【正文】 333 ln612. 原式 ??? xxxxx dc o ss i nc o ss i n322?? xx xc o ssi n d?? xxx dsi nc o s3?? xxta nta nd ?? xx3si nsi nd xta nln? Cx ?? 2s i n121目錄 上頁 下頁 返回 結束 求不定積分 解： 令 ,1xt ? 則 , 故 ? 161t551 t?? t?分母次數(shù)較高 , 宜使用 倒代換 . 2. 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解： 原式 = 2tan xu ?前式令 ?????221131uu uu d122??2a rc t a n21 u?。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、 有理函數(shù)的積分 )()()(xQxPxR ? ? nnn axaxa ??? ? ?110有理函數(shù) : nm? 時 , 為假分式 。 遞推公式 4. 計算格式 : vu? ? ??目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 13. 求 ?? xxI d)ln(s i n解 : 令 則 txx tt ded,e ??ttI t ds i ne???ttesinttecos ??? ttt tt dc o ses i netsin?te? ? ??Ittt ??? )c o s(s i neCttI t ???? )c o s(si ne21Cxxx ??? )]c o s(l n)[si n (l n21可用表格法求 多次分部積分 目錄 上頁 下頁 返回 結束 uxx uu ded,e ??例 14. 求 解 : 令 則 原式 ,ln xu ??? u3e 4u uude? uu u de 44??4uu4e34u 212u u24 24 0u441e u441 e2 u441 e3 u441 e4 u441 e5? ? ? ? ?原式 = ?u4e41 4u 3u? 243u? u83? 323? ? C?? ? Cxxxxx ?????? 32 3ln83ln43lnln41 2344??目錄 上頁 下頁 返回 結束 練習 1. 下述運算錯在哪里 ? 應如何改正 ? ? xxx dsi nc o s??? xxx dsi nc o s1,1ds i nc o sds i nc o s ??? ?? xxxxxx得 0 = 1 答 : 不定積分是原函數(shù)族 , 相減不應為 0 . 求此積分的正確作法是用換元法 . Cx ?? s i nln目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設 證 : 目錄 上頁 下頁 返回 結束 可微且其反函 數(shù) 1()fx? 存在 , 證明 1 1 1( ) d ( ) [ ( ) ]f x x x f x F f x C? ? ?? ? ??1 1 1( ) d ( ) d ( )f x x x f x x f x? ? ?????11( ) d ( )x f x f x???? ?1[ ( )]f f x?11( ) [ ( ) ]x f x F f x C??? ? ?1:[ ( ) ]x f f x??注意目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 求不定積分 解 ： 方法 1 (先分部 , 再換元 ) 1ed ?x令 ,1e ?? xu 則 112 ??u Cuu ??? )a r c ta n(44目錄 上頁 下頁 返回 結束 方法 2 (先換元 ,再分部 ) 令 ,1e ?? xu 則 故 )1ln (2 2uu ?? ?1 1?目錄 上頁 下頁 返回 結束 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第四節(jié) ? 基本積分法 : 換元積分法 。 (注意 : 兩次分部選擇的 u , v 函數(shù)類型不變 , 解出積分后加 C ) 例 4 3) 對含自然數(shù) n 的積分 , 通過分部積分建立遞 推公式 . 例 4 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 11. 已知 的一個原函數(shù)是 求 解 : xxfx d)(?? )(d xf??)( xfx? xxf d)(???x? ??x xcos Cx x ?? c o s??? xs in Cx x ?c o s2說明 : 此題若先求出 再求積分反而復雜 . ??? xxfx d)( xx xx xx dc o s2s i n2c o s 2 ??????? ???2xxx sin? xcos?目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 12. 求 .d xI ??23)1( 2x?解法 1 先換元后分部 令 ,a r c ta n xt ? 即 ,ta n tx ? 則 ?? tIt3se cett dse c 2? ttt dc o se???? tt s ine ttt ds i ne?tt sine? ttt dc o se?? tt cose?故 CttI t ??? e)c o s(si n21????21xarctanetx121 x?21 xx? 211x?? Cx ???? a r c t a ne目錄 上頁 下頁 返回 結束 xIxdearc t an??23)1( 2x? xxI a r c t a n2 ed11???xxxxxa r c t a n2a r c t a n2 ed1e11 ?????)1(e11 a r c t a n2 xxx ??? I?CxxI x ????? ar ct an2 e121解法 2 直接用分部積分法 xxa r c t a n2 e11?? xd ?? 23)1( 2x?xx arc tane目錄 上頁 下頁 返回 結束 vu?內(nèi)容小結 分部積分公式 xvuvuxvu dd ?? ????1. 使用原則 : xvuv d? ?易求出 , 易積分 2. 使用經(jīng)驗 : “反對冪指三 ” , 前 u 后 v?3. 題目類型 : 分部化簡 。 容易計算 . 分部積分法 第 四 章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 1. 求 解 : 令 ,xu ? ,c o s xv ??則 ,1??u xv sin?∴ 原式 xx sin? ?? xx ds inCxxx ??? c o ss i n思考 : 如何求 提示 : 令 ,2xu ? ,s in xv ?? 則 原式 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 2. 求 .dln xxx?解 : 令 ,ln xu ? xv ??則 ,1xu ?? 221 xv ?原式 = xx ln21 2 ?? xx d21Cxxx ??? 22 41ln21目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 3. 求 .da rc t a n xxx?解 : 令 ,a r c ta n xu ? xv ??則 ,1 1 2xu ??? 221 xv ?∴ 原式 xx a rc t a n21 2? ? ?? xxx d12122xx a rc t a n21 2? ? ??? xx d)1 11(21 2xx a rc t a n21 2? Cxx ??? )a rc t a n(21目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 4. 求 .ds i ne xxx?解 : 令 ,sin xu ? xv e?? , 則 ,c o s xu ?? xv e?∴ 原式 xx s ine? ?? xxx dc o se再令 ,c o s xu ? xv e?? , 則 ,s in xu ??? xv e?xx s ine? ??? xxx xx ds i nec o se故 原式 = Cxxx ?? )c o s( s ine21說明 : 也可設 為三角函數(shù) , 但兩次所設類型 必須一致 . 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解題技巧 : 把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 , 按 “ 反對冪指三” 的 順序 , 前者為 后者為 u .v?例 5. 求 解 : 令 ,a rc c o s xu ? 1??v , 則 ,21 1 xu