31 ()X s s a?? 零點(diǎn) , 要求出 時(shí)的 ，可以作兩個(gè)矢量 和 ，則 。 1ss?11( ) ( )X s s a??1()Xs1s a1. 單零點(diǎn)情況： 矢量 稱(chēng)為 零點(diǎn)矢量 ，它的長(zhǎng)度 表示 ,其幅角即為 。 1()Xs1()Xs1sa? 1||sa?1sa0 a?1s1sa?j??32 1( ) ,Xssa? ?極點(diǎn) sa?111()Xssa??? ?11()X s s a? ? ? 直接由極點(diǎn)向 點(diǎn)作矢量（稱(chēng)為 極點(diǎn)矢量 ），其長(zhǎng)度的倒量為 ,幅角的負(fù)值為 。 1s1()Xs 1()Xs2. 單極點(diǎn)情況： 1sa0 a?1s1sa?j??33 因此有 : 111()iiiisX s Ms???????對(duì)有理函數(shù)形式的 ()Xs? ?? ?()()()iiiisNsX s MD s s????????? ?? ?111()iiiisX s Ms???????? ? ? ?1 1 1() iiiiX s s s??? ? ? ???3. 一般情況： 34 即：從所有零點(diǎn)向 點(diǎn)作 零點(diǎn)矢量 ，從所有極點(diǎn)向 點(diǎn)作 極點(diǎn)矢量 。所有零點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積除以所有極點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度之積即為 。所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和即為 。 1s1()Xs1()Xs1s 當(dāng) 取為 軸上的點(diǎn)時(shí)，即為傅里葉變換的 幾何求值。 考查 在 軸上移動(dòng)時(shí)所有零、極 點(diǎn)矢量的長(zhǎng)度和幅角的變化 ，即可得出 的 特性。 1s1sj?j?()Xj?35 例 1. 一階系統(tǒng)： 1( ) ( ) ,th t e u t????1/( ) ,( 1 / )Hs s??? ?1R e [ ]s???() ( ) ( )d y t y t x tdt? ?? 隨著 ， 單調(diào)下降， ?? ()Hj?1???時(shí) ,下降到最大值的 12最大值在 時(shí)取得。 0???j?1/??11/??| ( ) |Hj?1/ 236 相位特性，當(dāng) 時(shí) ( ) 0Hj ? ?0? ? 隨著 ， 趨向 。 ()Hj?()Hj?????/2??/2?則 趨向 。 37 例 2. 二階系統(tǒng)： ? ?12( ) ( ) ,c t c th t M e e u t??21 , 2 1nnc ? ? ? ?? ? ? ?221nM ????2222( ) ( )2 ( ) ( )()n n nd y t d y t y t x td t d x t? ? ? ?? ? ?? ? ? ?222212()2nnnnHss s s c s c??? ? ???? ? ? ?38 1? ? 1? ?1 / 2? ? 1/ 2? ?21nj??? 21nj???39 n???221n?? ? 1. 當(dāng) 時(shí)， 有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng) 過(guò)阻尼 。 起主要作用。隨著 ，兩極點(diǎn)相向移動(dòng)，向 處靠攏。 n???1c1? ? ()Hs?? 2. 當(dāng) 時(shí)，兩極點(diǎn)重合于 處，成為二階極點(diǎn)。系統(tǒng)處于 臨界阻尼狀態(tài) 。 1? ? n??40 3. 進(jìn)一步減小，則二階 極點(diǎn)分裂為 共軛復(fù)數(shù) 極點(diǎn)， 且隨 的減小而逐步靠近 軸。極點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡 —— 根軌跡是一個(gè)半徑為 的圓周 。 ?j?n?? 此時(shí)系統(tǒng)處于 欠阻尼狀態(tài) ，隨著 ，位于第 2象限的極點(diǎn)矢量比第 3 象限的極點(diǎn)矢量更短，因此它對(duì)系統(tǒng)特性的影響較大。 ?? 當(dāng) 時(shí)，由于該極點(diǎn)矢量變得很短，因而 會(huì)使 出現(xiàn)峰值。其峰點(diǎn)位于 處， 1/ 2? ?()Hj? 212n???41 m a x 21()21Hj ?????峰值為 在 時(shí)，若認(rèn)為 主極點(diǎn)矢量 增長(zhǎng) 倍時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率是系統(tǒng)帶寬的截止頻率，則可以近似確定此時(shí)的系統(tǒng)帶寬約為 。 1 / 2? ? 22 n??n???2 n??21n???j??042 4. 當(dāng) 時(shí)，兩極點(diǎn)分別位于 軸上的 處，此時(shí)系統(tǒng)處于 無(wú)阻尼狀態(tài) 。 0? ? j? nj?? 系統(tǒng)的相位特性也可以從零極點(diǎn)圖得到。此時(shí)，只需考察當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿 軸移動(dòng)時(shí)所有極點(diǎn)矢量和所有零點(diǎn)矢量的幅角變化，用所有零點(diǎn)矢量的幅角之和減去所有極點(diǎn)矢量的幅角之和，即可得到系統(tǒng)的相位特性。 j?43 例 3. 全通系統(tǒng)： 考查零極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)分布的系統(tǒng) () saHs sa?? ?（一階全通 ） ? 該系統(tǒng)的 在任何時(shí)候都等于 1，所以 稱(chēng)為 全通系統(tǒng) 。 ()Hj?| ( ) |Hj??1j?aa?j??1?44 ? 