【正文】 e e u tXss???????顯然 R O C : 3? ??53 R e [ ]s a R? ? ? 4. 時(shí)域尺度變換（ Time Scaling） : 當(dāng) 時(shí) 收斂， 時(shí) 收斂 R??()sX aR?Re[ ]saROC : R( ) ( ) ,x t X s?若 1( ) ( )sx a t Xaa?R O C : aR則 例 . ? ? 1( ) ( ) ,1tx t e u t X ss?? ? ??1? ??? ?2()2ttx e u t??求 的拉氏變換及 ROC ()Xs54 12( ) ,1 212Xsss????1R OC :2? ?? 可見： 若信號(hào)在時(shí)域尺度變換，其拉氏變換的ROC在 S平面上作相反的尺度變換。 故 的 ROC中必包含 軸。 二 . 用系統(tǒng)函數(shù)表征 LTI系統(tǒng)： 1. 因果性： 如果 時(shí) ，則 系統(tǒng)是因果的 。意味著 的 ROC必然包括 軸。 ()Hs ()Hs( 1 )( ) ( 1 )th t e u t???? 由于 ROC包括 軸，該系統(tǒng)仍是穩(wěn)定的。 ()Hs3）如果已知 LCCDE描述的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則 的 ROC 必包括 軸。 H(s)的分母多項(xiàng)式為 羅斯 霍爾維茲準(zhǔn)則 : 01110111)()()(asasbsabsbsbsbsAsBsHnnnnmmmm????????????????0111)( asasasasAnnnn ??????? ?81 H(s)的極點(diǎn)就是 A(s)=0的根 。羅斯陣列共有 n+1行 (以后各行均為零 )，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計(jì)算： 83 若 n為偶數(shù) ， 則第二行最后一列元素用零補(bǔ)上 。 86 例 已知三個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為 2321)(1232312)(5322)(233234522341?????????????????sssssHsssssssHsssssH判斷三個(gè)系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。 01110 ??????? ? K93 例 已知系統(tǒng)函數(shù)的分母為 4 3 22 2 3s s s S? ? ? ?判斷該系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。羅斯陣列如果變號(hào)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定；在羅斯陣列不變號(hào)的前提下，如果虛軸上的極點(diǎn)為單階的，則系統(tǒng)臨臨界穩(wěn)定，如果虛軸上有重極點(diǎn)則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 已知頻率特性函數(shù)，利用 已知方框圖，利用梅森規(guī)則來(lái)計(jì)算。 105 (2) 并聯(lián)結(jié)構(gòu)： 將 展開為部分分式 (假定 的分子階數(shù)不高于分母階數(shù)，所有極點(diǎn)都是單階的），則有： ()Hs ()Hs1()NNkkNkbAHsas ???? ??將共軛成對(duì)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩項(xiàng)合并 : 210211 10()Q N QN k k kkkN k k kb s AHsa s s s??? ? ?????? ? ?? ? ???21()NNkkNb Hsa ??? ?106 N為偶數(shù)時(shí)又可將任意兩個(gè)一階項(xiàng)合并為二階項(xiàng)，由此可得出系統(tǒng)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)： 這類系統(tǒng)對(duì)應(yīng)時(shí)域以及復(fù)頻域方框圖做法的具體說(shuō)明（補(bǔ)充），例子參見教材 Page511514。 畫出系統(tǒng)的信號(hào)流圖 。 114 (7)前向通路 ：由源節(jié)點(diǎn)到匯節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單通路。 115 d x5 x4 x3 x2 x1 1 a b c g f e 前向通路 ： x1?x2 ?x3 ?x4 ?x5。 求系統(tǒng)函數(shù)H(s)。 路都相互接觸。 （ 3）并聯(lián)形式 131 解 :（ 1）級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn) 首先將 H(s)的分子、分母多項(xiàng)式分解為一次因式與二次因式的乘積。 圖中所出現(xiàn)的系數(shù)可以直接從系統(tǒng)函數(shù)中的系數(shù)或者等效為微分方程中的系數(shù)確認(rèn)出來(lái)。所以得 再求其它參數(shù)。對(duì)剩余圖形仍然按條前向通路后，行列式，去掉第條前向通路子圖的特征第條前向通路增益第前向通路序號(hào)（系統(tǒng)的特征行列式）的環(huán)路增益乘積之和所有三個(gè)兩兩互不接觸路增益乘積之和所有兩兩互不接觸的環(huán)所有環(huán)路增益之和??????????????????????kkkgkgsNLLLLLLsDsDsNsXsYsHkkkKkd e ffedcbccbaa)(......1)()()()()()(? ?? ????? ?????117 三、利用梅森公式計(jì)算系統(tǒng)函數(shù) 已知方框圖，根據(jù)公式計(jì)算系統(tǒng)的 H(S)。環(huán)路增益：在環(huán)路中每個(gè)支路的傳遞函數(shù)相乘。 (4)支路 ：連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段稱為支路，箭頭方向代表信號(hào)流動(dòng)的方向。 連續(xù)系統(tǒng)的信號(hào)流圖表示 108 信號(hào)流圖與方框圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系 F ( s ) Y ( s )H ( s ) F ( s ) Y ( s )H ( s )( a )F ( s ) Y ( s ) F ( s ) Y ( s )a( b )aF1( s )F2( s )＋＋Y ( s )( c )F2( s )Y ( s )F1( s )11F ( s ) Y ( s ) F ( s ) Y ( s )( d )s1s1＋109 例 某線性連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示如圖 (a)所示 。 100 3. 