【正文】 e e u tXss???????顯然 R O C : 3? ??53 R e [ ]s a R? ? ? 4. 時域尺度變換（ Time Scaling） : 當 時 收斂， 時 收斂 R??()sX aR?Re[ ]saROC : R( ) ( ) ,x t X s?若 1( ) ( )sx a t Xaa?R O C : aR則 例 . ? ? 1( ) ( ) ,1tx t e u t X ss?? ? ??1? ??? ?2()2ttx e u t??求 的拉氏變換及 ROC ()Xs54 12( ) ,1 212Xsss????1R OC :2? ?? 可見： 若信號在時域尺度變換，其拉氏變換的ROC在 S平面上作相反的尺度變換。 故 的 ROC中必包含 軸。 二 . 用系統(tǒng)函數(shù)表征 LTI系統(tǒng)： 1. 因果性： 如果 時 ，則 系統(tǒng)是因果的 。意味著 的 ROC必然包括 軸。 ()Hs ()Hs( 1 )( ) ( 1 )th t e u t???? 由于 ROC包括 軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。 ()Hs3）如果已知 LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則 的 ROC 必包括 軸。 H(s)的分母多項式為 羅斯 霍爾維茲準則 : 01110111)()()(asasbsabsbsbsbsAsBsHnnnnmmmm????????????????0111)( asasasasAnnnn ??????? ?81 H(s)的極點就是 A(s)=0的根 。羅斯陣列共有 n+1行 (以后各行均為零 )，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計算： 83 若 n為偶數(shù) ， 則第二行最后一列元素用零補上 。 86 例 已知三個線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為 2321)(1232312)(5322)(233234522341?????????????????sssssHsssssssHsssssH判斷三個系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。 01110 ??????? ? K93 例 已知系統(tǒng)函數(shù)的分母為 4 3 22 2 3s s s S? ? ? ?判斷該系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。羅斯陣列如果變號，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；在羅斯陣列不變號的前提下，如果虛軸上的極點為單階的，則系統(tǒng)臨臨界穩(wěn)定，如果虛軸上有重極點則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 已知頻率特性函數(shù)，利用 已知方框圖，利用梅森規(guī)則來計算。 105 (2) 并聯(lián)結(jié)構(gòu)： 將 展開為部分分式 (假定 的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點都是單階的），則有： ()Hs ()Hs1()NNkkNkbAHsas ???? ??將共軛成對的復數(shù)極點所對應的兩項合并 : 210211 10()Q N QN k k kkkN k k kb s AHsa s s s??? ? ?????? ? ?? ? ???21()NNkkNb Hsa ??? ?106 N為偶數(shù)時又可將任意兩個一階項合并為二階項，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)： 這類系統(tǒng)對應時域以及復頻域方框圖做法的具體說明（補充），例子參見教材 Page511514。 畫出系統(tǒng)的信號流圖 。 114 (7)前向通路 ：由源節(jié)點到匯節(jié)點的簡單通路。 115 d x5 x4 x3 x2 x1 1 a b c g f e 前向通路 ： x1?x2 ?x3 ?x4 ?x5。 求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。 路都相互接觸。 （ 3）并聯(lián)形式 131 解 :（ 1）級聯(lián)實現(xiàn) 首先將 H(s)的分子、分母多項式分解為一次因式與二次因式的乘積。 圖中所出現(xiàn)的系數(shù)可以直接從系統(tǒng)函數(shù)中的系數(shù)或者等效為微分方程中的系數(shù)確認出來。所以得 再求其它參數(shù)。對剩余圖形仍然按條前向通路后，行列式，去掉第條前向通路子圖的特征第條前向通路增益第前向通路序號（系統(tǒng)的特征行列式）的環(huán)路增益乘積之和所有三個兩兩互不接觸路增益乘積之和所有兩兩互不接觸的環(huán)所有環(huán)路增益之和??????????????????????kkkgkgsNLLLLLLsDsDsNsXsYsHkkkKkd e ffedcbccbaa)(......1)()()()()()(? ?? ????? ?????117 三、利用梅森公式計算系統(tǒng)函數(shù) 已知方框圖，根據(jù)公式計算系統(tǒng)的 H(S)。環(huán)路增益：在環(huán)路中每個支路的傳遞函數(shù)相乘。 (4)支路 ：連接兩個節(jié)點的有向線段稱為支路，箭頭方向代表信號流動的方向。 連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖表示 108 信號流圖與方框圖的對應關系 F ( s ) Y ( s )H ( s ) F ( s ) Y ( s )H ( s )( a )F ( s ) Y ( s ) F ( s ) Y ( s )a( b )aF1( s )F2( s )＋＋Y ( s )( c )F2( s )Y ( s )F1( s )11F ( s ) Y ( s ) F ( s ) Y ( s )( d )s1s1＋109 例 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 (a)所示 。 100 3. 