其相位特性 1 1 1( ) ( ) 2Hj ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?圖示為三階全通系統(tǒng)，其 零極點(diǎn)分布呈四角對(duì)稱(chēng)特征 。 ?j?45 例 4. 最小相位系統(tǒng)： 考查兩個(gè)系統(tǒng)，它們的極點(diǎn)相同，零點(diǎn)分布關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)。其中一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在左半平面，另一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在右半平面。 j?j? j?46 顯然這兩個(gè)系統(tǒng)的幅頻特性是相同的。但零點(diǎn)在左半平面的系統(tǒng)其相位總小于零點(diǎn)在右半平面的系統(tǒng)。因此將 零點(diǎn)僅位于左半平面或者 軸的系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng)。 工程應(yīng)用中設(shè)計(jì)的各種頻率選擇性濾波器，如： Butterworth 、 Chebyshev、 Cauer濾波器都是最小相位系統(tǒng)。 j?47 當(dāng)工程應(yīng)用中要求實(shí)現(xiàn)一個(gè)非最小相位系統(tǒng)時(shí)，通常采用將一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。 從本質(zhì)上講 系統(tǒng)的特性是由系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布決定的 。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)質(zhì)上就是優(yōu)化其零、極點(diǎn)的位置。 最小相位系統(tǒng) 全通系統(tǒng) 48 j??最小相位系統(tǒng) j??全通系統(tǒng) j??非最小相位系統(tǒng) 49 Properties of the Laplace Transform 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a X s b X s? ? ?則 ROC至少是 12RR 拉氏變換的性質(zhì) ? 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。這里只著重于 ROC的討論。 1. 線性（ Linearity ）： 11( ) ( ) ,x t X s? 1RO C : R22( ) ( ) ,x t X s? 2RO C : R若 ROC也可能比這個(gè)交集大 50 112( ) 1 ,11sXsss?? ? ???R O C : 1? ??21( ) ,1Xs s???R O C : 1? ??? ?12( ) ( ) 1x t x t t?? ? ?而 ROC為整個(gè) S平面 ? 當(dāng) 與 無(wú)交集時(shí)，表明 不存在。 1R 2R ()Xs例 . ? ? ? ?1 () tx t t e u t? ??? ? ?2 () tx t e u t???Page492：例 51 2. 時(shí)移性質(zhì)（ Time Shifting） : ( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 00( ) ( ) ,stx t t X s e ???ROC不變 則 3. S域平移（ Shifting in the sDomain） : ( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 則 0 0( ) ( ) ,stx t e X s s?? 0ReR O C ]: [Rs? 表明 的 ROC是將 的 ROC平移了一個(gè) 。 0()X s s? ()Xs0Re[ ]s52 例 . ? ?( ) ,tx t e u t??1( ) ,1Xs s? ?1? ??? ?23()1( 2 )3ttx t e e u tXss???????顯然 R O C : 3? ??53 R e [ ]s a R? ? ? 4. 時(shí)域尺度變換（ Time Scaling） : 當(dāng) 時(shí) 收斂， 時(shí) 收斂 R??()sX aR?Re[ ]saROC : R( ) ( ) ,x t X s?若 1( ) ( )sx a t Xaa?R O C : aR則 例 . ? ? 1( ) ( ) ,1tx t e u t X ss?? ? ??1? ??? ?2()2ttx e u t??求 的拉氏變換及 ROC ()Xs54 12( ) ,1 212Xsss????1R OC :2? ?? 可見(jiàn)： 若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在 S平面上作相反的尺度變換。 ( ) ( ) ,x t X s? ? ? R O C : R?特例 5. 共軛對(duì)稱(chēng)（ Conjugation）性： ( ) ( ) ,x t X s? ? ?? R O C : R( ) ( ) ,x t X s? R O C : R若 則 55 ( ) ( )X s X s???? 如果 是實(shí)信號(hào)，且 在 有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），則 一定在 也有極點(diǎn)或零點(diǎn)。這表明： 實(shí)信號(hào)的拉氏變換其復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)必共軛成對(duì)出現(xiàn)。 ()xt ()Xs 0s()Xs 0s?當(dāng) 為實(shí)信號(hào)時(shí)，有： ()xt ( )