反饋聯(lián)結(jié)： 1 ( ) ( ) ( ) ( )X s X s G s Y s??11( ) ( ) ( )Y s X s H s?1[ ( ) ( ) ( ) ] ( )X s G s Y s H s??2. 并聯(lián)： 12( ) ( ) ( )H s H s H s??ROC:12RR包括 11( ) ( )()( ) 1 ( ) ( )Y s H sHsX s G s H s? ? ? ?ROC: 12RR包括 101 用基本運(yùn)算器表示系統(tǒng) 圖 基本運(yùn)算器的時(shí)域和 S (a) 數(shù)乘器； (b) 加法器； (c) 積分器 f ( t ) af ( t )a F ( s ) aF ( s )a( a )f1( t ) ＋ f2( t )f1( t )f2( t )＋＋F1( s ) ＋ F2( s )F1( s )F2( s )( b )y ( t ) ＝ ∫ f ( ? )d ?∫ F ( s ) Y ( s ) ＝( c )s1F ( s )st ∞＋f ( t )＋＋＋102 二 . LTI系統(tǒng)的表示： LTI系統(tǒng)可以由一個(gè) LCCDE來(lái)描述。 j， s3,4=177。 94 在計(jì)算羅斯陣列時(shí)，如果遇到連續(xù)兩行元素?cái)?shù)字相等或者成比例，則下一行元素將全部為 0，陣列也無(wú)法繼續(xù)排下去，這種情況說(shuō)明在虛軸上可能有極點(diǎn)。 89 例 下圖所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的 S域方框圖表示 。 若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)不完全相同 ， 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng) 。 若 A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式 ， 則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng) 。 ?臨界穩(wěn)定系統(tǒng)： H(s)在虛軸有一階極點(diǎn)，沒(méi)有極點(diǎn)在右半平面，則在足夠長(zhǎng)時(shí)間以后， h(t) 趨于一個(gè)非零的數(shù)值或者形成等幅震蕩。若系統(tǒng)反因果，則系統(tǒng)函數(shù)的 ROC是最左邊極點(diǎn)的左邊。 2( ) ( ) ( )tth t e u t e u t????21 1 2 3( ) ,1 2 3 2sHss s s s?? ? ?? ? ? ?R O C : R e [ ] 1s ??顯然， ROC是最右邊極點(diǎn)的右邊。 ()Hs()ht()ht ()Hs 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，由 ROC的特征，反過(guò)來(lái)并不能判定系統(tǒng)是否因果。 ()Hj? 這些方法之所以成立的本質(zhì)原因在于 復(fù)指數(shù)函數(shù)是一切 LTI系統(tǒng)的特征函數(shù) 。當(dāng)被抵消的極點(diǎn)恰好在 ROC的邊界上時(shí)，就會(huì)使收斂域擴(kuò)大。 最小相位系統(tǒng) 全通系統(tǒng) 48 j??最小相位系統(tǒng) j??全通系統(tǒng) j??非最小相位系統(tǒng) 49 Properties of the Laplace Transform 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )a x t b x t a X s b X s? ? ?則 ROC至少是 12RR 拉氏變換的性質(zhì) ? 拉氏變換與傅氏變換一樣具有很多重要的性質(zhì)。其中一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在左半平面，另一個(gè)系統(tǒng)的零點(diǎn)均在右半平面。 ?? 當(dāng) 時(shí)，由于該極點(diǎn)矢量變得很短，因而 會(huì)使 出現(xiàn)峰值。 37 例 2. 二階系統(tǒng)： ? ?12( ) ( ) ,c t c th t M e e u t??21 , 2 1nnc ? ? ? ?? ? ? ?221nM ????2222( ) ( )2 ( ) ( )()n n nd y t d y t y t x td t d x t? ? ? ?? ? ?? ? ? ?222212()2nnnnHss s s c s c??? ? ???? ? ? ?38 1? ? 1? ?1 / 2? ? 1/ 2? ?21nj??? 21nj???39 n???221n?? ? 1. 當(dāng) 時(shí)， 有兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng) 過(guò)阻尼 。 1s1()Xs 1()Xs2. 單極點(diǎn)情況： 1sa0 a?1s1sa?j??33 因此有 : 111()iiiisX s Ms???????對(duì)有理函數(shù)形式的 ()Xs? ?? ?()()()iiiisNsX s MD s s????????? ?? ?111()iiiisX s Ms???????? ? ? ?1 1 1() iiiiX s s s??? ? ? ???3. 一般情況： 34 即：從所有零點(diǎn)向 點(diǎn)作 零點(diǎn)矢量 ，從所有極點(diǎn)向 點(diǎn)作 極點(diǎn)矢量 。 3. 求出 在 ROC 右邊的所有極點(diǎn)處的留數(shù)之和，并加負(fù)號(hào)，它們構(gòu)成了 的反因果部分。 R e [ ] 2s ??R e [ ] 1s ??2 R e [ ] 1s? ? ? ?()xt()xt()xt??j1?2?23 The Inverse Laplace Transform 一 .定義： 由 ( ) ( ) stX s x t e dt? ???? ?若 在 ROC內(nèi)，則有 : sj????( ) ( ) [ ( ) ]t j t tX j x t e e dt x t e? ? ??? ? ? ? ???? ? ?? F[1( ) ( )2t j tx t e X j e d?? ? ? ??????? ? ??11( ) ( ) ( )22t j t s tx t X j e e d X s e d??? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???9. 3 拉普拉斯反變換 24 當(dāng) 從 時(shí) , 從 ? s?? ? ?? jj??? ? ? ? ?由 sj???? d s jd??得 拉氏反變換表明 : 可以被分解成復(fù)振幅為 的復(fù)指數(shù)信號(hào) 的線性組合。 20 當(dāng) 時(shí)，上述 ROC有公共部分， 0b?11()Xss b s b????R e [ ]b s b? ? ?當(dāng) 時(shí)，上述 ROC 無(wú)公共部分，表明 不存在。 2. 在 R