反饋聯(lián)結(jié)： 1 ( ) ( ) ( ) ( )X s X s G s Y s??11( ) ( ) ( )Y s X s H s?1[ ( ) ( ) ( ) ] ( )X s G s Y s H s??2. 并聯(lián)： 12( ) ( ) ( )H s H s H s??ROC:12RR包括 11( ) ( )()( ) 1 ( ) ( )Y s H sHsX s G s H s? ? ? ?ROC: 12RR包括 101 用基本運算器表示系統(tǒng) 圖 基本運算器的時域和 S (a) 數(shù)乘器； (b) 加法器； (c) 積分器 f ( t ) af ( t )a F ( s ) aF ( s )a( a )f1( t ) ＋ f2( t )f1( t )f2( t )＋＋F1( s ) ＋ F2( s )F1( s )F2( s )( b )y ( t ) ＝ ∫ f ( ? )d ?∫ F ( s ) Y ( s ) ＝( c )s1F ( s )st ∞＋f ( t )＋＋＋102 二 . LTI系統(tǒng)的表示： LTI系統(tǒng)可以由一個 LCCDE來描述。 j， s3,4=177。 94 在計算羅斯陣列時，如果遇到連續(xù)兩行元素數(shù)字相等或者成比例，則下一行元素將全部為 0，陣列也無法繼續(xù)排下去，這種情況說明在虛軸上可能有極點。 89 例 下圖所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的 S域方框圖表示 。 若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同 ， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 若 A(s)為霍爾維茲多項式 ， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng) 。 ?臨界穩(wěn)定系統(tǒng)： H(s)在虛軸有一階極點，沒有極點在右半平面，則在足夠長時間以后， h(t) 趨于一個非零的數(shù)值或者形成等幅震蕩。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC是最左邊極點的左邊。 2( ) ( ) ( )tth t e u t e u t????21 1 2 3( ) ,1 2 3 2sHss s s s?? ? ?? ? ? ?R O C : R e [ ] 1s ??顯然， ROC是最右邊極點的右邊。 ()Hs()ht()ht ()Hs 應該強調(diào)指出，由 ROC的特征，反過來并不能判定系統(tǒng)是否因果。 ()Hj? 這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于 復指數(shù)函數(shù)是一切 LTI系統(tǒng)的特征函數(shù) 。當被抵消的極點恰好在 ROC的邊界上時，就會使收斂域擴大。 最小相位系統(tǒng) 全通系統(tǒng) 48 j??最小相位系統(tǒng) j??全通系統(tǒng) j??非最小相位系統(tǒng) 49 Properties of the Laplace Transform 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a X s b X s? ? ?則 ROC至少是 12RR 拉氏變換的性質(zhì) ? 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。其中一個系統(tǒng)的零點均在左半平面，另一個系統(tǒng)的零點均在右半平面。 ?? 當 時，由于該極點矢量變得很短，因而 會使 出現(xiàn)峰值。 37 例 2. 二階系統(tǒng)： ? ?12( ) ( ) ,c t c th t M e e u t??21 , 2 1nnc ? ? ? ?? ? ? ?221nM ????2222( ) ( )2 ( ) ( )()n n nd y t d y t y t x td t d x t? ? ? ?? ? ?? ? ? ?222212()2nnnnHss s s c s c??? ? ???? ? ? ?38 1? ? 1? ?1 / 2? ? 1/ 2? ?21nj??? 21nj???39 n???221n?? ? 1. 當 時， 有兩個實數(shù)極點，此時系統(tǒng) 過阻尼 。 1s1()Xs 1()Xs2. 單極點情況： 1sa0 a?1s1sa?j??33 因此有 : 111()iiiisX s Ms???????對有理函數(shù)形式的 ()Xs? ?? ?()()()iiiisNsX s MD s s????????? ?? ?111()iiiisX s Ms???????? ? ? ?1 1 1() iiiiX s s s??? ? ? ???3. 一般情況： 34 即：從所有零點向 點作 零點矢量 ，從所有極點向 點作 極點矢量 。 3. 求出 在 ROC 右邊的所有極點處的留數(shù)之和，并加負號，它們構(gòu)成了 的反因果部分。 R e [ ] 2s ??R e [ ] 1s ??2 R e [ ] 1s? ? ? ?()xt()xt()xt??j1?2?23 The Inverse Laplace Transform 一 .定義： 由 ( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?若 在 ROC內(nèi)，則有 : sj????( ) ( ) [ ( ) ]t j t tX j x t e e dt x t e? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? F[1( ) ( )2t j tx t e X j e d?? ? ? ??????? ? ??11( ) ( ) ( )22t j t s tx t X j e e d X s e d??? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???9. 3 拉普拉斯反變換 24 當 從 時 , 從 ? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?由 sj???? d s jd??得 拉氏反變換表明 : 可以被分解成復振幅為 的復指數(shù)信號 的線性組合。 20 當 時，上述 ROC有公共部分， 0b?11()Xss b s b????R e [ ]b s b? ? ?當 時，上述 ROC 無公共部分，表明 不存在。 2. 在 R